Analise de Sistemas Continuos Amostrados - Controle Digital CEFETPR

CEFETPR Controle Digital Prof Brero V 1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA ANÁLISE DE SISTEMAS CONTÍNUOS AMOSTRADOS A grande maioria dos processos físicos é analógico Ao se colocar um controlador discreto na malha de controle é necessário tomar alguns cuidados ao se fazer a análise de estabilidade e o projeto Para se fazer a análise do sistema temse duas alternativas 1 PROJETO POR EMULAÇÃO O projeto é feito no plano S como se todo o sistema fosse contínuo Neste caso devese encontrar o modelo contínuo equivalente do segurador de ordem zero SOZ que deve ser incluído na malha de controle durante o projeto no plano S pois seu efeito irá influenciar a resposta no sistema amostrado O projeto do controlador é feito no plano S obtendo Cs Em seguida o controlador é discretizado e é implementado no microcontrolador na forma de uma equação à diferenças O projeto por emulação consiste na discretização do controlador contínuo De forma resumida devese a Projetar um controlador contínuo Cs levando em conta o efeito do SOZ b Discretizar Cs para obter Cz c Verificar se o projeto atende às especificações através de algum método de análise ou por simulação 2 PROJETO EM TEMPO DISCRETO Devido à existência do controlador digital é necessário incluir um amostrador no modelo do sistema Como o sistema é contínuo ele não conseguiria reconhecer o sinal que vem do amostrador Então é necessário manter o sinal amostrado constante durante o período de amostragem utilizando um segurador hold Este sistema é denominado Sistema Contínuo Amostrado devido ao amostrador Este método consiste em discretizar a planta contínua considerando o segurador de ordem zero ou outro tipo de segurador e analisar todo o sistema como se fosse discreto A discretização da planta contínua utilizando um segurador de ordem zero é mostrada a seguir 21 Transformada Z com segurador de ordem zero Hold Em um sistema discreto a informação só existe nos instantes de amostragem isto é t0T t1T t2T etc O segurador de ordem zero é usado para manter o sinal de saída constante entre os instantes de amostragem para que o sinal possa ser aplicado a um sistema contínuo Um exemplo de um segurador de ordem zero é o registrador de saída da porta paralela O diagrama do sistema discreto com o segurador de ordem zero é mostrado a seguir CEFETPR Controle Digital Prof Brero V 2 A equação discretizada fica Onde z1 esT Exemplo Gs 1ss1 para T1s Propriedades 1 Dz não preserva as respostas ao impulso e em freqüência de Ds 2 Mapeamento plano s plano z Se Ds é estável Dz será estável também MÉTODOS DE DISCRETIZAÇÃO Existem diversos métodos para discretizar sistemas contínuos A seleção adequada do método de discretização não é uma tarefa muito fácil O projetista tem que se questionar sobre o que ele espera do algoritmo de controle discretizado comparado com o desempenho do sistema analógico As propriedades mais utilizadas na escolha do método de discretização são 1 Número de pólos e zeros 2 Largura de faixa 3 Ganho DC 4 Margem de fase 5 Margem de ganho 6 Resposta no tempo Normalmente apenas algumas propriedades são preservadas durante o processo de discretização Os principais métodos são mostrados a seguir 1 Transformada Z do sistema amostrado T Gs Segurador de ordem zero Dz z 1 esT Gs s Gs 1 esT 1 s ss 1 Gz 1 z1 z 1 s2 s 1 Gz 0368 z 0264 z 1z 0368 CEFETPR Controle Digital Prof Brero V 3 Dado um sistema contínuo amostrado Hs ele pode ser representado como um sistema discreto através dos seguintes passos a Separe a função de transferência em funções parciais b Obtenha a antitransformada de Laplace ht A1ea 1 t A2ea 2 t c Discretize o sistema substituindo tkT hkT A1ea 1 kT A2ea 2 kT d Calcule a transformada Z pela definição Exemplo Obtenha o equivalente discreto do sistema contínuo Hs Através da tabela de transformada de Laplace obtémse ht eat ebtb a hkT eakT ebkTb a Através da tabela de transformada Z obtémse