Projeto de Sistemas de Controle no Plano W - Transformacao Bilinear e Tecnicas de Compensacao

UTFPR CONTROLE II Prof Paulo Brero IX 1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA PROJETO NOS PLANOS W e W As técnicas de projeto no plano s tem sido utilizadas com sucesso e muitas pessoas tem uma larga experiências nas técnicas utilizadas no plano s como o critério de Routh lugar das raízes diagramas de Bode etc Algumas das técnicas utilizadas no plano s não são mais válidas no plano z pois a região de estabilidade no plano s é o semiplano esquerdo e no plano z a região de estabilidade é o círculo unitário Mas é possível usar uma nova transformação que mapeia o círculo unitário do plano z no semiplano esquerdo de um novo plano chamado plano w Desta forma todas as técnicas utilizadas no plano s são válidas no plano w TRANSFORMAÇÃO PARA PLANO W A transformaçãoW é uma transformação Bilinear definida por A transformaçãoW transforma o círculo unitário no plano Z no lado esquerdo do plano W A transformação bilinear é um mapeamento um para um mas distorce a resposta em freqüência A distorção em freqüência é mostrada a seguir Onde Wj e zejT A relação entre as freqüências e é dado por Podese notar que para baixos valores do argumento a relação entre as freqüências é T2 Portanto existe uma diferença no fator de escala do fator T2 W z 1 z 1 z 1 W 1 W Plano z Plano W W z 1 z 1 j ejT 1 j tanT2 ejT 1 tanT2 UTFPR CONTROLE II Prof Paulo Brero IX 2 TRANSFORMAÇÃO PARA PLANO W Uma modificação pode ser obtida através do fator de escala T2 W 2T W Isto é Consequentemente a relação entre e a freqüência fictícia é dada por 2T TanT2 Podese notar que para elevadas taxas de amostragem e baixas freqüências O projeto no plano WW é feito da seguinte forma a Dada uma planta contínua amostrada e o segurador de ordem zero transforme o modelo para o plano z obtendo a função Gz b Transforme Gz para o plano WW GWGz onde ou c Faça o projeto do compensador DW utilizando os diagramas de Bode no plano WW d Transforme DWde volta ao plano Z Dz DW onde ou e É aconselhável traçar o lugar das raízes no plano z e verificar se o sistema compensado atende as especificações f Escreva a equação de Dz no tempo discreto e implemente no microcontrolador EXEMPLOS 1 Dada função Gs e supondo a utilização de um segurador de ordem zero com T 01 s calcule a função de transferência nos planos W e W Plano W z 1 WT2 1 WT2 W 2 z 1 T z 1 z 1 WT2 1 WT2 z 1 W 1 W W z 1 z 1 W 2 z 1 T z 1 5 s 5 ZOH Gz 1 esT 5 s s 5 Gz 039 z 061 GW 039 1W 061 1W GW 039 1W 039 161 W UTFPR CONTROLE II Prof Paulo Brero IX 3 Plano W 2Analise a estabilidade do sistema discretizado através dos diagramas de Bode no plano W isto é encontre Margem de Ganho e Margem de fase sendo T1 s Resolução Transformando para o plano W Os diagramas de bode são mostrados a seguir MF 6db e MG92 graus b proponha um compensador para aumentar a margem de fase para 35 graus sem alterar a constante de erro de velocidade Faça isto de forma heurística GW 039 1 005W 061 1 005W GW 0391 005W 039 008W Gz 1z1 01 0048 z 0967 s2s01 z 1 z 0905 GW 0048 z 0967 onde z 1 WT2 z 1 z 0905 1 WT2 GW 0999 1 W120 1W2 W1 W01 ZOH 01 ss01 UTFPR CONTROLE II Prof Paulo Brero IX 4 fase modulo Exercícios 1 Dada a função de transferência Gs 100s100 obtenha o equivalente no plano W supondo T0001s a transforme para o plano z discretize a função de transferência utilizando o comando c2dg T zoh no programa MATLAB b transforme do plano z para o plano w utilizando o comando d2cgdtustin no programa MATLAB PROJETO DO COMPENSADOR ATRASO DE FASE LAG Este projeto é desenvolvido utilizando os diagramas de Bode Para alterar algumas características do sistema original como resposta no tempo estabilidade etc são utilizados compensadores A função de transferência do compensador atraso de fase é dada por n ab max90 2tg1ba A resposta de Gj exibe um ângulo de fase negativo isto é um atraso de fase daí o nome deste compensador O máximo defasamento depende da relação