Erro em Regime Permanente em Sistemas de Controle Digital - Análise e Cálculo

UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof Brero VI 1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA ERRO EM REGIME PERMANENTE Inicialmente veja o sistema realimentado mostrado na figura 1 onde é aplicado um degrau na entrada Este sistema é um controlador de temperatura O sinal de referência que indica a temperatura desejada é comparado com o valor medido da temperatura A diferença entre os dois sinais gera o sinal de erro Este sinal de erro é amplificado e aplicado à resistência A corrente que passa pela resistência irá gerar calor Figura 1 sistema realimentado Para aquecer a resistência é necessário que haja uma tensão na entrada do amplificador para que este sinal possa ser amplificado e assim gerar tensão e corrente que serão aplicados à resistência O sinal na entrada do amplificador é chamado sinal de erro Aumentandose o ganho do sistema o valor do erro diminui Mas sempre será necessário que haja um erro Para sistemas como o mostrado na figura acima sem integrador sempre haverá um erro finito Para que o erro seja zero devese colocar um integrador na malha Sistemas sem integrador são chamados sistemas do tipo 0 Para este tipo de sistema o erro devido a um degrau é finito Se for aplicada uma rampa na entrada o sistema da figura acima não conseguirá acompanhar e o erro irá aumentar de forma indefinida Mas se for colocado um integrador o sistema conseguirá acompanhar o sinal de entrada mas com um erro finito Para que o erro seja zero devese der dois integradores na malha Desta forma um sistema do tipo 1 consegue acompanhar uma rampa na entrada com erro finito Para não Ter erro devese colocar um integrado na malha ou seja Ter o equivalente a dois integradores na malha erro Referência resistência Amplificador K Medidor de temperatura UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof Brero VI 2 CÁLCULO DOS ERROS O erro em regime permanente significa o erro que o sistema tem após a resposta transitória ter terminado Dado o sistema realimentado mostrado na figura abaixo O erro é definido como Ez Rz Bz Rz Hz Cz Rz Gz Hz Ez Para se encontrar o erro em regime aplicase o teorema do valor final Para o sinal discreto A função de transferência do erro é dada por O termo GzHz é chamado função de transferência em malha aberta e de forma geral pode ser escrita como N é chamado o Tipo do Sistema Se N0 temse um sistema tipo zero Se N1 temse um sistema tipo um e assim por diante Definese Kdc como sendo o ganho DC em malha aberta com os pólos em z1 removidos Fazendose o limite quando z 1 Cz Ez Bz Gz Hz Rz ess lim et lim ekt lim 1 z1Ez t k z1 Ez Rz 1 GzHz GzHz K zzi z1N zpi Kdc K zzi zpj para z 1 N0 sistema tipo zero N1 sistema tipo 1 etc UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof Brero VI 3 ERRO DEVIDO A UMA SEQUÊNCIA DEGRAU NA ENTRADA A função degrau no domínio do tempo é rtRut onde ut1 para t 0 A transformada de Laplace é dada por RsRs A função degrau no plano z tem a função de transferência mostrada a seguir Substituindo a equação do degrau na equação do erro obtémse A constante de erro de posição é definida como O erro devido à uma função degrau na entrada é dado por Para se ter erro zero quando se aplica uma sequencia degrau na entrada Kp deve ser infinito Para kp ser infinito implica que a função GzHz deve Ter um pólo ao menos em z1 Para sistemas com tipo 1 o erro será zero ERRO DEVIDO À UMA SEQUÊNCIA RAMPA NA ENTRADA A função rampa no domínio do tempo é rt Rtust A transformada de Laplace da função rampa é RsRs2 A transformada Z da função rampa é dada por Rz RTz z12 O erro em regime é dado por Rz R z z 1 onde R é a amplitude do sinal de entrada ess lim R R z1 1 GzHz 1 lim GzHz z1 ess R 1 Kp ess lim 1z1 1 R z z1 1 GzHz z 1 Kp lim GzHz z1 Ez RTz 1 z12 1 GzHz UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof Brero VI 4 A constante de erro de velocidade é definida como O erro devido à uma rampa na entrada é dado por Para se Ter erro zero Kv deve ser infinito Isto significa que GzHz deve ter no mínimo dois pólos