Exercícios Resolvidos Estatística - Regressão Linear, Correlação e Testes de Hipóteses

1 Um pesquisador colocou plasma humano em cinco tubos de ensaio e depois adicionou procaína Essa substância é um anestésico local que se decompõe por hidrólise decompõemse em água e consequentemente no plasma Para estudar a velocidade da hidrólise o pesquisador observou em tempos diferentes a quantidade de procaína hidrolisada em cada tubo de ensaio Os dados estão na tabela abaixo Tempo Quantidade hidrolisada 4 2 9 18 12 20 15 28 15 32 a Faça o diagrama de dispersão de y quantidade hidrolisada sobre x tempo b Calcule o coeficiente de correlação e o coeficiente de determinação c Construa a equação de regressão d Ajuste a reta de regressão no diagrama de dispersão e Teste a significância do coeficiente de regressão α 005 2 Com o objetivo de detectar uma possível diferença genética entre pessoas que apresentam formas distintas de esquistossomose foi estudada uma amostra de 117 pacientes obtida em Catolândia Bahia onde essa doença é endêmica Weimer e colaboradores 1991 Os dados a seguir referemse aos fenótipos de haptoglobina Hp encontrados nessas pessoas Compare as duas formas da enfermidade quanto à freqüência dos tipos Hp através de um nível de significância de 001 Forma de esquistossomose Fenótipo Hp 1 1 2 1 2 2 Hepatoesplênica 17 31 8 Intestinal 14 37 10 3 A companhia de seguros Security Ltda analisou a frequência com que 500 segurados usaram o hospital apresentando os resultados na tabela que se segue Oliveira 1999 Pedese Segurados do sexo feminino usam mais o hospital que segurados do sexo masculino α005 Usa o Hospital Sexo Masculino Feminino Sim 25 40 Não 225 210 A tabela fornece os valores c tais que onde n é o número de graus de liberdade e p é a probabilidade de sucesso gl 0995 0990 0975 0950 0900 0500 0100 0050 0025 0010 0005 1 0000 0000 0001 0004 0016 0455 2706 3841 5024 6635 7879 2 0010 0020 0051 0103 0211 1386 4605 5991 7378 9210 10597 3 0072 0115 0216 0352 0584 2366 6251 7815 9348 11345 12838 4 0207 0297 0484 0711 1064 3357 7779 9488 11143 13277 14860 5 0412 0554 0831 1145 1610 4351 9236 11070 12833 15086 16750 6 0676 0872 1237 1635 2204 5348 10645 12592 14449 16812 18548 7 0989 1239 1690 2167 2833 6346 12017 14067 16013 18475 20278 8 1344 1646 2180 2733 3490 7344 13362 15507 17535 20090 21955 9 1735 2088 2700 3325 4168 8343 14684 16919 19023 21666 23589 10 2156 2558 3247 3940 4865 9342 15987 18307 20483 23209 25188 11 2603 3053 3816 4575 5578 10341 17275 19675 21920 24725 26757 12 3074 3571 4404 5226 6304 11340 18549 21026 23337 26217 28300 13 3565 4107 5009 5892 7042 12340 19812 22362 24736 27688 29819 14 4075 4660 5629 6571 7790 13339 21064 23685 26119 29141 31319 15 4601 5229 6262 7261 8547 14339 22307 24996 27488 30578 32801 16 5142 5812 6908 7962 9312 15338 23542 26296 28845 32000 34267 17 5697 6408 7564 8672 10085 16338 24769 27587 30191 33409 35718 18 6265 7015 8231 9390 10865 17338 25989 28869 31526 34805 37156 19 6844 7633 8907 10117 11651 18338 27204 30144 32852 36191 38582 20 7434 8260 9591 10851 12443 19337 28412 31410 34170 37566 39997 21 8034 8897 10283 11591 13240 20337 29615 32671 35479 38932 41401 22 8643 9542 10982 12338 14041 21337 30813 33924 