UNIP Métodos Quantitativos em Economia - Limites e Introdução ao Cálculo

UNIP Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 Limites pág 1 Módulo 1 Limites 1 Introdução Nesta disciplina você vai estudar o cálculo diferencial e integral e suas aplicações em diversos problemas relacionados à Economia O conceito de limite é conceito mais básico do cálculo e portanto é o seu ponto de partida Uma boa compreensão desse conceito vai ajudar você a entender os demais assuntos com os quais trabalharemos nesta disciplina A ideia de limite de uma função é de grande importância quando queremos estudar o comportamento da função nas vizinhanças de um ponto fora do seu domínio Vejamos então a definição matemática de limite de uma função Vejamos agora um exemplo Considere a função fx 2x 5 Vamos estudar o comportamento dessa função quando x se aproxima de 1 Primeiro considerando valores menores que 1 à esquerda de 1 x 0 05 08 09 099 0999 fx 5 6 66 68 698 6998 Agora considerando valores maiores que 1 à direita de 1 x 2 15 12 11 101 1001 fx 9 8 74 72 702 7002 Como podemos ver à medida que x se aproxima de 1 tanto à direita valores maiores que 1 quanto à esquerda valores menores que 1 fx se aproxima de 7 Logo podemos escrever 2 Definição formal de limite Limite de uma função é Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a Seja f uma função definida para x pertencente a I a Dizemos que o limite de fx quando x tende a a é L e escrevemos Se para todo ε 0 existir um δ 0 tal que 0 x a δ então fx L ε Dada uma função fx e um ponto a do seu domínio dizemos que o limite da função é L se e somente se quando x tende a a isto é se aproxima de a os valores de fx se aproximam de L Simbolicamente escrevemos 1 1 UNIP Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 Limites pág 2 Em símbolos temos Observe que nessa definição nada é mencionado sobre o valor da função quando x a Isso quer dizer que não é necessário que a função esteja definida em a É também importante observar que no cálculo do limite de fx quando x tende a a o que nos interessa é o comportamento de fx nas cercanias do a quando x se aproxima de a e não o que ocorre com fx quando xa Veja esse outro exemplo Veja que a função acima não está definida para x 2 pois se substituirmos x por 2 encontraremos 0 no denominador o que invalida a expressão Entretanto como x tende a 2 e não é 2 podemos fazer uma simplificação dessa expressão obtendo outra expressão equivalente Agora fica mais fácil verificar que esse limite é igual a 5 3 Um limite importante o limite exponencial fundamental Considere a função Essa função é muito comum para designar curvas de crescimento Uma aplicação típica dela é no cálculo do montante na Matemática Financeira Vamos estudar o que acontece com essa função quando x cresce ou seja quando x assume valores cada vez maiores tendendo ao infinito A primeira constatação é que a fração tende a 0 Entretanto embora tenda a 0 seu valor não é exatamente 0 o que faz com que a soma não seja igual a 1 mas sim um pouco maior que 1 Como x aparece também no expoente à medida que x aumenta de valor o expoente fica cada vez maior tendendo ao infinito Essa função foi estudada pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler 1707 1783 que demonstrou que o limite dessa função quando x tende ao infinito é converge para um número irracional Esse número ficou depois conhecido como número de Euler e UNIP Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 Limites pág 3 Veja na tabela abaixo alguns valores de fx para x cada vez maior X fx 1 2 5 248832 10 2593742 50 2691588 100 2704814 1000 2716925 10000 2718149 100000 2718268 1000000 2718280 Observe que embora x vá aumentando sempre cada vez mais o valor de fx aumenta cada vez menos convergindo para um valor que com 9 casas decimais é 2718281828 Assim podemos escrever Esse número e é muito usado como base de logaritmos Tão usado que o logaritmo de base e recebe um nome e um símbolo específicos logaritmo neperiano símbolo LN As funções financeiras costumam usar esse tipo de logaritmo tanto que a calculadora financeira HP 12C não tem uma tecla para o logaritmo decimal mas sim uma tecla para o logaritmo neperiano 4 Formulário Limites Para facilitar o cálculo dos limites vamos resumir as definições propriedades e teoremas numa tabela prática que poderá