Lista de Exercícios Resolvidos - Introdução à Estatística - Distribuição Normal e Probabilidade

Atividade P Introdução a Estatística QUESTÃO 1 Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma distribuição normal com média 130 kg e desvio padrão 20 kg Para efeito de determinar o tratamento mais adequado os 15 dos pacientes de menor peso são classificados de magros enquanto os 15 de maior peso de obesos QUESTÃO 2 Acreditase que o retorno anual de um investimento ao longo dos anos siga a função de densidade de probabilidade ilustrada ao lado Qual é a probabilidade de o retorno desse investimento ficar entre 32 e 42 no ano de 2019 Exiba os cálculos QUESTÃO 3 O salário para determinada função em uma empresa tem distribuição normal com média de R 200000 e desviopadrão de R 10000 Se sortearmos um funcionário com essa função determine a A probabilidade de seu salário estar entre R 1950 e R 1150 b A probabilidade de seu salário estar abaixo de R 192000 c Estimase que os 30 dos funcionários com os salários mais elevados possuem salário acima de R complete QUESTÃO 4 O relatório mensal de uma associação de distribuidores apresentou dados informando que a despesa familiar mensal em supermercados é normalmente distribuída com variância de 150000 reais2 e que 23 das famílias gastam mais do que R 120000 Com estas informações responda a Qual é o valor K de despesa mensal tal que 12 das despesas sejam menores do que K reais por mês b Qual é a probabilidade de uma família gastar entre 1150 e 1300 reais por mês QUESTÃO 5 A revista Compre um Imóvel fez uma pesquisa com objetivo de estimar a média populacional do preço dos imóveis vendidos na cidade de Dallas EUA em US Para isso enviou por email um questionário para sua base de 1541 assinantes Destes apenas 29 responderam o email com as seguintes informações X1 preço do imóvel comprado no último ano em US X2 imóvel novo ou usado 1 novo 0 usado 1 Retorno anual 10 Construa um intervalo com 99 de confiança para o preço médio dos imóveis na população Interprete o resultado QUESTÃO 6 Uma escola fez um estudo com 400 alunos que possuem notebook Uma das variáveis do estudo é tempo de posse do notebook em meses Considere os 400 alunos como amostra de uma população maior A seguir são apresentados o histograma e a tabela de frequência da variável tempo em meses 2 130000 120000 110000 100000 90000 80000 70000 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Média 100834 DesvPad 15741 N 29 Preço Frequência Histograma com curva normal de preço dos imóveis tempo frequência 06 12 612 32 1218 54 1824 80 2430 102 3036 75 3642 31 4248 10 4854 3 5460 1 a A média da variável tempo é 2355 e o desviopadrão amostral é 894 Dê uma estimativa com 95 de confiança para o tempo médio populacional Interprete o resultado b Dê uma estimativa com 98 de confiança para o percentual de alunos na população que possuem notebook há menos de 24 meses Interprete o resultado 3 1 Atividade P Introdução a Estatística QUESTÃO 1 Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma distribuição normal com média 130 kg e desvio padrão 20 kg Para efeito de determinar o tratamento mais adequado os 15 dos pacientes de menor peso são classificados de magros enquanto os 15 de maior peso de obesos Temo que PZ 104 085 então PZ 104 015 e PZ 104 015 A padronização é dada por z x μ σ Então 104 x 130 20 então x 10920 104 x 130 20 então x 15080 Assim são classificados como magros os que possuem peso de até 10920 kg e obesos os com peso acima de 15080 kg QUESTÃO 2 Acreditase que o retorno anual de um investimento ao longo dos anos siga a função de densidade de probabilidade ilustrada ao lado Qual é a probabilidade de o retorno desse investimento ficar entre 32 e 42 no ano de 2019 Exiba os cálculos Para ser uma fdp a área abaixo da curva precisa ser 1 Temos um triângulo então A base altura2 10 altura2 1 altura 210 020 Temos então uma reta que passa em 00 e 10 020 então a reta é m 020 0 10 0 0020 y 0 0020 x 0 y 0020 x 2x100 Retorno anual 10 2 Então P32 X 42 2x 100 dx 42 32 x² 100 42 32 1 100 42²32² 74 100 00740 P32 X 42 740 OU AINDA Seja uma reta do tipo kx onde k é o coeficiente angular temos kx dx 10 0 k x² 2 10 0 k 10² 2 Como a integral precisa resultar em 1 então k 2 100 Seja então a fdp fx 2x 100 para 0 x 10 P32 X 42 2x 100 dx 42 32 x² 100 42 32 1 100 42²32² 74 100 00740 P32 X 42 740 QUESTÃO 3 O salário para determinada função em uma empresa tem distribuição normal com média de R 200000 e desviopadrão de R 10000 Se sortearmos um funcionário com essa função determine a