entre o pólo e o zero ba O compensador atraso de fase reduz o ganho em alta freqüências relativamente ao ganho em baixas freqüências e introduz um atraso de fase Para o propósito de estabilidade é necessário que o filtro introduza a redução de ganho próximo do cruzamento de 180º Então a e b devem ser muito menores que a freqüência de cruzamento de 180º 100 s100 ZOH Dw a0 1 wb 1 wa Dj a0 1 jb 1 ja a b 0 dB Diagrama de fase 0º 180º Diagrama de módulo Gj 1 DjGj faseGj faseDjGj Margem de fase Desejada 5o UTFPR CONTROLE II Prof Paulo Brero IX 5 A técnica para obter uma margem de fase desejada é a seguinte supõesse que o ganho DC do compensador a0 é determinado em função das especificações e m é a margem de fase desejada 1 Determine graficamente a freqüência 1 na qual o ângulo de fase de Gj1 é aproximadamente 180 m 5o 2 Escolha o zero do compensador como sendo b011 zero para assegurar que o atraso de fase seja pequeno Na verdade o compensador irá introduzir aproximadamente 5o de atraso de fase o que foi levando em conta no passo 1 3 Em 1 é desejado que o ganho do sistema compensado seja 0db ou seja Dj1Gj1 1 O ganho do compensador em altas freqüências é a0ab onde a0 é o ganho para baixas freqüências Então o valor do pólo será Onde Gj 1 é o módulo da função Gj no ponto 1 obtido graficamente sem compensação Após isto este compensador dever ser transformado para o plano Z pois ele será implementado em um microcomputador PROJETO DO COMPENSADOR AVANÇO DE FASE LEAD A função principal do compensador em avanço é modificar a curva de resposta em frequência para propiciar um ângulo de fase suficiente para ajustar o atraso da fase excessivo associado com a planta do sistema Os procedimentos para projetar um compensador em avanço de fase podem ser estabelecidos como segue 1 Dada a função de transferência em malha aberta Gw Determine o ganho de malhaaberta K a fim de satisfazer as exigências dos coeficientes de erro 2 Usando o ganho K anteriormente determinado traçar o diagrama de módulo KGw calcule a margem de fase do sistema com este novo ganho Meça a margem de fase já levando em conta o ganho K adicionado ao sistema 3 Em função das especificações determine o ângulo de avanço de fase necessário φm a ser adicionado ao sistema Assim MFdesejada MFatual levando em conta o ganho K do item 2 φm 4 Determine o fator de atenuação α pelo uso da equação senφm 1α 1α Determine a frequência em que o módulo do sistema não compensado mas considerando o ganho K KGj1 é igual a 20log 1α Selecione esta frequência como a nova frequência de cruzamento do ganho Esta frequência corresponde a 1 1Tα e o deslocamento de fase máximo φm ocorre nesta frequência Calcule T a partir desta equação a 01 1 a0 Gj 1 UTFPR CONTROLE II Prof Paulo Brero IX 6 5 Determine as frequências de corte do compensador em avanço a partir de Zero do compensador 1T Polo do compensador 1αT A forma do compensador Lead é Cs Kc w 1 T w 1 αT Kc α T w1 αT w1 com α 1 e K Kc α e K o ganho calculado no item 1 6 Verifique a margem de ganho para se certificar se ela é satisfatória Se não for repetir o processo do projeto modificando a localização do polozero do compensador até que seja obtido um resultado satisfatório Exercício 1 Projete um compensador para aumentar a margem de fase para 45º sem alterar a constante de erro de velocidade Kv T01 a Discretize a planta levando em conta o SOZ b Transforme o sistema discretizado para o plano W c Desenhe os diagramas de Bode e determine margem de ganho e margem de fase sem compensador no plano W 1200 s s5s10 Gc S O Z UTFPR CONTROLE II Prof Paulo Brero IX 7 d Projete o compensador para margem de fase 45º no plano W e Transforme o compensador do plano W para o plano Z f Simule o sistema no plano Z com o Simulink 2 Projete um compensador para aumentar a Margem de fase em 30o sem alterar o Kv T01s MATLAb stfs g1s1 gdc2dg1prewarp1 CONVERT S para Z gwd2cgdtustin CONVERT Z para W bodegw Simbólico syms z w G0048z1z9047 GNsubsGz1w1w prettyGN Gc 30 s s5 S O H