Projeto de Filtros IIR: Especificações e Análises

1 Filtros Digitais Projeto de filtros IIR 2 Projeto de um filtro IIR Especificação Filtro analógico Has Transformação Bilinear Hz Projeto de filtros IIR I Especificação de filtros 4 Ap Ar Atenuação dB Ωp Ωr Ω rads 0 Passabaixa 2πfsa2 Lembrar das repetições do espectro e só considerar até a metade da frequência de amostragem Projeto de filtros IIR Faixa de passagem Faixa de rejeição Faixa de transição fp fr f Hz fsa2 Atenuação máxima na faixa de passagem Atenuação mínima na faixa de rejeição 5 3 60 Atenuação dB 2π100 2π700 Ω rads 0 Passabaixa fsa 5000 amostrass Lembrar que a especificação está em rads e a frequência de amostragem em Hz Projeto de filtros IIR Faixa de passagem Faixa de rejeição Faixa de transição 6 Ap Ar Atenuação dB Ωr Ωp Ω rads 0 Passaalta 2πfsa2 Projeto de filtros IIR Lembrar das repetições do espectro e só considerar até a metade da frequência de amostragem Faixa de passagem Faixa de rejeição Faixa de transição Atenuação máxima na faixa de passagem Atenuação mínima na faixa de rejeição 7 05 80 Atenuação dB 2π50 2π2000 Ω rads 0 Passaalta Projeto de filtros IIR Faixa de passagem Faixa de rejeição Faixa de transição fsa 10000 amostrass Lembrar que a especificação está em rads e a frequência de amostragem em Hz 8 Ap Ar Atenuação dB Ωr1 Ωp1 Ωp2 Ωr2 Ω rads 0 Passafaixa 2πfsa2 Frequência central Largura de banda Projeto de filtros IIR Lembrar das repetições do espectro e só considerar até a metade da frequência de amostragem Faixa de passagem Faixa de rejeição Faixa de transição Faixa de rejeição Faixa de transição Atenuação máxima na faixa de passagem Atenuação mínima na faixa de rejeição 9 12 dB 55 dB Atenuação Ω k rads Exemplo 1584 2718 5157 11110 Ω𝑜2718515737 4𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 𝐵515727182439𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 Projeto de filtros IIR Rejeitafaixa 10 Ap Ar Atenuação dB Ωp1 Ωr1 Ωr2 Ωp2 Ω rads 0 Rejeitafaixa 2πfsa2 Frequência central Largura de banda Projeto de filtros IIR Lembrar das repetições do espectro e só considerar até a metade da frequência de amostragem Faixa de passagem Faixa de rejeição Faixa de transição Faixa de passagem Faixa de transição Atenuação máxima na faixa de passagem Atenuação mínima na faixa de rejeição 11 1 dB 30 dB Atenuação Ω k rads Exemplo 1584 2718 5157 11110 Ω𝑜2718515737 4𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 𝐵11110158495 26 𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 Projeto de filtros IIR Rejeitafaixa III Transformação Bilinear 13 Projeto de filtros IIR 𝐻 𝑧 𝐻𝑎 𝑠 𝒔 𝟐 𝑻 𝟏 𝒛 𝟏 𝟏 𝒛 𝟏 14 Exemplo Se por exemplo T 01 s Projeto de filtros IIR Projeto de filtros IIR 16 Exemplo Hz Projeto de filtros IIR 17 f0 1000 Hz Q 10 fsa 60000 amostrass Projeto de filtros IIR 18 A transformação bilinear tem as seguintes propriedades Protótipos analógicos estáveis dão origem a filtros digitais estáveis O máximo e o mínimo da resposta analógica são preservados Os ripples na faixa de passagem e na faixa de rejeição são preservados Projeto de filtros IIR 19 Possível problema 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 T tg T e e T j z z T s a j z z