36781 40289 42796 23 9260 10196 11689 13091 14848 22337 32007 35172 38076 41638 44181 24 9886 10856 12401 13848 15659 23337 33196 36415 39364 42980 45559 25 10520 11524 13120 14611 16473 24337 34382 37652 40646 44314 46928 26 11160 12198 13844 15379 17292 25336 35563 38885 41923 45642 48290 27 11808 12879 14573 16151 18114 26336 36741 40113 43195 46963 49645 28 12461 13565 15308 16928 18939 27336 37916 41337 44461 48278 50993 29 13121 14256 16047 17708 19768 28336 39087 42557 45722 49588 52336 30 13787 14953 16791 18493 20599 29336 40256 43773 46979 50892 53672 35 17192 18509 20569 22465 24797 34336 46059 49802 53203 57342 60275 40 20707 22164 24433 26509 29051 39335 51805 55758 59342 63691 66766 45 24311 25901 28366 30612 33350 44335 57505 61656 65410 69957 73166 50 27991 29707 32357 34764 37689 49335 63167 67505 71420 76154 79490 55 31735 33570 36398 38958 42060 54335 68796 73311 77380 82292 85749 60 35534 37485 40482 43188 46459 59335 74397 79082 83298 88379 91952 70 43275 45442 48758 51739 55329 69334 85527 90531 95023 100425 104215 80 51172 53540 57153 60391 64278 79334 96578 101879 106629 112329 116321 90 59196 61754 65647 69126 73291 89334 107565 113145 118136 124116 128299 100 67328 70065 74222 77929 82358 99334 118498 124342 129561 135807 140169 110 75550 78458 82867 86792 91471 109334 129385 135480 140917 147414 151948 120 83852 86923 91573 95705 100624 119334 140233 146567 152211 158950 163648 Distribuição t Student t P T v 025 010 005 0025 001 0005 00025 0001 1 10000 30777 63138 127062 318205 636567 1273213 3183088 2 08165 18856 29200 43027 69646 99248 140890 223271 3 07649 16377 23534 31824 45407 58409 74533 102145 4 07407 15332 21318 27764 37469 46041 55976 71732 5 07267 14759 20150 25706 33649 40321 47733 58934 6 07176 14398 19432 24469 31427 37074 43168 52076 7 07111 14149 18946 23646 29980 34995 40293 47853 8 07064 13968 18595 23060 28965 33554 38325 45008 9 07027 13830 18331 22622 28214 32498 36897 42968 10 06998 13722 18125 22281 27638 31693 35814 41437 11 06974 13634 17959 22010 27181 31058 34966 40247 12 06955 13562 17823 21788 26810 30545 34284 39296 13 06938 13502 17709 21604 26503 30123 33725 38520 14 06924 13450 17613 21448 26245 29768 33257 37874 15 06912 13406 17531 21314 26025 29467 32860 37328 16 06901 13368 17459 21199 25835 29208 32520 36862 17 06892 13334 17396 21098 25669 28982 32224 36458 18 06884 13304 17341 21009 25524 28784 31966 36105 19 06876 13277 17291 20930 25395 28609 31737 35794 20 06870 13253 17247 20860 25280 28453 31534 35518 21 06864 13232 17207 20796 25176 28314 31352 35272 22 06858 13212 17171 20739 25083 28188 31188 35050 23 06853 13195 17139 20687 24999 28073 31040 34850 24 06848 13178 17109 20639 24922 27969 30905 34668 25 06844 13163 17081 20595 24851 27874 30782 34502 26 06840 13150 17056 20555 24786 27787 30669 34350 27 06837 13137 17033 20518 24727 27707 30565 34210 28 06834 13125 17011 20484 24671 27633 30469 34082 29 06830 13114 16991 20452 24620 27564 30380 33962 30 06828 13104 16973 20423 24573 27500 30298 33852 31 06825 13095 16955 20395 24528 27440 30221 33749 32 06822 13086 16939 20369 24487 27385 30149 33653 33 06820 13077 16924 20345 24448 27333 30082 33563 34 06818 13070 16909 20322 24411 27284 