Exercícios Resolvidos Teste de Hipóteses Estatística - Comparação de Médias e Variâncias

1 Em um experimento planejado para testar a eficácia da paroxetina para o tratamento de depressão bipolar os sujeitos foram medidos com a escala de depressão de Hamilton com os resultados dados abaixo com base em dados de DoubleBlind Placebo Controlled Comparison of Imipramine and Paroxetine in the Treatment of Bipolar Depression de Nemeroff et al American Journal Psychiatry Vol 158 No 6 Usando um nível de significância de 005 teste a afirmativa de que o grupo de tratamento e o grupo placebo provêm de populações com a mesma média Grupo n s gl gl Controle 43 2157 387 74 70 Tratamento 33 2038 391 2 Em um estudo relativo aos efeitos sobre bebês do uso de cocaína no período pré natal obtiveram os seguintes dados amostrais para os pesos ao nascer n 190 2700 g s 645g com base em dados de Cognitive Outcomes of Preschool Children with Prenatal Cocaine Exposure de Singer et al Journal of the American Medical Association Vol 291 No 20 Use um nível de significância de 001 para testar a afirmativa de que os pesos de bebês que nascem de mães usuárias de cocaína têm uma média menor do que a média preconizada de 3103g para bebês nascidos de mães que não usam cocaína 3 Medidas mentais de crianças pequenas são sempre feitas dandolhes blocos e pedindolhes que construam uma torre com altura máxima possível Um experimento de construção com blocos foi repetido um mês depois com os tempos em segundos listados na tabela que se segue com base em Tower Building de Johnson e Courtney Child Development Vol 3 Há evidência suficiente para apoiar a afirmativa de que há uma diferença entre os dois tempos Use um nível de significância de 001 Criança A B C D E F G H I J Primeira tentativa 30 19 19 23 29 178 42 20 12 39 Segunda tentativa 30 6 14 8 14 52 14 22 17 8 4 Tesche e colaboradores 1984 informam o diâmetro de ovos de jacarédopapo amarelo Caiman latirostris obtidos em dois locais no Zoológico de Sapucaia do Sul RS e no Jardim Zoológico do Rio de Janeiro RJ Compare o diâmetro dos ovos x sx usando α 005 Variáveis mm Sapucaia n 8 Rio de Janeiro n12 gl gl Diâmetro 457 098 383 069 18 12 1 Em um experimento planejado para testar a eficácia da paroxetina para o tratamento de depressão bipolar os sujeitos foram medidos com a escala de depressão de Hamilton com os resultados dados abaixo com base em dados de DoubleBlind Placebo Controlled Comparison of Imipramine and Paroxetine in the Treatment of Bipolar Depression de Nemeroff et al American Journal Psychiatry Vol 158 No 6 Usando um nível de significância de 005 teste a afirmativa de que o grupo de tratamento e o grupo placebo provêm de populações com a mesma média Grupo n s gl gl Controle 43 2157 387 74 70 Tratamento 33 2038 391 Apesar de as variâncias populacionais não serem conhecidas em ambas as amostras existem mais de 30 indivíduos n 30 de maneira que podemos utilizar a estatística de teste z evocando o Teorema Central do Limite para testar a diferença de médias entre os grupos aproximando as variâncias populacionais pelas amostrais Temos então Hipóteses H0 𝜇controle 𝜇tratamento H1 𝜇controle 𝜇tratamento Estatística de teste zcalc x1x2 𝜎²1 n1 𝜎²2 n2 21572038 387² 43 391² 33 132 Região de rejeição de H0 zcrit𝛼 005 196 Conclusão Como zcalc não pertence à região de rejeição da hipótese nula esta não é rejeitada ao nível de significância de 5 Podemos concluir que não há evidências de que os grupos controle e placebo provenham de populações com médias distintas 2 Em um estudo relativo aos efeitos sobre bebês do uso de cocaína no período prénatal obtiveram os seguintes dados amostrais para os pesos ao nascer n 190 2700 g s 645g com base em dados de Cognitive Outcomes of Preschool Children with Prenatal Cocaine Exposure de Singer et al Journal of the American Medical Association Vol 291 No 20 Use um nível de significância de 001 para testar a afirmativa de que os pesos de bebês que nascem de mães usuárias de cocaína têm uma média menor do que a média preconizada de 3103g para bebês nascidos de mães que não usam cocaína Temos que n 30 dessa forma mesmo sem conhecermos o desviopadrão populacional podemos utilizar a estatística de teste z e aproximar σ por s Temos então Hipóteses H0 𝜇 3103g H1 