Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - Diomara Pinto e Maria Cândida F Morgado - 3 Edição

Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis Universidade Federal do Rio de Janeiro\n\nReitor\nAloísio Tizcira\n\nVice-Reitora\nSylvia Vargas\n\nCoordenadora do Fórum de Ciência e Cultura\nBeatriz Resende\n\nEditora UFRJ\n\nDiretor\nCarlos Nelson Coutinho\n\nCoordenadora de Edição de Texto\nLisa Stuart\n\nCoordenadora de Produção\nJanise Duarte\n\nConselho Editorial\nCarlos Nelson Coutinho (presidente)\nCharles Pessanha\nDiana Maul de Carvalho\nJosé Luís Fiori\nJosé Paulo Netto\nLeandro Konder\nVigínia Fontes Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis\n\nDiomara Pinto\nMaria Cândida Ferreira Morgado\nProfessores do Instituto de Matemática da UFRJ\n\nMEC/UFE/NDC\nPreço 24,73\nFornecedor MILARE\nUnidade ICCEX\nMaterial: Livro\nN. Fiscal 00.233.3\nPregão 01/2010\nItem 6/3\n2010 NE 900258\n\n3ª edição / 6ª reimpressão\nEditora UFRJ\n2009 Copyright © by Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado\nFicha catalográfica elaborada pela\nDivisão de Processamento Técnico - SIB/UFRJ\n\nP659C Pinto, Diomara.\nCálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis. / Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado. 3. ed. ed. reimpr. Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 2009.\n364 p.; 16 x 23 cm.\n1. Cálculo diferencial. 2. Funções. 3. Variáveis. I. Título. II. Morgado, Maria Fernanda Cândida Ferreira.\n\nISBN 978-85-7108-219-9\n\n1ª edição: 1997\n2ª edição: 1999\n3ª edição: 2000\n\nCapa\nAdriana Moreno\nRevisão\nCarlos Sepúlveda\nEdição Eletrônica\nAlexandre Kogut\nMaria Cândida Ferreira Morgado\nProjeto Gráfico\nMaria Cândida Ferreira Morgado\nDesenhos\nAquiles Braga Queiroz\n\nUniversidade Federal do Rio de Janeiro\nFórum de Ciência e Cultura\nEditora UFRJ\nAv. Pasteur, 250 / sala 107 - Praia Vermelha\nCEP: 22295-902 - Rio de Janeiro, RJ\nTel/fax: (21) 2542-7646 / 2295-0346\n(21) 2295-1595 r. 111, 124 a 127\nhttp://www.editora.ufrj.br\n\nApoio\nFundação Universitária José Bonifácio\n\n\nMEC - UFF - NDC - DBT - Biblioteca do Ateneo\n\n330.144 Aos nossos filhos Apresentação\nA Sub-Reitoria de Ensino de Graduação e Corpo Discente (SR-1) planeja e executa, desde 1995, seu Projeto Acadêmico de Graduação, de cujos objetivos consta o programa PROEDITAR.\nO entusiasmo por um projeto desta natureza surgiu quando, no âmbito do Departamento de Métodos Matemáticos do Instituto de Matemática da UFRJ, acompanhamos os trabalhos das professoras Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado na produção do presente texto.\nNosso sentimento de que um projeto como este teria total acolhimento da comunidade universitária foi confirmado posteriormente através de pesquisas desenvolvidas pela Comissão de Avaliação (COOPERA) que demonstraram existir um enorme acervo de publicações didáticas no âmbito dos cursos de graduação da UFRJ. Com a finalidade exclusiva de facilitar os processos de ensino/aprendizagem naqueles cursos, o presente texto é uma resposta a essa demanda e, ao mesmo tempo, uma etapa na execução do programa PROEDITAR do qual todos os docentes estão convidados a participar.\nA publicação deste trabalho deveu-se à sua qualidade e ao nível de excelência dos docentes envolvidos, bem como à necessidade de produzir uma publicação embriónica com a finalidade de avaliar nossas condições operacionais de produção e distribuição de textos didáticos, dentro e fora da UFRJ.\nEsse é, portanto, um projeto-piloto, com material já desenvolvido e testado há alguns anos, com clientela bem definida e com demanda assegurada.\nA SR-1 sente-se no dever de estimular mais essa iniciativa em sua administração, não só porque responderá a uma demanda reprimida, tanto dos docentes quanto dos alunos, como também contribuirá para melhoria dos cursos de graduação, afinal de contas o objetivo maior de todas as ações da Sub-Reitoria de Ensino de Graduação e Corpo Discente.\nDos colegas, esperamos as críticas que venham a contribuir para que o projeto PROEDITAR se constitua numa rotina cujos frutos sejam colhidos pelas presentes e futuras gerações de alunos e professores.\nRio, junho de 1997.\nNeyde Felicidade Martins Ribeiro\nSub-Reitora de Graduação e Corpo Discente Prefácio\n\nEste texto foi elaborado para ser utilizado num primeiro curso de cálculo diferencial e integral de funções de duas e três variáveis reais. Ele é resultado da nossa experiência em ministrar as disciplinas de Cálculo II e Cálculo III para alunos do Instituto de Matemática e da Escola de Engenharia da UFRJ, desde 1974.\n\nConsideramos que o leitor deste texto deve estar familiarizado com o Cálculo Diferencial e Integral de funções de uma variável real e com a Geometria Analítica do IR².\n\nProcuramos motivar, geometricamente ou fisicamente, os resultados centrais do texto, o que, a nosso ver, facilita a assimilação dos tópicos apresentados.\nO conteúdo aqui exposto é dividido em sete capítulos e um apêndice, como passamos a descrever.\n\nNo Capítulo 1, estudamos as funções vetoriais de uma variável real e suas aplicações ao movimento em duas e três dimensões.\n\nNo Capítulo 2, determinamos a forma de algumas superfícies, a partir de sua equação. Enfocamos, principalmente, os cilindros, as superfícies de revolução e as superfícies quadráticas.