Transformada Z: Propriedades e Resposta em Frequência

Transformada z Parte II 2 Introdução Transformada z Região de Convergência A Transformada z inversa Propriedades da Transformada z Função de transferência em z Transformada z Resposta em frequência 4 Resposta em frequência Vimos na nossa primeira aula que um modelo matemático de um sinal em tempo discreto é dado por Aplicando as propriedades de Linearidade e Deslocamento no tempo da Transformada de Fourier o espectro de um sinal em tempo discreto pode ser escrito como Comparando esta expressão com a definição da Transformada z Percebemos que as duas expressões são iguais quando fazemos 5 Relação com a transformada de Fourier de um sinal discreto Portanto a transformada de Fourier é um caso particular da transformada Z quando e a resposta em frequência de um sistema é obtida substituindo z por em sua função de transferência Resposta em frequência Escrevendo na forma polar o módulo da resposta em frequência e é o atraso de grupo httpswwwyoutubecomwatchvE3QfYXscsCc 6 𝐻 𝑧 1 𝑧1 𝑧 2 1 𝑧 105 𝑧 2 𝑧 2 𝑧11 𝑧2 𝑧 1 0 5 9 Exemplo Resposta em frequência 𝐻 𝑧 1 𝑧1 𝑧 2 1 𝑧 1 05 𝑧 2 8 bob1b21 a1 1 a2 05 7 Fase Exemplo Resposta em frequência 𝐻 𝑧 1 𝑧1𝑧 2 1𝑧 105 𝑧 2 8 𝑎 𝑗𝑏 𝑐 𝑗𝑑 𝑎 𝑗𝑏 𝑐 𝑗𝑑 𝑎2𝑏2 𝑐 2 𝑑2 Resposta em frequência 9 Real Part 1 05 0 05 1 Imaginary Part 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 0 05 1 15 2 25 3 35 70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 exemplorespfreqbiquadm b 1 1 1 a 1 1 05 z rootsb p rootsa figure1 zplaneba hw freqzba100 hlog 20logh figure2 plotwhlog phiw phasezba100 figure3 plotwphi ωT rad Resposta em frequência ωT rad Exemplo 11 Resposta em frequência passafaixabiquadm 12 f Hz ω rads ωT rad 0 2π π2 π4 0 2πT π2T π4T 0 fsa fsa 4 fsa8 π πT fsa 2 Resposta em frequência 13 f Hz ω k rads ωT rad 0 2π π2 π4 0 2πT π2T π4T 0 fsa fsa2 fsa4 Exemplo Calcule a frequência correspondente em Hz para ωT 06 rad Hz Resposta em frequência 14 Exemplo Calcule a resposta em frequência Vamos experimentar com Excelexemplo aula 14 03 2022xlsx Resposta em frequência 15 Exemplo Calcule a resposta em frequência Vamos experimentar com Excelexemplo aula 25 10 2021xlsx Resposta em frequência 16 ESTABILIDA DE Definição No domínio do tempo No domínio das transformadas z 17 O que é estabilidade No âmbito deste curso estabilidade é a característica de um sistema de fornecer apenas sinais de saída com amplitude limitada quando excitados por uma entrada com amplitude limitada Este conceito de estabilidade é chamado de BIBO bounded input bounded output httpswwwyoutubecomwatchvXggxeuFDaDU ESTABILIDA DE 18 Você lembra da resposta ao impulso do integrador a 09 a 11 Equação diferença O impulso unitário é claramente limitado em amplitude Instável ESTABILIDA DE 19 Estabilidade no domínio do tempo Sabemos que a resposta de um sistema linear invariante no tempo é expressa pelo somatório de convolução Se a amplitude da entrada for limitada por um valor máximo ESTABILIDA DE 20 Portanto concluímos que uma condição suficiente para que o sistema seja estável no sentido BIBO é que Para provar que esta condição é também necessária basta supor que a equação acima não seja satisfeita e escolher uma entrada cujo módulo seja igual a 1 para todo n ESTABILIDA DE 21 Portanto a condição necessária e suficiente para que um sistema discreto linear e invariante no tempo seja estável no sentido BIBO é que ESTABILIDA DE 22 ESTABILIDA DE hn an n 0123 Converge para a 1 Ou seja o sistema é estável para a 1 Exemplo 23 Vimos anteriormente que região de convergência de uma transformada z é definida por meio da equação Inserindo a nossa condição necessária e suficiente de