auxiliar você em seus estudos 41 Produtos notáveis Quadrado da soma Quadrado da diferença Produto da soma pela diferença Cubo da soma Cubo da diferença 42 Fatorações Fator comum Diferença de quadrados Trinômio do 2 grau Soma de cubos Diferença de cubos Conjugado de é UNIP Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 Limites pág 4 Propriedades de limites Seja L um intervalo aberto que contém a e seja f uma função definida em L Temos que Seja f e g funções tais que 43 Limites no infinito 44 Função exponencial I II III IV V VI desde que quando n for par VII UNIP Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 Limites pág 5 45 Função logarítmica 5 Exercícios resolvidos Exercício 1 Considerando a função que está definida para todo isto é não podemos calcular a imagem quando x assume o valor 2 2 não está no domínio de f Como a variável x não pode assumir o valor 2 então vamos estudar o comportamento de f quando x assume valores muito próximos de 2 vizinhança mas diferente de 2 através das tabelas de aproximações 1 Aproximando do x2 pela direita maiores que 2 x 3 5 25 45 22 42 21 41 201 401 2001 4001 20001 40001 200001 400001 2000001 4000001 2 Aproximando do x2 pela esquerda menores que 2 x 1 3 15 35 19 39 199 399 1999 3999 19999 39999 199999 399999 1999999 3999999 19999999 39999999 Observe que podemos aproximar fx de 2 o quando quisermos basta tornarmos x suficientemente próximo de 2 Formalizando O limite da função quando x se aproxima de 2 é igual a 4 Simbolicamente ou 2 2 Limite lateral Quando x tende a 2 por valores maiores do que 2 dizemos que x tende a 2 pela direita e denotamos por Limite lateral Quando x tende a 2 por valores menores do que 2 dizemos que x tende a 2 pela esquerda e denotamos por UNIP Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 Limites pág 6 Uma outra maneira de calcular o é encontrar uma função simplificada da função na qual x2 faça parte do domínio então calcular o limite dessa função simplificada para x tendendo a 2 como no exemplo a seguir Então é uma função simplificada da função Calcular o limite da função simplificada equivale calcular o limite da função completa Portanto o limite de fx é Exercício 2 Calcule o seguinte limite Solução Primeiro fatoramos o numerador x² 16 x 4x 4 Em seguida simplificamos o fator x 4 do numerador com o denominador x 4 A expressão fica equivalente ao limite de x 4 quando x tende a 4 De acordo com o teorema do limite da função polinomial podemos substituir o x por 4 e aí teremos Exercício 3 Determine os seguintes limites caso eles existam a é um polinômio assim b Observe que esse limite tem a forma onde fx e gx são polinômios e Consequentemente temos Exercício 4 Determine caso exista Solução Substituindo x por 1 na função resultará em 60 assim esse limite tem a forma a0 com e todo limite da forma a0 não existe Verifique essa afirmação a seguir UNIP Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 Limites pág 7 Como o numerador é nãonulo quando x 1 sabemos que x 1 não é um fator do numerador e não poderemos dividir o numerador e o denominador como fizemos no exemplo anterior Fazendo a tabela por aproximação podemos confirmar que este limite não existe os valores de fxgx são ilimitados próximos de x 1 À esquerda de À direita de X x 0 2 2 12 05 75 15 175 07 153 12 352 09 551 11 651 099 59501 101 60501 0999 5995001 1001 6005001 09999 599990001 10001 600050001 Exercício 5 Encontre o limite e se eles existirem para Solução Calculando os limites laterais temos Como então não existe Graficamente UNIP Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 Limites pág 8 Exercício 6 Determine caso exista Solução Para determinar esse limite iremos utilizar o limite fundamental exponencial E para isso vamos reescrever o em função do limite fundamental exponencial 1º passo trocar x por k na expressão temos 2º passo igualar os termos e isolar k 3º passo trocar k pelas igualdades encontradas no 2º passo 4º passo calcular o limite Exercício 7 Determine caso exista Solução Para determinar esse limite iremos utilizar o limite fundamental exponencial E para isso vamos reescrever o em função do limite fundamental exponencial 1º passo trocar x por k na expressão temos 2º passo igualar os termos e isolar k 3º passo trocar k pelas igualdades encontradas no 2º passo 4º passo calcular o limite