T s a T j T j j H e H s H z H Projeto de filtros IIR 20 Para ω 03 T ω Ω Projeto de filtros IIR 21 f0 1000 Hz Q 10 fsa 30000 amostrass Projeto de filtros IIR 22 transfbilinearexemplo090522m f0 1000 Hz Q 10 fsa 6000 amostrass Projeto de filtros IIR Projeto de filtros IIR 24 Prewarping 2 T T tg 2 2 T T arctg 2 Recalculo a especificação do protótipo analógico Projeto de filtros IIR 25 1 dB 30 dB Atenuação f kHz 24 38 58 78 Fs 20000 amostrass Especificação do projeto ω k rads 1508 2388 3644 4901 1584 2719 5156 11111 Ω k rads 2 2 T tg T Projeto de filtros IIR Estas novas frequências serão usadas no projeto do filtro analógico Transformações 27 Protótipo analógico normalizado Ωrads Ap Ar Atenuação 1 Ωr Projeto de filtros IIR O projeto é efeito a partir de uma especificação de um protótipo passabaixa normalizado Para obter este protótipo submetemos a especificação original a uma transformação em frequência 28 Projeto de filtros IIR α é igual a 1 no nosso âmbito 29 1 dB 30 dB Atenuação Ω k rads 1584 2718 5157 11110 Ω𝑜2718515737 4𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 𝐵11110158495 26 𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 Exemplo Ω 𝑝1 Ω𝑟 1 Ω𝑟 2 Ω 𝑝2 Projeto de filtros IIR 30 3907 Protótipo analógico normalizado Ω𝑟 Ω𝑝2Ω𝑝 1 Ω𝑟 2Ω𝑟 1 111101584 51572718 3907 Ωrads 1 dB 30 dB Atenuação 1 Ωr Projeto de filtros IIR 31 05 80 Atenuação dB 2π50 2π2000 Ω rads 0 Passaalta Projeto de filtros IIR Faixa de passagem Faixa de rejeição Faixa de transição 32 40 Protótipo analógico normalizado Ω𝑟 Ω𝑝 Ω𝑟 2 π2000 2 π50 40 Ωrads 1 dB 30 dB Atenuação 1 Ωr Projeto de filtros IIR 33 Projeto de filtros IIR Para voltar usamos as fórmulas da última coluna da tabela de transformações 34 II Aproximação Analógica II1 Butterworth II2 Chebyshev II3 Elíptico Cauer II4 Transf de frequência 35 Ap Ar Atenuação dB 1 Ωr Ω rads 0 Protótipo Passabaixa Transformações foram utilizadas para com base na especificação desejada gerarmos um protótipo passabaixa como mostrado abaixo Projeto de filtros IIR III1 Butterworth 37 H c N p N 2 2 2 2 1 1 1 1 Projeto de filtros IIR Projeto de filtros IIR 39 𝜀1 00 1 𝐴𝑝 11 0 0 1 1105088 Projeto de filtros IIR 40 N2 poles 1 2 210 1 2 2 1 2 2 cos 1 n i n n i j sen n n i s n i Uso apenas os pólos no semiplano lateral esquerdo Projeto de filtros IIR 41 i parte real parte imaginária 1 1093902388 04531092049 2 1093902388 04531092049 3 04531092049 1093902388 4 04531092049 1093902388 5 1093902388 04531092049 6 1093902388 04531092049 7 04531092049 1093902388 8 04531092049 1093902388 Exemplo 1 2 2 1 2 2 cos 1 n n i j sen n n i s n i Cálculo dos zeros do polinômio Projeto de filtros IIR 42 Considerando sómente os pólos no semiplano lateral esquerdo pi 1 2 1 0 1 2 1 0 n n p p p p k p s p s p s p s k s H Projeto de filtros IIR 43 4º Passo Projeto do filtro analógico normalizado passabaixa Selecionando os zeros no semiplano lateral esquerdo Projeto de filtros IIR i parte real parte imaginária 1 1093902388 04531092049 2 1093902388 04531092049 3 04531092049 1093902388 4 04531092049 1093902388 5 1093902388 04531092049 6 1093902388 04531092049 7 04531092049 1093902388 8 04531092049 1093902388 𝒔𝒂 𝒋𝒃 𝒔𝒂 𝒋𝒃𝒔 𝟐𝟐 𝒂𝒔𝒂 𝟐𝒃 𝟐 III2 Chebyshev 