estabilidade Portanto a região de convergência da transformada z de um sistema linear e invariante no tempo estável inclui o círculo de raio unitário no plano z ESTABILIDA DE 24 Considerando Então hn pode ser escrito como Mas Claramente a transformadaZ de converge se ESTABILIDA DE 25 Claramente a transformadaZ de converge se então Hz converge para todo z tal que Como a região de convergência da Transformada Z de um sistema estável deve incluir o círculo de raio unitário ESTABILIDA DE A condição necessária e suficiente para que um sistema linear invariante no tempo seja estável é que todos os pólos de sua função de transferência sejam localizados dentro do círculo unitário no plano z Em outras palavras que todos eles apresentem módulo menor do que 1 26 A condição necessária e suficiente para que um sistema linear invariante no tempo seja estável é que os pólos de sua função de transferência sejam localizados dentro do círculo unitário no plano z Em outras palavras que eles apresentem módulo menor do que 1 ESTABILIDA DE 27 𝐻 𝑧 𝑏0𝑏1 𝑧 1𝑏2 𝑧 2 1𝑎1 𝑧 1𝑎2 𝑧 2 𝑏0 𝑧 2𝑏1 𝑧 1𝑏2 𝑧 2𝑎1 𝑧1𝑎2 Exemplo Pode ou não ser estável necessário investigar ESTABILIDA DE 28 𝐻 𝑧 11 2 𝑧 11 9 𝑧 2 1 5 3 𝑧 1 2 3 𝑧 2 𝑧 21 2 𝑧 11 9 𝑧 2 5 3 𝑧1 2 3 Exemplo Pólos p1 13 p2 2 p2 1 Instável ESTABILIDA DE 29 Exemplo 𝐻 𝑧 11 2 𝑧 11 9 𝑧 2 1 1 2 𝑧 1 1 2 𝑧 2 𝑧 21 2 𝑧 11 9 𝑧2 1 2 𝑧 1 1 2 ESTABILIDA DE Pólos p1p2 ½ Estável 30 Exemplo FIR 𝐻 𝑧 𝑎0𝑎1 𝑧 1𝑎2 𝑧 2𝑎𝑵 𝑧 𝑵 𝑎0 𝑧 𝑵𝑎1 𝑧 𝑁 𝟏𝑎2 𝑧 𝑁 2𝑎𝑵 𝒛 𝑵 Pólos na origem sempre estável 0 ESTABILIDA DE Transformada z inversa 32 TransformadaZ Inversa Xz ROC xn única Métodos Usando o Teorema do resíduo Inspeção Expansão em frações parciais Pólos de primeira ordem Pólos de mésima ordem Transformada z 33 1 Método de Inspeção consiste simplesmente em reconhecer certos pares de transformadas Por exemplo dado que a transformada inversa de Então Transformada z 34 2 Método da expansão em frações parciais Consiste em escrever qualquer função racional como uma soma de frações parciais de modo que para cada fração a transformada Z inversa seja facilmente reconhecida Suponha que Xz é expressa como uma relação polinomial de z1 o que indica que tais funções têm M zeros e N pólos finitos Transformada z 35 Transformada z Se todos os N pólos são de primeira ordem nenhum deles é múltiplo então 36 Transformada z Se todos os M N e os pólos são de primeira ordem nenhum deles é múltiplo então g0 só é usado se MN e pode ser obtido por meio de uma simples divisão Neste caso Xz pode ser reescrita como E os resíduos Ai são calculados por meio desta expressão Passando a equação para o domínio do tempo Exemplo Mas e 38 z2 Z2 06 z 016 1 z2 06 z 016 0z2 06 z 016 39 Transformada z Multiplicando ambos os lados por 1 dk z 1 e avaliando em z dk 40 Transformada z Passando para o domínio do tempo 41 Se Xz tem pólos múltiplos de ordem s e então a equação deve ser modificada Em particular se Xz tem um pólo de ordem s em zdi Os coeficientes Cm podem ser obtidos da equação Transformada z 42 Se Xz tem pólos múltiplos de ordem s e então a equação deve ser modificada Em particular se Xz tem um pólo de ordem s em zdi E a Transformada z inversa do último somatório pode ser obtida como Transformada z 43 Properties of ZTransform 1 Linearidade 2 Deslocamento no Tempo 3 Multiplicação 4 Diferenciação 5 Conjugado 6 Tempo Reverso 7 Convolução 8 Teorema do Valor Inicial 𝑎𝑥1𝑛𝑏 𝑥2𝑛 𝑥𝑛𝑛0 Propriedades Sequência Transformada Z ROC 𝑎 𝑋 1𝑧𝑏 𝑋 2𝑧 𝑥𝑛𝑥1𝑛𝑥2𝑛 𝑋𝑧 𝑋 1𝑧 𝑋 2𝑧 𝑅𝑥𝑅𝑥1𝑅𝑥2 𝑧 𝑛0 𝑋𝑧 contains 𝑅𝑥1𝑅𝑥2 𝑅𝑥 𝑧0 𝑛 𝑥𝑛 𝑋𝑧𝑧 0 𝑧0𝑅𝑥 𝑛𝑥𝑛 𝑧 𝑑𝑋𝑧 𝑑𝑧 𝑅𝑥 𝑥𝑛 ℜ 𝑥𝑛 ℑ𝑥𝑛 𝑋𝑧 𝑅𝑥 contains 𝑅𝑥 contains 𝑅𝑥 𝑋 𝑧 𝑋 𝑧 2 𝑋 𝑧 𝑋 𝑧2 𝑗 𝑥𝑛 𝑋1𝑧 1𝑅𝑥 𝑥1𝑛𝑥2𝑛 𝑋 1𝑧𝑋 2𝑧 contains 𝑅𝑥1𝑅𝑥2 𝑥𝑛0𝑛0 lim 𝑧 𝑋 𝑧𝑥0