Filtros Digitais: Introdução e Projeto de Filtros FIR

Filtros digitais Introdução 3 Para que serve um filtro Um filtro elétrico serve para separar o conteúdo espectral de um sinal elétrico Podemos eliminar faixas de frequência de um sinal por meio de filtragem Podemos enfatizar faixas de frequência de um sinal por meio de filtragem Filtros digitais 4 Exemplo Filtragem de áudio Filtros digitais 5 Filtro passaalta Filtros digitais Filtros digitais Filtros digitais Filtros digitais 9 O que significa projetar um filtro Projetar um filtro significa calcular os coeficientes da função de transferência para satisfazer uma determinada especificação que é descrita a partir de uma ponderação técnica Por exemplo desejase projetar um filtro que elimine uma interferência de 60Hz de um sinal de eletrocardiograma Filtros digitais tarefa21m 10 No caso de filtros digitais podemos utilizar estruturas recursivas filtros IIR ou estruturas nãorecursivas FIR O projeto destes dois tipos de filtro é feito de forma diferente devido às propriedades diferentes que eles apresentam A seguir nesta apresentação falaremos sobre o projeto de filtros FIR Filtros digitais Filtros FIR Filtros FIR Por que usálo 13 Filtro FIR Finite Impulse Response Tapped Delay Line Filtro FIR Finite Impulse Response Tapped Delay Line x n Diagrama de blocos e equação diferença T T T T T c0 c1 c2 c3 cN2 cN1 cN x n1 x n2 x n3 x nN x nN1 x nN2 c0 x n c1 x n1 c2 x n2 c3 x n3 cN2 x nN2 cN1x nN1 cN x nN yn c0 x n c1 x n1 c2 x n2 cN1 x nN1 cN x nN 𝑦 𝑛 𝑖0 𝑁 𝑐𝑖 𝑥𝑛𝑖 1º atraso 2º atraso 3º atraso N1º atraso Nº atraso N2º atraso Os coeficientes são a própria resposta ao impulso unitário 14 Filtro FIR Finite Impulse Response Tapped Delay Line Exemplo 2 Filtro FIR Finite Impulse Response Tapped Delay Line Diagrama de blocos e função de transferência yn c0 x n c1 x n1 c2 x n2 cN1 x nN1 cN x nN H H todos os pólos na origem filtro FIR é sempre estável 0 N raízes em z 0 15 Os filtros nãorecursivos quando projetados corretamente apresentam uma propriedade muito importante para sistemas sensíveis à fase dos sinais Eles podem ser projetados para apresentarem um atraso de grupo constante Considere que a função de transferência de um sistema linear invariante no tempo é Hjω um numero complexo cujo valor depende de ω Usando a fórmula de Euler podemos escrever O atraso de grupo é definido como Filtros FIR 16 Filtros FIR SerieFourierdelaydemonstrationm Modelos Matemáticos de Canais de Comunicação Canal ideal Sistema linear invariante no tempo Hjω xt yt Kxtτ0 𝐻 𝑗𝜔 𝑌 𝑗𝜔 𝑋 𝑗𝜔 𝐾𝑒 𝑗𝜔𝜏0 Fase linear com a frequência Atraso de grupo constante 17 Um canal ideal sem distorção deve ter um ganho constante e uma fase linear com a a frequência Filtros FIR 18 Um filtro causal e não recursivo pode ser caracterizado pela equação Sua função de transferência pode ser obtida como O atraso de grupo é definido como Filtros FIR 19 Para que o atraso de grupo seja constante a fase deve ser linear τ constante Filtros FIR Filtros FIR Center of symmetry N 10 Center of symmetry N 11 21 Filtros FIR Outra solução possível 22 M N1 ordem do filtro Filtros FIR Filtros FIR Como projetálo Projeto de um filtro FIR Especificação Série de Fourier H z Janelamento Hjz Filtros FIR 25 Passabaixa Passaalta Passafaixa Rejeitafaixa Filtros FIR Especificação ideal No eixo ωT π corresponde a fsa2 ωT radianos ωT radianos ωT radianos ωT radianos Filtros FIR 26 Exemplo Filtro passabaixa supondo que T1 s Como esta especificação é periódica com período igual a a 2π podemos aproximála por uma série de Fourier 𝐻𝑒 𝑗 𝜔 𝑛 h𝑛𝑒 𝑗 𝜔𝑛 Filtros FIR Filtros FIR Filtros FIR Filtro FIR Exemplo 30 Projete um filtro FIR passaalta de acordo com a seguinte especificação de filtro ideal Hjf 1 fHz 4000 fs 20000 Hz 10000 ωT rad π 2π400020000 2π5 0 Filtros FIR 31 A fórmula para os coeficientes do filtro passaalta Tabela 51 do livro do Diniz Silva e Netto é 0 n n n sen 1 n h 0 n 1 c c n hn 10 155991E17 9 0033636743 8 0023387232 7 0026728265 6 0050455115 5 155991E17 4 0075682673 3 0062365952 2 0093548928 1 0302730691 0 06 1 0302730691 2 0093548928 3 0062365952 4 0075682673 5 155991E17 6 0050455115 7 0026728265 8 0023387232 9 0033636743 10 155991E17 Filtros FIR 33 n hn 10 155991E17 9 0033636743 8 0023387232 7 0026728265 6 0050455115 5 155991E17 4 0075682673 3 0062365952 2 0093548928 1 0302730691 0 06 1 0302730691 2 0093548928 3 0062365952 4 0075682673 5 155991E17 6 0050455115 7 0026728265 8 0023387232 9 0033636743 10 155991E17 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 z h h 9 z h 8 z h7 z h 6 z h 5 z h 4 z 3 z h h 2 z h 1 z h 0 z 1 z h 2 z h 3 z h 4 z h 5 z h 6 z h 7 z h 8 z h 9 z h 10 z h z H Filtros FIR 34 h 0 T 1cos 2 h T 2 cos 2 2h T 3 cos 3 h 2 T 4 cos 4 2 h T 5 cos 5 2h T 6 cos6 h 2 T 7 cos7 2 h T 8 cos 8 2 h T 9 cos 9 2 h T 10 cos10 2 h H e T j 1256637 0505143 0 0125663706143592 0251327412287183 0376991118430775 0502654824574367 0628318530717958 0753982236861551 0879645943005143 100530964914873 113097335529233 125663706143592 138230076757951 15079644737231 163362817986669 175929188601028 188495559215388 201061929829747 213628300444106 226194671058465 238761041672824 251327412287183 263893782901543 276460153515902 289026524130261 30159289474462 314159265358979 02 0 02 04 06 08 1 12 Oscilações de Gibbs Filtros FIR 35 Janelas hjn hn wn Retangular wn 1 Hamming e Hann Hamming α 054 e Hann α 05 Blackman Filtros FIR 36 02 0 02 04 06 08 1 12 Modulo Janela de Hamming Filtros FIR Firpassaaltaexemplom 37 Filtros FIR Plotando a resposta clc all close all clear all coeficientes do filtro vão em um vetor h 0 0004223 0004743 00082858 002208 0 0053587637 00515645 008607155 029654393 06 029654393 008607155 00515645 0053587637 0 002208 00082858 0004743 0004223 0 calculo da resposta em frequencia Hretw freqzh plotw absHret legend Retangular 38 0 0188495559215388 0376991118430775 0565486677646163 0753982236861551 0942477796076938 113097335529233 131946891450771 15079644737231 169646003293849 188495559215388 207345115136926 226194671058465 245044226980004 263893782901543 282743338823081 30159289474462 02 0 02 04 06 08 1 12 Hamming Retangular Comparação Filtros FIR