Matematica para Economia - Aplicacoes das Derivadas em Economia

UNIP Matemática para Economia Módulo 4 Aplicações das derivadas em Economia pág 1 Módulo 4 Aplicações das derivadas em Economia 1 Análise marginal A função marginal estuda o efeito causado em fx por uma pequena variação de x como por exemplo a função custo marginal é a derivada da função custo a função receita marginal é a derivada da função receita e a função produtividade marginal é a derivada da função de produção e assim analogamente para outras diversas funções Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 custo marginal Seja a função custo total então a função custo marginal será dada por O custo marginal é aproximadamente à variação do custo da produção de uma unidade adicional a partir da unidade x Assim para calcular o custo da produção de uma unidade adicional a partir da 10ª unidade basta calcular o custo marginal para x10 Portanto o custo de produção da 11ª unidade é aproximadamente igual ao custo marginal que representa Exemplo 2 receita marginal Seja a função receita então a função a receita marginal será dada por Assim para calcular a receita no ponto x50 temos que Portanto o aumento da receita decorrente da venda da 51ª unidade representa aproximadamente Exemplo 3 produtividade marginal Seja a função de produção onde P é a quantidade em quilo produzidas por mês de um produto e x o trabalho mensal envolvido medido em horas então a produtividade marginal do trabalho será dada por Se x1000 então Assim se o número de horas aumentar de 1000 para 1001 o aumento na produção mensal será aproximadamente 79 quilos Exemplo 4 Propensão marginal a consumir e poupar Propensão marginal a consumir é a derivada da a função consumo Cy indicada por onde y é a renda disponível e C o consumo Propensão marginal a poupar é a derivada da função poupança Sy y Cy indicada por onde y a renda disponível e S a poupança Seja a função consumo de uma família assim a função propensão marginal será dada por Para calcular o aumento do consumo se aumentarmos em uma unidade a renda disponível de 10 para 11 basta calcular Assim o aumento do consumo será aproximadamente igual a 025 Agora para saber qual será o aumento da poupança é necesário obter a função poupança dada por ou seja e em seguida obter a função propensão marginal a poupar dada por Fazendo y10 temos Portanto se a renda passar de 10 para 11 o aumento da poupança será aproximadamente 075 UNIP Matemática para Economia Módulo 4 Aplicações das derivadas em Economia pág 2 2 Elasticidade A elasticidade da demanda no ponto é definida por Onde p0 é preço x0 é a quantidade demandada é a variação do preço a partir de p0 é a variação da quantidade demandada a partir de x0 é a variação porcentual no preço é a variação porcentual na quantidade é a derivada da quantidade em relação ao preço O módulo é introduzido na definição para que a elasticidade resulte em um número positivo Logo em que a derivada é calculada no ponto x0 p0 Se 1 a demanda é dita elástica no ponto considerado Se 0 1 a demanda é dita inelástica Se 1 a demanda tem elasticidade unitária no ponto considerado Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 Seja uma a equação de demanda então Assim a elasticidade da demanda no ponto será dada por Portanto se então Conclusão se o preço for 20 e sofrer um aumento porcentual de 1 a queda porcentual na demanda será de aproximadamente 15 Exemplo 2 Seja uma a equação de oferta então Assim a elasticidade da oferta no ponto será dada por Portanto se então Conclusão Para um acréscimo porcentual de 1 no preço a partir de 2 o acréscimo percentual na quantidade ofertada será de aproximadamente 05 Para a função de oferta definese elasticidade da oferta em relação ao preço de modo análogo UNIP Matemática para Economia Módulo 4 Aplicações das derivadas em Economia pág 3 3 Mais alguns exemplos de aplicações das derivadas em economia Exemplo 1 O custo mensal de um certo produto é dado por Cada unidade do produto é vendida a 100 Para calcular a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal é necessário obter a função lucro mensal dada por Portanto Derivando a função lucro teremos Estudando o sinal da função lucro Sinal de L Comportamento de L Como x representa a quantidade o valor negativo não convém assim podemos concluir que o ponto de máximo relativo e absoluto é x3 Portanto para ter o máximo lucro a é necessário vender 3 unidades por mês Exemplo 2 O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função Suponha que o nível de produção seja de 15 unidades usando o diferencial de função é possível calcular quanto varia o custo se forem produzidas 155 unidades Solução 35 4 15 10 50 10 50 2 10 2 2 10 50 15 5 15 2 10 2 2 df f x df f x x f x x x f unidades x x x f f df x x x C 35 df f