Modelagem Cinemática de Robôs: Sistemas de Referência e Transformação de Coordenadas

Aula 4 Modelagem Cinemática de Robôs Sistemas de Referência e Transformação de Coordenadas Transformação Homogênea w z y x V Um ponto V no espaço pode ser representado em coordenadas homogêneas por onde 3 2 1 v w z v w y v w x e w é o fator de escala real e não nulo Translação É Possível transladar um ponto u nas direções X Y e Z ou em uma direção arbitrária a partir da aplicação da relação 1 0 0 0 z 1 0 0 y 0 1 0 x 0 0 1 transx y z T 0 0 0 0 0 0 com a relação v T u Considere a transformação homogênea Exemplo 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 T e o ponto 1 0 0 1 u A transformação homogênea T transforma o ponto u em um ponto v v T u 1 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 Transladar o ponto v100 de 1 unidade na direção X 2 na direção Y e 3 na direção Z Exemplo 2 1 0 0 1 1 0 0 0 3 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 trans 123 v Rotação Considere os pontos u e v representados na figura Suas representações no plano são uxu yu e vxvyv respectivamente Considere ainda que o ponto u foi transformado no ponto v através de uma rotação em torno da origem de um ângulo no sentido antihorário 2 v 2 v 2 u 2 u 1 v 1 v 1 u 1 u y x y x r rsen y rcos x e rsen y rcos x 1 2 3 4 rotação em z Desenvolvendo as equações 1 e 2 e usando as equações 3 e 4 temse sen r sen cos r cos x 1 1 v y sen x cos x u u v sen r cos cos r sen y 1 1 v y sen y cos y u u v 5 6 As equações 5 e 6 podem ser escritas então u u v y sen x cos x u u v y cos x sen y ou na forma vetorial u u v v y x cos sen sen cos y x 7 Para o espaço tridimensional a equação 7 pode ser reescrita na forma vetorial u u u v v v z y x 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos z y x ou ainda em coordenadas homogêneas 1 z y x 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sen 0 0 sen cos 1 z y x u u u v v v Resumindo as matrizes transformação homogênea de rotação em torno dos três eixos são 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sen 0 0 sen cos Z Rot 1 0 0 0 0 cos sen 0 0 sen cos 0 0 0 0 1 X Rot 1 0 0 0 0 cos 0 sen 0 0 1 0 0 sen 0 cos Y Rot Modelagem Cinemática Direta e Inversa de Manipuladores MODELO CINEMÁTICO DIRETO VARIÁVEIS DAS JUNTAS Problema Cinemático de Manipuladores POSIÇÃO E ORIENTAÇÃO DO EFETUADOR DO ROBÔ MODELO CINEMÁTICO INVERSO POSIÇÃO E ORIENTAÇÃO DO EFETUADOR DO ROBÔ VARIÁVEIS DAS JUNTAS Problema Cinemático Direto Calcular a matriz de transformação homogênea que relaciona a i ésima referência com a referência i1 Para isto fazse uso dos parâmetros de todas as juntas Tendo ob tido todas as matrizes Ti1 i obtémse T0 n através de n 1 n 3 2 2 1 1 0 n 0 T T T T T Como T0 n depende das variáveis das juntas o problema cinemático direto se resolve com a obtenção da matriz de transformação homogênea que fornece posição e orientação da ponta do robô em relação a base