45 p n C H 2 2 2 1 1 Projeto de filtros IIR Ordem ímpar Ordem par O número de máximos e mínimos na faixa de passagem é igual a ordem do filtro 46 1 10 10 Ap arccos 1 10 arccos 2 10 r Ar h h n Projeto de filtros IIR 47 n i j s i i i 21 2 Uso apenas os pólos no semiplano lateral esquerdo Projeto de filtros IIR 48 Considerando sómente os pólos no semiplano lateral esquerdo pi para ordem par p p p p k para ordem ímpar p p p p k p s p s p s p s k s H n A n n p 10 1 2 1 0 05 0 1 2 1 0 1 2 1 0 Projeto de filtros IIR III3 Elíptico Cauer Projeto de filtros IIR Projeto de filtros IIR IV Exemplo completo 53 1 dB 30 dB Atenuação f kHz 24 38 58 7297 Fs 20000 amostrass Especificação do projeto ω k rads 1508 2388 3644 4585 Projeto de filtros IIR 1584 2718 5157 88489 Ω k rads 𝜴 𝟐 𝑻 𝒕𝒈 𝝎 𝑻 𝟐 54 fs 20000 amostrass 1º Passo Prewarping 2 2 T tg T Ω𝑜2718515737 4𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 𝐵515727182439𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 1 dB 30 dB Atenuação Ω k rads 1584 2718 5157 88489 Ω 𝑝1 Ω𝑟 1 Ω𝑟 2 Ω 𝑝2 Projeto de filtros IIR 55 29786 3º Passo Protótipo analógico normalizado Ω𝑟 Ω𝑝2Ω𝑝 1 Ω𝑟 2Ω𝑟 1 884891584 51572718 29786 Ωrads 1 dB 30 dB Atenuação 1 Ωr Projeto de filtros IIR 56 4º Passo Projeto do filtro analógico normalizado passabaixa 0 5088 1 10 1 10 10 1 10 Ap a Para filtros Butterworth b Para filtros Chebyshev Faremos o Butterworth como exemplo por ser um pouco mais extenso Projeto de filtros IIR 57 i parte real parte imaginária 1 1093902388 04531092049 2 1093902388 04531092049 3 04531092049 1093902388 4 04531092049 1093902388 5 1093902388 04531092049 6 1093902388 04531092049 7 04531092049 1093902388 8 04531092049 1093902388 Exemplo 1 2 2 1 2 2 cos 1 n n i j sen n n i s n i Cálculo dos zeros do polinômio Projeto de filtros IIR 58 i parte real parte imaginária 1 1093902388 04531092049 2 1093902388 04531092049 3 04531092049 1093902388 4 04531092049 1093902388 5 1093902388 04531092049 6 1093902388 04531092049 7 04531092049 1093902388 8 04531092049 1093902388 4º Passo Projeto do filtro analógico normalizado passabaixa d Selecionando os zeros no semiplano lateral esquerdo Projeto de filtros IIR 59 5º Passo Transformação Passabaixa Rejeitafaixa 𝐻𝑎𝑠1 9653 𝐻𝑎𝑠 19653 𝑠 221878 𝑠 14019𝑠 209062 𝑠 14019 Observem que 1 Esta função de transferência corresponde ao rejeitafaixa com o prewarping 2 A função de transferência dobrou de ordem de ordem 4 para 8 3 Apareceram zeros finitos no centro da faixa de rejeição isso acontece nos casos de passafaixa e rejeitafaixa Projeto de filtros IIR a4 a3 a2 a1 a0 14019 534E04 451E09 746E13 274E18 14019 221E04 451E09 309E13 274E18 60 6º Passo Transformação bilinear 𝑠 2 𝑇 𝑧 1 𝑧1 Transformação Bilinear Projeto de filtros IIR 𝐻𝑎𝑠1 9653 B1 B0 A4 A3 A2 A1 A0 000000001 874E09 224304 213E01 451E01 186E01 171E01 224304 884E00 451E01 772E00 171E01 Has19653 Filtros Estructuras 63 IIR FIR Pólos Dentro do círculo unitário Na origem do plano z Zeros No plano z No plano z Seletividade Alta Pouca Fase linear Nunca equalizadores Sim se bem projetado Estabilidade Pode ser instável Sempre estável Implementação em DSPs Um pouco mais complicada Muito fácil e rápida Projeto de filtros IIR The end