𝜇 3103g Estatística de teste zcalc x𝜇 𝜎 n 27003103 645 190 861 Região de rejeição de H0 zcrit𝛼 001 233 Em que a região colorida é a região de rejeição da hipótese nula Conclusão Como zcalc zcrit temos que a estatística de teste pertence à região de rejeição da hipótese nula Dessa forma rejeitase H0 ao nível de significância de 1 Podemos concluir que os bebês nascidos de mães usuárias de cocaína possuem menor peso médio do que o preconizado para bebês de mães não usuárias da droga 3103g 3 Medidas mentais de crianças pequenas são sempre feitas dandolhes blocos e pedindo lhes que construam uma torre com altura máxima possível Um experimento de construção com blocos foi repetido um mês depois com os tempos em segundos listados na tabela que se segue com base em Tower Building de Johnson e Courtney Child Development Vol 3 Há evidência suficiente para apoiar a afirmativa de que há uma diferença entre os dois tempos Use um nível de significância de 001 Criança A B C D E F G H I J Primeira tentativa 30 19 19 23 29 178 42 20 12 39 Segunda tentativa 30 6 14 8 14 52 14 22 17 8 Como se trata das mesmas crianças em dois momentos diferentes utilizamos o teste t Student para amostras pareadas dependentes Seja diferença depois antes temos dif 0 13 5 15 15 126 28 2 5 31 xdif 0 31 10 226 10 2260 sdif 02260² 312260² 101 131864 9 382774 Hipóteses H0 𝜇dif 0 H1 𝜇dif 0 Estatística de teste tcalc xdif sdif n 2260 382774 10 1867 Região de rejeição de H0 tcrit𝛼 001 g l 9 3250 Conclusão Como tcalc não pertence à região de rejeição da hipótese nula ela não pode ser rejeitada ao nível de significância de 1 Não há evidências de que há diferença significativa entre os tempos médios 4 Tesche e colaboradores 1984 informam o diâmetro de ovos de jacarédopapo amarelo Caiman latirostris obtidos em dois locais no Zoológico de Sapucaia do Sul RS e no Jardim Zoológico do Rio de Janeiro RJ Compare o diâmetro dos ovos 𝑥 𝑠𝑥 usando α 005 Variáveis mm Sapucaia n 8 Rio de Janeiro n12 gl gl Diâmetro 457 098 383 069 18 12 As variâncias populacionais são desconhecidas e as amostras são pequenas n 30 Dessa forma o primeiro passo é realizar um teste para verificar se as variâncias populacionais podem ou não ser consideradas homogêneas Temos Hipóteses H0 𝜎²1 𝜎²2 1 variâncias homogêneas H1 𝜎²1 𝜎²2 1 variâncias não homogêneas Estatística de teste Fcalc s²1 s²1 098² 069² 2017 Região de rejeição de H0 Fcrit𝛼 005 g l 7 11 0212 e 3759 Conclusão Temos que Fcalc não pertence à região de rejeição da hipótese nula logo esta não é rejeitada ao nível de significância de 5 Há evidências de que as variâncias são homogêneas Como as variâncias são homogêneas devese realizar o teste tStudent para diferença de médias considerando variâncias iguaishomogêneas Hipóteses H0 𝜇sap 𝜇rj H1 𝜇sap 𝜇rj Estatística de teste Sp n11 s²1 n21 s²2 n1 n22 81 098² 121 069² 8 12 2 08151 tcalc x1x2 Sp 1 n1 1 n2 457 383 08151 1 8 1 12 19890 Região de rejeição de H0 tcrit𝛼 005 g l 18 2101 Conclusão Como tcrit pertence à região de rejeição da hipótese nula esta é rejeitada ao nível de significância de 5 Podemos concluir que há evidências de que as médias do diâmetro dos ovos de jacarédopapoamarelo se diferem entre os zoológicos de Sapucaia do Sul e do Rio de Janeiro 1 Em um experimento planejado para testar a eficácia da paroxetina para o tratamento de depressão bipolar os sujeitos foram medidos com a escala de depressão de Hamilton com os resultados dados abaixo com base em dados de DoubleBlind Placebo Controlled Comparison of Imipramine and Paroxetine in the Treatment of Bipolar Depression de Nemeroff et al American Journal Psychiatry Vol 158 No 6 Usando um nível de significância de 005 teste a afirmativa de que o grupo de tratamento e o grupo placebo provêm de populações com a mesma média Grupo n s gl gl Controle 43 2157 387 74 70 Tratamento 33 2038 391 Apesar de as variâncias populacionais não serem conhecidas em ambas as amostras existem mais de 30 indivíduos n 30 de maneira que podemos utilizar a estatística de teste z evocando o Teorema Central do Limite para testar a diferença de médias entre os grupos aproximando as variâncias populacionais pelas amostrais Temos então Hipóteses H 0 μcontroleμtratamento H 1 μcontrole μtratamento Estatística de teste zcalc x1x2 σ ²1 n1 σ ²2 n2 