Propriedades 1 Dz tem a mesma resposta ao impulso que Ds 2 Dz não preserva a resposta em freqüência de Ds 3 Mapeamento plano s plano z Hs A1 A2 s a1 s a2 Hz A1 z A2 z z ea 1 T z ea 2 T Hs 1 s as b Hs Hz z eaT ebT ba z eaT z ebT js2 Imz Rez j Plano S Plano z js2 Faixa primária Faixa secundária Faixa secundária Hs CEFETPR Controle Digital Prof Brero V 4 Todo o plano s é mapeado dentro do círculo unitário no plano z Os pólos e zeros do sistema contínuo devem estar dentro da faixa primária para evitar distorção na discretização As faixas secundárias ocorrem devido ao processo de amostragem As informações da faixa primária são repetidas nas faixas secundárias 2 Método backward difference A derivada é aproximada através da equação dydt yt yt t t ykT ykT TT aplicando a transformada de Laplace e substituindo Tt sYs Ys esT Ys T Ys 1 z1T Desta forma é possíve obter o equivalente discreto substituindo s por Exemplo Ds as a Propriedades a É de fácil aplicação b Não preserva respostas ao impulso e em freqüência c Mapeamento plano s plano z 3 Transformação BILINEAR transformação TUSTIN integração trapezoidal É obtida substituindo Exemplo Hs asa Então s 1 z1 T Dz a 1 z1 a T Dz aT 1 a T z1 Imz Rez j Plano S Plano z s 2 1 z1 T 1 z1 Hz a az1 2 1 z1 a z2T a a 2T T1 z1 CEFETPR Controle Digital Prof Brero V 5 Propriedades 1 transforma todo o semiplano esquerdo do plano s no círculo unitário do plano z 2 Não preserva respostas ao impulso e em freqüência 3 Mapeamento plano s plano z Este método introduz uma distorção em frequencia que será mostrada a seguir A partir da relação de transformação E fazendo sj e zejT para verificar a resposta em freqüência Para baixos valores de não há distorção pois tg Para T2 17o teremos A transformação Bilinear comprimi a freqüência contínua 0 para uma faixa digital limitada à 0 T 4 Transformação Bilinear com préwarping em freqüência prédistorção É feita uma prédistorção para compensar o problema mostrado anteriormente Fazse Para todos pólos e zeros desejados substituise sa por sa onde Imz Rez j Plano S Plano z s 2 1 z1 T 1 z1 2 tanT2 T j 2 1 ejT 2 j tanT2 T 1 ejT T T s 2 1 z1 T 1 z1 a 2 tanaT2 T CEFETPR Controle Digital Prof Brero V 6 Neste método deve ser feito um ajuste de escala para preservar o ganho DC Exemplo Fazendo o prewarping Calculando Dz O ganho DC do filtro no plano s vale Ds1 No plano z o ganho DC vale Propriedades 1 Ele mapeia o lado esquerdo do plano s no círculo unitário no plano z 2 Ele preserva a resposta em freqüência para uma freqüência específica e para o ganho DC e comprimi a faixa de freqüência de para 3 A resposta ao impulso e de fase não são preservadas 6 Mapeamento de pólos e zeros Esta técnica consiste de regras heurísticas para localizar os zeros e o ganho Os pólos de Gs e Gz são relacionados pela transformação zesT a Todos os pólos de Gs são mapeados de acordo com a relação zesT Se Gs tem pólo em sa então Gz terá um pólo em zeaT b Todos os zeros finitos são mapeados por zesT Se Gs tem um zero em sb então Gz terá um zero em zebT c Todos os zeros de Gs no infinito são mapeados em Gz no ponto z1 d Devese fazer um ajuste de escala para que o ganho DC seja igual para Gs e Gz Exemplo Dsa a s 2 tanaT2 T Dz a 2 z 1 2 tanaT2 T z 1 T Ds a sa Dt lim a 1 s0 sa Dk lim a k 1 z 1 2 z 1 2 tanaT2 T z 1 T K 2 tanaT2 T a Ds s sa Dz k1 z1 k z 1 1 z1eaT z eaT CEFETPR Controle Digital Prof Brero V 7 Este é um filtro passaalta então interessa manter o mesmo ganho em altas frequencias z 1 Exercício a Discretize o sistema abaixo com SOZ utilizando o comando C2D no programa MATLAB T1ms b Plote a resposta da saída do sistema discretizado para um degrau unitário na entrada Compare as respostas em frequência do sistema contínuo e da função de transferência discretizada c Calcule o módulo da Função de transferência na freqüência de 100 rads para o filtro discretizado a partir do método backward difference com T10 ms 100 s 100 100 s 100 SOZ Dz k 1 1 1 z 1 1 eaT k 1eaT 2 Dz 1eaT z 1 2 z eaT