Introducao a Sinais Discretos e Equacoes a Diferenca Transformada Z - CEFETPR

CEFETPR Controle Digital Prof Brero II 1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA SINAIS DISCRETOS I INTRODUÇÃO A notação yk significa uma seqüência de números real ou complexa definida para cada inteiro K A seqüência yk será chamada de sinal digital ou sinal discreto e o índice k é o tempo discreto Exemplos 1 seqüência degrau 2 seqüência delta II EQUAÇÃO À DIFERENÇA Uma equação diferencial de 1a Ordem pode ser escrita como adydt yt ut 1 Podemos de forma aproximada definir a derivada de uma função como sendo Reescrevendo a equação 1 ayt t yt yt ut t yt t 1 tayt utta 2 definindo Tt cte período de amostragem t KT instante de amostragem ytt ykT T yk1T yk1 yt ykT yk reescrevendo a equação 2 yk1 1Ta yk Ta uk Uk 1 para k 0 uk Uk 0 para k0 0 1 2 3 4 5 6 k k 1 para k 0 k k 0 para k 0 0 k dy ytt yt dt t CEFETPR Controle Digital Prof Brero II 2 Esta é uma equação à diferença de primeira ordem linear Exemplo dada uma função analógica é possível discretizála substituindo kT tempo discreto no lugar de t tempo contínuo III SISTEMA DISCRETO Um sistema discreto é uma regra associando a uma seqüência uk uma outra seqüência yk IV DIAGRAMA DE SIMULAÇÃO É possível simular um sistema discreto e verificar graficamente sua resposta Para isto é necessário implementar o diagrama de simulação Um diagrama de simulação é formado pelos seguintes elementos a Elemento atraso O sinal de entrada aparece na saída atrasado de um período de amostragem b Ganho O sinal de saída é multiplicado pela valor a Este valor pode ser positivo negativo maior que 1 ou menor que 1 yt yk T 0 1 2 3 t 0 1 2 3 k yt t yk kT uk yk Sistema discreto uk ykuk1 Z1 CEFETPR Controle Digital Prof Brero II 3 c somador A tensão de saída é a soma dos sinais de entrada Exemplos a yk 2uk 3uk1 V TRANSFORMADA Z Um sinal continuo no tempo pode ser discretizado no tempo através de um dispositivo chamado amostrador Ele é representado por uma chave que é fechada em instantes discretos tk durante um intervalo de tempo dk Ele gera um trem de pulos de duração dk Para simplificar a análise matemática suporemos um amostrador ideal tal que a duração dos pulsos seja desprezível e que este trem de pulsos seja representado por um trem de impulsos de mesma área Podese imaginar que o sinal amostrado seja gerado pelo produto da função mt trem de pulsos unitários pelo sinal ft ft ft mt O sinal mt pode ser representado como uk yk auk uk yk auk a a 2 3 uk z1 yk T ft ft ft mt ft vezes mt tkT k0 a b c a b dk tk tk dk ft ft CEFETPR Controle Digital Prof Brero II 4 Então ft será O valor de ft no késimo instante de amostragem será representado por fkT ou fk ou fk O valor ft será uma seqüência de números representada por A transformada de Laplace de ft é dada por Aplicando a transformada de Laplace no sistema amostrado temse Onde o termo ekTs introduz funções não algébricas que fazem com que a análise de sistemas amostrados utilizando a transformada de Laplace seja inconveniente Para evitar esta dificuldade será feita uma mudança de variável z esT que transforma o plano complexo S em um outro plano complexo chamado plano Z e que permite definir a transformada da função ft que é idêntica à transformada de Laplace do sinal pulsado ft Então Exemplo Calcule a transformada Z de a ft b tT onde bconstante discretizando a função ft pela substituição de tkT fkbk Aplicando a definição de transformada Z ft ft tkT k0 ft fkT tkT fk k0 Fs ft est dt 0 Fs Lft fkT tkT est dt 0 k0 Fs Lft fkT tkT e st dt k0 0 Fs Lft fkT e kTs k0 Fz Zfk fkT z k k0 CEFETPR Controle Digital Prof Brero II 5 Fz 1 bz bz2 bz3 A partir da série a ar ar2 arn1 a1r n1r Para que exista a transformada Z a série deve convergir Ela irá convergir se r 1 neste caso Portanto para bz 1 existirá a transformada Z e será Fz 11bz zzb para z b Parte prática Filtro Digital Implemente um filtro analógico passabaixa discretizado pelo método Backward Difference Neste método a derivada é aproximada por O filtro passabaixa é mostrado a seguir 1 Utilizando uma placa conversora AD aplique um sinal senoidal na entrada utilizando um gerador de funções 2Observe o sinal na saída do conversor DA variando a freqüência do sinal de entrada Obtenha a resposta em freqüência do filtro digital comparando com a resposta em freqüência do filtro analógico Fz Zfk fkT z k b k z k k0 k0 lim a 1r n a pois lim r n 0 n 1 r 1 r n dy yt ytt dt t R 1000 Vo C1 F Vi Fazendo tKT e t T vovi 1RC s 1RC fazendo 1RC a yk yk1 aTuk 1 aT CEFETPR Controle Digital Prof Brero II 6 PROGRAMA MATLAB w11000 w2400 uk10 yka10 yka20 RC001 T00001 quanto menor T menor a amplitude do sinal de saída hold on N6 numeros de ciclos que serao mostrados xNw1 b200 tempo maximo a ser calculado a3 determina quantos ciclos serao mostrados for t0Tx628 u1sinw1t u2sinw2t for X001b usinX y1Tu1yka1RCTRC y2Tu2yka2RCTRC y10048u10048uk1yka10905 Tustim com prewarping yka1y1 yka2y2 uk1u1 plott u1 plott u2 plotty1 plotty2 end hold off