A probabilidade de seu salário estar entre R 1950 e R 1150 b A probabilidade de seu salário estar abaixo de R 192000 c Estimase que os 30 dos funcionários com os salários mais elevados possuem salário acima de R complete a P1150 X 1950 P 1150 2000 100 Z 1950 2000 100 PZ 050 PZ 850 1 PZ 050 PZ 850 1 06915 0 03085 3085 3 b PX 1920 P Z 1920 2000 100 PZ 080 1 PZ 080 1 07881 02119 2119 c PZ 052 070 então PZ 052 030 Então 052 x 2000 100 então x 2052 O salário será de R205200 QUESTÃO 4 O relatório mensal de uma associação de distribuidores apresentou dados informando que a despesa familiar mensal em supermercados é normalmente distribuída com variância de 150000 reais2 e que 23 das famílias gastam mais do que R 120000 Com estas informações responda a Qual é o valor K de despesa mensal tal que 12 das despesas sejam menores do que K reais por mês Primeiramente vamos descobrir a média da distribuição PZ 074 023 074 1200 μ 150000 então μ 91340 Então o valor k tal que 12 das despesas sejam menores PZ 117 012 117 x 91340 150000 então x 46026 O valor k é de 46026 reais b Qual é a probabilidade de uma família gastar entre 1150 e 1300 reais por mês P1150 X 1300 P 1150 91340 150000 Z 1300 91340 150000 P061 Z 100 PZ 1 PZ 061 08413 07291 01122 1122 4 QUESTÃO 5 A revista Compre um Imóvel fez uma pesquisa com objetivo de estimar a média populacional do preço dos imóveis vendidos na cidade de Dallas EUA em US Para isso enviou por email um questionário para sua base de 1541 assinantes Destes apenas 29 responderam o email com as seguintes informações X1 preço do imóvel comprado no último ano em US X2 imóvel novo ou usado 1 novo 0 usado Construa um intervalo com 99 de confiança para o preço médio dos imóveis na população Interprete o resultado Média 100834 Desvio Padrão 15741 ICμ 99 100834 2763 15741 29 ICμ 99 US 9275767 US 10891033 Dessa forma com 99 de confiança o IC calculado de US9275767 a US10891033 contém o verdadeiro preço médio dos imóveis Isso significa que se o procedimento de amostragem e cálculo do intervalo de confiança fosse repetido 100 vezes seria esperado que 99 deles contivessem a verdadeira média 130000 120000 110000 100000 90000 80000 70000 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Média 100834 DesvPad 15741 N 29 Preço Freq uê ncia Histograma com curva normal de preço dos imóveis 5 A amostra representa menos que 5 do tamanho da população não sendo necessário utilizar a correção para população finita Entretanto se ainda assim quisermos aplicar a correção o IC seria ICμ 99 100834 2763 15741 29 1541 29 1541 1 ICμ 99 US 9283143 US 10883657 QUESTÃO 6 Uma escola fez um estudo com 400 alunos que possuem notebook Uma das variáveis do estudo é tempo de posse do notebook em meses Considere os 400 alunos como amostra de uma população maior A seguir são apresentados o histograma e a tabela de frequência da variável tempo em meses tempo frequência 06 12 612 32 1218 54 1824 80 2430 102 3036 75 3642 31 4248 10 4854 3 5460 1 6 a A média da variável tempo é 2355 e o desviopadrão amostral é 894 Dê uma estimativa com 95 de confiança para o tempo médio populacional Interprete o resultado Como a amostra é muito grande podemos utilizar a distribuição z ainda que não conheçamos o desvio padrão populacional IC𝜇 95 2355 196 894 400 IC𝜇 95 2267 meses 2443 meses Assim com 95 de confiança o IC de 2267 a 2443 meses contém o verdadeiro tempo médio de posse de notebook dos alunos b Dê uma estimativa com 98 de confiança para o percentual de alunos na população que possuem notebook há menos de 24 meses Interprete o resultado p 80 54 32 12400 04450 ICp 98 04450 233 04450 1 04450 400 ICp 98 03871 05029 ICp 98 3871 5029 Assim com 98 de confiança o IC de 3871 a 5029 contém a verdadeira proporção de alunos que possuem o notebook há menos de 24 meses Atividade P Introdução a Estatística QUESTÃO 1 Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma distribuição normal com média 130 kg e desvio padrão 20 kg Para efeito de determinar o tratamento mais adequado os 15 dos pacientes de menor peso são classificados de magros enquanto os 15 de maior peso de obesos Temo que PZ104085então PZ104015e PZ104015 A padronização é dada por z xμ σ Então 104x130 20 então x10920 104x130 20 então x15080 Assim são classificados como magros os que possuem peso de até 10920 kg e obesos os com peso acima de 15080 kg QUESTÃO 2 Acreditase que o retorno anual de um investimento ao longo dos anos siga a função de densidade de probabilidade ilustrada ao lado Qual é a probabilidade de o retorno desse investimento