30020 33479 35 06816 13062 16896 20301 24377 27238 29960 33400 36 06814 13055 16883 20281 24345 27195 29905 33326 37 06812 13049 16871 20262 24314 27154 29852 33256 38 06810 13042 16860 20244 24286 27116 29803 33190 39 06808 13036 16849 20227 24258 27079 29756 33128 40 06807 13031 16839 20211 24233 27045 29712 33069 45 06800 13006 16794 20141 24121 26896 29521 32815 50 06794 12987 16759 20086 24033 26778 29370 32614 55 06790 12971 16730 20040 23961 26682 29247 32451 60 06786 12958 16706 20003 23901 26603 29146 32317 65 06783 12947 16686 19971 23851 26536 29060 32204 70 06780 12938 16669 19944 23808 26479 28987 32108 75 06778 12929 16654 19921 23771 26430 28924 32025 80 06776 12922 16641 19901 23739 26387 28870 31953 85 06774 12916 16630 19883 23710 26349 28822 31889 90 06772 12910 16620 19867 23685 26316 28779 31833 100 06770 12901 16602 19840 23642 26259 28707 31737 120 06765 12886 16577 19799 23578 26174 28599 31595 a b O coeficiente de correlação pode ser calculado através da equação abaixo Inicialmente calculamse os valores Σx Σx2 Σy Σy2 e Σxy disponíveis no quadro abaixo x y xy x2 y2 4 2 8 16 4 9 18 162 81 324 12 20 240 144 400 15 28 420 225 784 15 32 480 225 1024 SOMA 55 100 1310 691 2536 Dessa maneira segue que r xy r0978 O coeficiente de correlação é r0978 Consequentemente o valor do coeficiente de determinação calculado por r² é r²0957 r 20957 c A equação de regressão é dada pela equação abaixo e os coeficientes a e b podem ser calculados através das relações abaixo e Dessa maneira segue que b xy Consequentemente o valor de a é calculado aYbX sendo Y a média dos valores de y e X a média dos valores de x Dessa forma Y 20 e X 11 a20242211 a6860 Dessa forma a equação de regressão é y68602422x d d Realizandose o Teste de Hipóteses H0 Coeficiente de Regressão Populacional B0 H1 Coeficiente de Regressão Populacional B não nulo Calculandose os valor de EPb obtémse EPB0300 e consequentemente o valor de tcalc é dado por t calc b E Pb 2422 03008141 Determinandose o valor crítico de teste temos que t0053 7453 Como o valor de tcalc é maior do que o valor crítico rejeitase H0 e concluise que o coeficiente de regressão populacional não deve ser zero e que existe regressão de y em relação a x Hipóteses Estatísticas H0 OE0 sendo que O são os valores observados e E são os valores calculados adotando a hipótese de que a forma de esquistossomose não varia com os tipos de fenótipo Hp H1 OE não nulo ou seja a forma de esquistossomose varia com os tipos de fenótipo Hp Nível de Significância α001 Graus de Liberdade glL1C121312 Valor Crítico de Teste χ2 00525991 Cálculo da Estatística de Teste E consequentemente χ2 calc083 Como χ2 calcχ2 0052 não rejeitase H0 e concluise que a forma de esquistossomose não varia de acordo com o tipo de fenótipo Hp Teste de Hipóteses H0 Segurados do sexo feminino e masculino utilizam o hospital com mesma frequência H1 Segurados do sexo feminino e masculino utilizam o hospital com frequências distintas Valor Crítico de Teste χ2 00513841 Estatística de Teste χ2 Yates3466 Como o valor da estatística de teste é menor do que o valor crítico de teste conclui se que não há distinção entre a frequência de utilização do hospital entre homens e mulheres