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Engenharia Eletrônica ·
Sistemas de Controle
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CEFETPR Controle Digital Prof Brero III 1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z 1 Linearidade Se f1k F1z e f2k F2z então a f1k b f2k a F1z b F2z 2 Deslocamento Se fk Fz então Exemplo a yk1 2yk uk yk1 zyz y0 zyz zy0 yk yz uk uz Considerando as condições iniciais iguais a zero y00 z2yzuz yzuzz2 b yk2 3yk1 2yk 0 condições iniciais y00 e y11 yk2 z2yz y0 z1y1 z2yz z2y0 zy1 z2yz z yk1 zyz y0 zyz zy0 zyz yk yz z2yz z 3zyz 2yz 0 yzz2 3z 2 z 3 Atraso ytnT utnT z nyz 4 Teorema do valor final Se fk Fz então 5 Teorema do valor inicial 6 Convolução Dados dois sinais discretos uk e gk A convolução entre estes dois sinais é definido como n1 fkTnT z n Fz fk z k k0 yz z z2 3z 2 f lim ft lim fk lim 1z1Fz t k z 1 f 0 lim ft lim fk lim Fz t 0 k 0 z CEFETPR Controle Digital Prof Brero III 2 Por exemplo se for aplicado um degrau unitário na entrada de um sistema discreto a resposta no tempo discreto não será o produto do degrau unitário pela função peso do sistema discreto Mas será a convolução da função degrau unitário com a função peso do sistema discreto Para evitar o cálculo da convolução podese calcular a transformada da função degrau unitário e da função peso do sistema fazer o produto e encontrar a anti transformada para se ter a resposta no tempo ANTITRANSFORMADA Calcular a antitransformada de Fz é obter a seqüência fk a partir de Fz Existem diversas formas para se obter a antitransformada 1 Decomposição em frações parciais Fazse a decomposição em frações parciais e identificase a função numa tabela de anti transformada Z Exemplo Multiplicando os dois lados da equação por z1 simplificando as equações e fazendo z1 Multiplicando os dois lados da equação por z2 simplificando as equações e fazendo z2 Então Da tabela de transformada fk 10 102k 102k1 SEGURADOR DE ORDEM ZERO Um sinal ao ser convertido de digital para analógico tem existência apenas nos instantes tkT k inteiro Como este sinal normalmente é aplicado a um processo contínuo é necessário manter o sinal constante durante todo o resto do intervalo k k Yk gj ukj gkj uj gkuk j0 j0 Yz gkuk Gz Uz Fz 10z z 1z 2 Fz 10 c1 c2 z z 1z 2 z 1 z 2 10 z1 z1 c1 z1 c2 z 1z 2 z 1 z 2 c1 10 10 z 2 z1 10 z2 z2 c1 z2 c2 z 1z 2 z 1 z 2 C2 10 10 z 1 z2 Fz 10 z 10 z z 1 z 2 CEFETPR Controle Digital Prof Brero III 3 O segurador de ordem zero mantém o sinal constante durante o intervalo entre as amostragens Aplicandose uma função impulso na entrada o sinal de saída pode ser representado como a subtração de duas funções degrau deslocadas tT yt ut utT Aplicandose transformada de Laplace Ys 1s esTs Como o sinal de entrada é um impulso e a transformada de Laplace do impulso é Es1 calculandose a função de transferência Gs YsEs obtémse Gs1s esTs ou seja Lembrando que zesT ESTABILIDADE DE SISTEMAS DISCRETOS No caso contínuo um sistema será estável se os pólos do sistema em malha fechada estiverem no semiplano esquerdo do plano s ou seja 0 Como zesT eT ej T eTcosT j senT O módulo vale z eT Para o sistema ser estável no plano s devese Ter 0 Substituindo na equação anterior verificase que o módulo de z deve ser menor que 1 z 1 Nos sistemas discretos se os pólos do sistema em malha fechada estiverem dentro do círculo unitário o sistema será estável FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PULSADA discreta Dado um sistema contínuo onde haja um amostrador a análise do sistema deve ser feita como se fosse um sistema discreto Para se fazer isto devese discretizar os blocos contínuos Sinal analógico t Sinal analógico mas tempo discreto kT Conversor DA Segurador de ordem zero Processo contínuo Sinal digital 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 kT Gzoh Yt 1 0 tT Gsohs 1 esT s Imz Rez j Plano S Plano z CEFETPR Controle Digital Prof Brero III 4 Utilizase o seguinte