em z1 O termo erro de velocidade é usado para indicar o erro para uma entrada rampa A dimensão do erro de velocidade é a mesma que a do erro do sistema isto é o erro de velocidade não é um erro de velocidade mas um erro na posição devido à entrada tipo rampa ERRO DEVIDO À UMA SEQUÊNCIA PARÁBOLA NA ENTRADA A função parábola no domínio do tempo é rt Rt2ust2 A transformada Z da função parábola é dada por Rz RT2z z1 2z13 O erro em regime é dado por ess lim R T z1 1 GzHz z 1 ess R lim z 1 GzHz z1 T Kv 1 lim z 1 GzHz T z1 ess R Kv ess T2 lim R z 1 2 z1 z 12 1 GzHz ess lim 1z1 RTz 1 z1 z12 1 GzHz ess lim 1z1 R T2 z 1z 1 z1 2 z 13 1 GzHz UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof Brero VI 5 A constante de erro de aceleração é definida como O erro devido a uma parábola na entrada é dado por O termo erro de aceleração isto é o erro devido a uma entrada em parábola é um erro na posição devido a uma entrada parábola RESUMO DOS ERROS EM REGIME PERMANENTE TIPO DO SISTEMA Erro em regime permanente Para sinal de entrada degrau Para sinal de entrada rampa Para sinal de entrada parábola Tipo 0 essR1Kp Infinito Infinito Tipo 1 ess0 RKv Infinito Tipo 2 ess0 0 RKa Exemplo a Determine o ganho K para que o sistema tenha um coeficiente de amortecimento de 07 O lugar das raízes junto com o lugar geométrico de constante igual a 07 é mostrado na figura abaixo O ponto de interesse ocorre quando o lugar das raízes encontra o lugar de constante ponto P Pela figura abaixo é possível observar que este ponto é z 022j Lembrando que a equação característica é dada por 1 K Gs Hs 0 KGH 1 KGH 1 K 1GH ess R lim 2 z 12 GzHz z1 T2 z1 Ka 2 lim z 12 GzHz T2 z1 z1 ess R Ka 10 z 08 z 08 K K 1 10 z 08 z 08 UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof Brero VI 6 K z 08 z 0810 no ponto z022j K 022j 08022j 0810 083 08310 0069 Outra forma é utilizar o critério de módulo que determina que do ponto em que acontece o encontro do lugar das raízes com o lugar de qsi constante ponto P sejam desenhados vetores para os pólos v1 e v2 O ganho é se obtém como K v1v210 007 b Calcule o erro em regime para um degrau unitário na entrada Kp 07108108 07036 194 e 11kp 1294 034 Análise da resposta como está sendo aplicado um degrau unitário na entrada era esperado que a saída tivesse também valor unitário isto é y1 Mas com o erro é de 034 isto significa que a saída terá valor de y 066 c Calcule o ganho K2 para se ter erro de regime 01 Para se ter e01 como e11kp chegamos a kp9 K2 903610 0324 d Para o valor de ganho K2 qual o coeficiente de amortecimento e qual o significado disto na resposta ao degrau unitário Kp 10 K2 9 1 08 108 UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof Brero VI 7 EXERCÍCIOS obs em todos os problemas a realimentação é negativa 1 aCalcule o ganho do sistema para se ter kp5 sendo aplicado uma sequência degrau unitário na entrada b Qual o valor do erro em regime e da saída em regime c Determine os polos em malha fechada 2 Calcule o erro em regime sendo aplicada uma rampa unitária na entrada com R1 T1s 3 a Determine o erro em regime para k1 para o sistema abaixo para um degrau unitário na entrada Use T1ms b calcule o valor de K para erro005 e calcule Kp c simule os itens a e b usando o simulink 4 Para o sistema da questão 3 coloque um integrador T1ms a Varie o ganho K e verifique de que forma o ganho k altera o erro em regime b Que característica o ganho K altera c Calcule Kv para k10 d Simule este sistema 5 a Para a questão 4 aplique uma rampa unitária na entrada varie K e verifique o que acontece com o erro em regime 15 z1 z1 K z09 z 100 s 100 SOZ K 100 s 100 SOZ K z z1 UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof Brero VI 8 b Para K1 calcule o erro em regime c para K30 calcule o erro em regime 6 Para os sistemas abaixo calcule o erro para uma rampa unitária e para um degrau unitário aplicados na entrada a b c Resposta Figura Entrada degrau Entrada rampa a Erro finito Erro infinito b Erro zero Erro finito c Erro zero Erro zero PARA O PLANO S Z Z 02 Z Z 1 Z Z 02 Z Z 1 Z Z 1 Z Z 02 Kplim GsHs s0 Kvlim s GsHs s0 Kalim s2GsHs s0