ficar entre 32 e 42 no ano de 2019 Exiba os cálculos Para ser uma fdp a área abaixo da curva precisa ser 1 Temos um triângulo então Abase altura210altura21 altura210020 Temos então uma reta que passa em 00 e 10 020 então a reta é m0200 100 0020 y00020x0 y0020 x2x100 1 Retorno anual 10 Então P32X42 3 2 4 2 2 x 100 dx x ² 100 42 32 1 100 4 2²32²74 100 00740 P32X42740 OU AINDA Seja uma reta do tipo kx onde k é o coeficiente angular temos 0 10 kxdxk x ² 2 10 0 k 10² 2 Como a integral precisa resultar em 1 então k 2 100 Seja então a fdp f x 2 x 100 para 0 x10 P32X42 3 2 4 2 2 x 100 dx x ² 100 42 32 1 100 4 2²32²74 100 00740 P32X42740 QUESTÃO 3 O salário para determinada função em uma empresa tem distribuição normal com média de R 200000 e desviopadrão de R 10000 Se sortearmos um funcionário com essa função determine a A probabilidade de seu salário estar entre R 1950 e R 1150 b A probabilidade de seu salário estar abaixo de R 192000 c Estimase que os 30 dos funcionários com os salários mais elevados possuem salário acima de R complete a P 1150 X1950P 11502000 100 Z 19502000 100 P Z050 P Z850 1PZ050PZ8501069150030853085 2 b P X1920PZ 19202000 100 P Z080 1P Z080 107881021192119 c PZ052070então PZ052030 Então 052 x2000 100 então x2052 O salário será de R205200 QUESTÃO 4 O relatório mensal de uma associação de distribuidores apresentou dados informando que a despesa familiar mensal em supermercados é normalmente distribuída com variância de 150000 reais2 e que 23 das famílias gastam mais do que R 120000 Com estas informações responda a Qual é o valor K de despesa mensal tal que 12 das despesas sejam menores do que K reais por mês Primeiramente vamos descobrir a média da distribuição PZ074023 074 1200μ 150000 então μ91340 Então o valor k tal que 12 das despesas sejam menores PZ117012 117 x91340 150000 então x46026 O valor k é de 46026 reais b Qual é a probabilidade de uma família gastar entre 1150 e 1300 reais por mês 3 P 1150 X1300P 1150913 40 150000 Z 1300913 40 150000 P 061Z100 PZ1PZ06108413072910112211 22 QUESTÃO 5 A revista Compre um Imóvel fez uma pesquisa com objetivo de estimar a média populacional do preço dos imóveis vendidos na cidade de Dallas EUA em US Para isso enviou por email um questionário para sua base de 1541 assinantes Destes apenas 29 responderam o email com as seguintes informações X1 preço do imóvel comprado no último ano em US X2 imóvel novo ou usado 1 novo 0 usado 130000 120000 110000 100000 90000 80000 70000 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Média 100834 DesvPad 15741 N 29 Preço Frequência Histograma com curva normal de preço dos imóveis Construa um intervalo com 99 de confiança para o preço médio dos imóveis na população Interprete o resultado Média 100834 Desvio Padrão 15741 ICμ99100834 2763 15741 29 IC μ99US 9275767US 10891033 4 Dessa forma com 99 de confiança o IC calculado de US9275767 a US10891033 contém o verdadeiro preço médio dos imóveis Isso significa que se o procedimento de amostragem e cálculo do intervalo de confiança fosse repetido 100 vezes seria esperado que 99 deles contivessem a verdadeira média A amostra representa menos que 5 do tamanho da população não sendo necessário utilizar a correção para população finita Entretanto se ainda assim quisermos aplicar a correção o IC seria ICμ99100834 2763 15741 29 154129 15411 IC μ99US 9283143US 108836 57 QUESTÃO 6 Uma escola fez um estudo com 400 alunos que possuem notebook Uma das variáveis do estudo é tempo de posse do notebook em meses Considere os 400 alunos como amostra de uma população maior A seguir são apresentados o histograma e a tabela de frequência da variável tempo em meses tempo frequência 06 12 612 32 1218 54 1824 80 2430 102 3036 75 3642 31 5 4248 10 4854 3 5460 1 a A média da variável tempo é 2355 e o desviopadrão amostral é 894 Dê uma estimativa com 95 de confiança para o tempo médio populacional Interprete o resultado Como a amostra é muito grande podemos utilizar a distribuição z ainda que não conheçamos o desvio padrão populacional ICμ9523 55196 894 400 ICμ952267meses 2443meses Assim com 95 de confiança o IC de 2267 a 2443 meses contém o verdadeiro tempo médio de posse de notebook dos alunos b Dê uma estimativa com 98 de confiança para o percentual de alunos na população que possuem notebook há menos de 24 meses Interprete o resultado p8054321240004450 IC p9804450233 04450104450 400 IC p980387105029 IC p9838715029 Assim com 98 de confiança o IC de 3871 a 5029 contém a verdadeira proporção de alunos que possuem o notebook há menos de 24 meses 6