21572038 387² 43 3 91² 33 132 Região de rejeição de H 0 zcritα0 05196 Conclusão Como zcalc não pertence à região de rejeição da hipótese nula esta não é rejeitada ao nível de significância de 5 Podemos concluir que não há evidências de que os grupos controle e placebo provenham de populações com médias distintas 2 Em um estudo relativo aos efeitos sobre bebês do uso de cocaína no período pré natal obtiveram os seguintes dados amostrais para os pesos ao nascer n 190 2700 g s 645g com base em dados de Cognitive Outcomes of Preschool Children with Prenatal Cocaine Exposure de Singer et al Journal of the American Medical Association Vol 291 No 20 Use um nível de significância de 001 para testar a afirmativa de que os pesos de bebês que nascem de mães usuárias de cocaína têm uma média menor do que a média preconizada de 3103g para bebês nascidos de mães que não usam cocaína Temos que n 30 dessa forma mesmo sem conhecermos o desviopadrão populacional podemos utilizar a estatística de teste z e aproximar σ por s Temos então Hipóteses H 0 μ3103 g H 1 μ3103g Estatística de teste zcalcxμ σ n 27003103 645 190 861 Região de rejeição de H 0 zc ritα001233 Em que a região colorida é a região de rejeição da hipótese nula Conclusão Como zcalczcrit temos que a estatística de teste pertence à região de rejeição da hipótese nula Dessa forma rejeitase H 0 ao nível de significância de 1 Podemos concluir que os bebês nascidos de mães usuárias de cocaína possuem menor peso médio do que o preconizado para bebês de mães não usuárias da droga 3103g 3 Medidas mentais de crianças pequenas são sempre feitas dandolhes blocos e pedindolhes que construam uma torre com altura máxima possível Um experimento de construção com blocos foi repetido um mês depois com os tempos em segundos listados na tabela que se segue com base em Tower Building de Johnson e Courtney Child Development Vol 3 Há evidência suficiente para apoiar a afirmativa de que há uma diferença entre os dois tempos Use um nível de significância de 001 Criança A B C D E F G H I J Primeira tentativa 30 19 19 23 29 178 42 20 12 39 Segunda tentativa 30 6 14 8 14 52 14 22 17 8 Como se trata das mesmas crianças em dois momentos diferentes utilizamos o teste t Student para amostras pareadas dependentes Seja diferença depois antes temos dif 0 13 5 15 15 126 28 2 5 31 xdif031 10 226 10 2260 sdif 02260²312260² 101 13186 4 9 38277 4 Hipóteses H 0 μdif0 H 1 μdif 0 Estatística de teste t calc xdif sdif n 2260 382774 10 1867 Região de rejeição de H 0 t critα001gl 93250 Conclusão Como t calc não pertence à região de rejeição da hipótese nula ela não pode ser rejeitada ao nível de significância de 1 Não há evidências de que há diferença significativa entre os tempos médios 4 Tesche e colaboradores 1984 informam o diâmetro de ovos de jacarédopapo amarelo Caiman latirostris obtidos em dois locais no Zoológico de Sapucaia do Sul RS e no Jardim Zoológico do Rio de Janeiro RJ Compare o diâmetro dos ovos x sx usando α 005 Variáveis mm Sapucaia n 8 Rio de Janeiro n12 gl gl Diâmetro 457 098 383 069 18 12 As variâncias populacionais são desconhecidas e as amostras são pequenas n 30 Dessa forma o primeiro passo é realizar um teste para verificar se as variâncias populacionais podem ou não ser consideradas homogêneas Temos Hipóteses H 0 σ ²1 σ ²2 1variânciashomogêneas H 1 σ ²1 σ ²2 1variâncias nãohomogêneas Estatística de teste Fcalc s²1 s²1 098² 069²2017 Região de rejeição de H 0 Fcritα005gl 7110212e 3759 Conclusão Temos que Fcalc não pertence à região de rejeição da hipótese nula logo esta não é rejeitada ao nível de significância de 5 Há evidências de que as variâncias são homogêneas Como as variâncias são homogêneas devese realizar o teste tStudent para diferença de médias considerando variâncias iguaishomogêneas Hipóteses H 0 μsapμrj H 1 μsap μrj Estatística de teste Sp n11s²1n21s²2 n1n22 81098²121069² 8122 08151 t calc x1x2 Sp 1 n1 1 n2 457383 08151 1 8 1 12 19890 Região de rejeição de H 0 t critα005 gl 182101 Conclusão Como t crit pertence à região de rejeição da hipótese nula esta é rejeitada ao nível de significância de 5 Podemos concluir que há evidências de que as médias do diâmetro dos ovos de jacarédopapoamarelo se diferem entre os zoológicos de Sapucaia do Sul e do Rio de Janeiro