\n\nNo Capítulo 3, introduzimos os conceitos de limite, continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis, dando maior ênfase as funções de duas e três variáveis.\n\nNo Capítulo 4, determinamos os valores máximo e mínimo de funções de duas variáveis definidas em regiões fechadas e limitadas do IR². Analisamos, também, a existência de valores máximo e mínimo de funções de três variáveis sujeitas a uma ou duas restrições: o método dos Multiplicadores de Lagrange.\n\nNo Capítulo 5, calculamos integrais duplas e triplas e discutimos algumas de suas aplicações.\n\nNo Capítulo 6, estudamos as integrais de linha, dando ênfase ao Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha no plano com uma integral dupla. Caracterizamos ainda os campos vetoriais conservativos no IR².\n\nFinalmente, no Apêndice, apresentamos o Teorema da função implícita, em diferentes várias versões e interpretações geométricas do mesmo. Como aplicação do teorema da função implícita, obtemos uma versão do Teorema da função inversa para funções de IR² em IR², que facilita o entendimento da mudança de variáveis na integral dupla.\n\nOs teoremas cujas demonstrações fogem ao nível elementar do texto são enunciados sem as respectivas demonstrações. Em tais casos, indicamos uma bibliografia onde as mesmas podem ser encontradas.\n\nOs exercícios propostos têm por objetivo complementar e fixar os tópicos aqui desenvolvidos, sendo, desta forma, parte do texto.\n\nDesejamos agradecer aos colegas do Instituto de Matemática da UFRJ que, em diversas ocasiões, trabalharam conosco ministrando as disciplinas de Cálculo II e Cálculo III. Em particular, ao Professor Dinamarco P. Pombo Júnior pelas relevantes sugestões para melhor compreensão do texto e às Professoras Ivone Alves Regal e Maria José C. Maia Monteiro pela resolução da maioria dos exercícios propostos.\n\nAgradecemos, também, às diversas classes de alunos que experimentaram as versões preliminares do presente texto e, em particular, ao aluno Aquiles Braga Queiroz, responsável pelas figuras nele contidas.\n\nAs autoras SUMÁRIO\n\nCAPÍTULO 1 - FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS......1\n§1.1. Funções vetoriais e Curvas parametrizadas.................1\n§1.2. Exercícios..............................................11\n§1.3. Aplicações ao movimento..............................18\n§1.4. Exercícios..............................................21\n§1.5. Comprimento de arco................................25\n§1.6. Exercícios..............................................32\n§1.7. Os vetores tangente unitário e normal principal.......34\n§1.8. Curvatura..............................................39\n§1.9. Exercícios..............................................44\n\nCAPÍTULO 2 - ALGUMAS SUPERFÍCIES ESPECIAIS........47\n§2.1. Planos....................................................47\n§2.2. Cilindros e Superfícies de revolução..........51\n§2.3. Exercícios..............................................57\n§2.4. Superfícies quadráticas..............................59\n§2.5. Exercícios..............................................67\n\nCAPÍTULO 3 - CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS................................................69\n§3.1. Funções de várias variáveis..........................69\n§3.2. Exercícios..............................................75\n§3.3. Limite e Continuidade...............................79\n§3.4. Exercícios..............................................85 §3.6 Exercícios...................................................................... 102\n§3.7 Regra da cadeia e Vetor gradiente.................................. 104\n§3.8 Exercícios...................................................................... 113\n§3.9 Derivada direcional....................................................... 116\n§3.10 Exercícios...................................................................... 120\n§3.11 Derivadas parciais de ordem superior........................ 122\n§3.12 Exercícios...................................................................... 126\n\nCAPÍTULO 4 - MÁXIMOS E MÍNIMOS................................. 128\n\n§4.1 Valores extremos de funções de duas variáveis.................. 128\n§4.2 Exercícios...................................................................... 140\n§4.3 Máximos e mínimos com restrições................................. 141\n§4.4 Exercícios...................................................................... 152\n\nCAPÍTULO 5 - INTEGRAIS MÚLTIPLAS................................. 154\n\n§5.1 Interpretação geométrica da integral dupla......................... 154\n§5.2 Integral dupla sobre um retângulo.................................. 156\n§5.3 Integral dupla sobre regiões mais gerais.................... 165\n§5.4 Exercícios...................................................................... 171\n§5.5 Mudança de variáveis na integral dupla......................... 173\n§5.6 Exercícios...................................................................... 184\n§5.7 Centro de massa e momento de inércia......................... 187\n§5.8 Exercícios...................................................................... 191\n§5.9 Integrais triplas................................................................ 192\n§5.10 Mudança de variáveis na integral tripla....................... 197\n§5.11 Exercícios...................................................................... 204