procedimento 1 Obtémse a função de transferência GTs do sistema 2 Obtémse a função de resposta ao impulso gtt onde gtt L1GTs 3 Calculase a transformada Z a partir da definição Onde gtkT é obtido de gtt substituindo t por kT Para sistemas estáveis esta série converge OBS Devese lembrar que GTs pode incluir um segurador de ordem zero Exemplo Obtenha a função de transferência pulsada Gs 1sa GTs1esTassa z esT GTz Z1esTassa1z1 Zassa 1z1z1eaTz1z eaT então OBS se na saída não houver nenhum amostrador podese colocar um amostrador fictício e o procedimento será o mesmo FUNÇAO DE TRANSFERÊNCIA DISCRETA COM ELEMENTOS EM CASCATA Os amostradores estao todos na mesma frequencia e em sincronismo 1 Caso 1 Ys G2s Ds Ds G1s Xs Ys G1sG2s Xs Xs Xs T T Ys a sa Ys S O Z Xs Xs T T Ys Yz Xz GTs GTz Ys Gz gtkTzk k0 Gz 1eaT z eaT Ys Xs G1s G2s Xs Ds Ys CEFETPR Controle Digital Prof Brero III 5 O sinal Xs já é um sinal discreto e ao passar pelo amostrador de saída não sofrem alterações Então é feita a discretizaçao do produto das funções G1sG2s G1sG2s G1G2z 2 Caso 2 Ys G2s Ds Ds G1s Xs discretizando a função Ds G1s Xs Substituindo na funçao de Ys Ys G2sG1s Xs s sinais Xs e G1s já são sinais discretos e ao passarem pelo amostrador de saída não sofrem alterações Ys G2sG1s Xs Então é feita a discretizaçao de cada função separadamente G1s G1z e G2s G2z FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DISCRETA EM MALHA FECHADA Es Rs CsHs Cs Gs Es Então Es Rs GsHsEs Discretizando o sinal de erro e lembrando que Es já é um sinal discreto e não sofre alteração ao passar de novo por um amostrador Es Rs GsHs Es Es1 GsHs Rs Es Rs 1 GsHs Como Cs Gs Es Rescrevendo esta equação Yz G1G2z Xz Ds Ds Ys Xs G1s G2s Xs Ys Yz G1z G2z Xz T Es Es Cs Rs Gs Cs Hs Cs Gs Rs 1 GsHs CEFETPR Controle Digital Prof Brero III 6 Cz Gz Rz 1 GHz
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discreto não será o produto do degrau unitário pela função peso do sistema discreto Mas será a convolução da função degrau unitário com a função peso do sistema discreto Para evitar o cálculo da convolução podese calcular a transformada da função degrau unitário e da função peso do sistema fazer o produto e encontrar a anti transformada para se ter a resposta no tempo ANTITRANSFORMADA Calcular a antitransformada de Fz é obter a seqüência fk a partir de Fz Existem diversas formas para se obter a antitransformada 1 Decomposição em frações parciais Fazse a decomposição em frações parciais e identificase a função numa tabela de anti transformada Z Exemplo Multiplicando os dois lados da equação por z1 simplificando as equações e fazendo z1 Multiplicando os dois lados da equação por z2 simplificando as equações e fazendo z2 Então Da tabela de transformada fk 10 102k 102k1 SEGURADOR DE ORDEM ZERO Um sinal ao ser convertido de digital para analógico tem existência apenas nos instantes tkT k inteiro Como este sinal normalmente é aplicado a um processo contínuo é necessário manter o sinal constante durante todo o resto do intervalo k k Yk gj ukj gkj uj gkuk j0 j0 Yz gkuk Gz Uz Fz 10z z 1z 2 Fz 10 c1 c2 z z 1z 2 z 1 z 2 10 z1 z1 c1 z1 c2 z 1z 2 z 1 z 2 c1 10 10 z 2 z1 10 z2 z2 c1 z2 c2 z 1z 2 z 1 z 2 C2 10 10 z 1 z2 Fz 10 z 10 z z 1 z 2 CEFETPR Controle Digital Prof Brero III 3 O segurador de ordem zero mantém o sinal constante durante o intervalo entre as amostragens Aplicandose uma função impulso na entrada o sinal de saída pode ser representado como a subtração de duas funções degrau deslocadas tT yt ut utT Aplicandose transformada de Laplace Ys 1s esTs Como o sinal de entrada é um impulso e a transformada de Laplace do impulso é Es1 calculandose a função de transferência Gs YsEs obtémse Gs1s esTs ou seja Lembrando que zesT ESTABILIDADE DE SISTEMAS DISCRETOS No caso contínuo um sistema será estável se os pólos do sistema em malha fechada estiverem no semiplano esquerdo do 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