Ângulo de Torção em Eixos Não Circulares - Resistência dos Materiais II

Resistência dos Materiais II Ângulo de torção Torção em eixos não circulares Prof Sérgio Rabelo Escopo Ângulo de torção Definição Formulação Torque e seções constantes Máquina de ensaio de torção Torção em eixos não circulares Prof Sérgio Rabelo 2 Definição do ângulo de torção Se o eixo for fixado por uma das extremidades e um torque for aplicado à outra o plano sombreado mais escuro na Figura a irá se distorcer como mostrado Aqui uma linha radial localizada na seção transversal a uma distância x da extremidade fixa do eixo girará através de um ângulo x chamado ângulo de torção Ele depende da posição x e variará ao longo do eixo como indicado Prof Sérgio Rabelo 3 Formulação Usando o método das seções um disco diferencial de espessura dx localizado na posição x é isolado do eixo conforme a figura ao lado Nessa localização o torque interno é Tx uma vez que a carga externa pode fazer que ele mude ao longo do eixo Por causa de Tx o disco irá girar de modo que a rotação relativa de uma de suas faces em relação à outra será d Como resultado um elemento de material localizado em um raio arbitrário no interior do disco sofrerá uma deformação por cisalhamento Os valores de e são relacionados pela Equação 1 a saber Uma vez que a lei de Hooke G se aplica e a tensão de cisalhamento pode ser expressa em termos do torque aplicado pela fórmula da torção TxJx então Tx JxGx Logo podemos reescrever 1 Prof Sérgio Rabelo 1 4 Formulação Integrandose ao longo de um comprimento L Onde ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra medido em radianos Tx torque interno na posição arbitrária x encontrado a partir do método das seções e da equação de equilíbrio de momento aplicada em torno da linha central do eixo Jx momento polar de inércia do eixo expresso em função de x Gx módulo de elasticidade ao cisalhamento para o material expresso em função de x Prof Sérgio Rabelo 5 Torque e área de seção constante Normalmente na prática de engenharia o material é homogéneo de modo que G é constante Além disso a área da seção transversal e o torque externo são constantes ao longo do comprimento do eixo Quando este é o caso o torque interno Tx T o momento polar de inércia JxJ e a Equação anterior pode ser simplificada o que fornece 2 Observe as semelhanças entre as duas equações acima e as de uma barra axialmente carregada Prof Sérgio Rabelo 2 6 Máquina de ensaio de torção A Equação 2 é com frequência usada para determinar o módulo de elasticidade de cisalhamento G de um material Para isto um corpo de prova de comprimento e diâmetro conhecidos é colocado em uma máquina de teste de torção como a mostrada na Figura O torque aplicado T e o ângulo de torção são então medidos ao longo do comprimento L Da Equação2 obtemos G TLJ Para um valor mais confiável de G vários desses testes são realizados e um valor médio é adotado Prof Sérgio Rabelo httpswwwyoutubecomwatchvwPcJ4Wqe4Lo 7 Torques múltiplos Se no elemento estiverem aplicados diferentes torques ou a seção ou materiais mudam abruptamente devese aplicar a formulação para cada trecho onde as características são constante e somar os efeitos Prof Sérgio Rabelo 8 Exercício de fixação 55 Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo de aço A36 mostrado na Figura Além disso qual é o ângulo de torção de A em relação a C O eixo tem um diâmetro de 200 mm Prof Sérgio Rabelo 10 Exercício de fixação Prof Sérgio Rabelo 11 Exercício de fixação Prof Sérgio Rabelo 12 Exercício de fixação 57 Os dois eixos maciços de aço mostrados na Figura são acoplados em conjunto com engrenagens engrenadas Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando o torque T 45 N m é aplicado O eixo DC está fixado em D Cada eixo tem diâmetro de 20 mm G 80 GPa Prof Sérgio Rabelo 13 Exercício de fixação Prof Sérgio Rabelo 14 Exercício de fixação Prof Sérgio Rabelo 15 Torção em eixos não circulares Eixos que não são circulares não são simétricos em relação as respectivas linhas centrais e assim suas seções transversais se abaulam ou se entortam quando o eixo sofrer torção Evidência disto pode ser conferida a partir do modo como as linhas de grade se deformam em um eixo com seção transversal quadrada conforme Figura Por causa desta deformação a análise de torção de eixos não circulares tornase consideravelmente mais complicada e não será discutida nesta disciplina Prof Sérgio Rabelo 16 Torção em eixos não circulares Distribuição das tensões na seção transversal Prof Sérgio Rabelo 17 Torção em eixos não circulares Usando a teoria da elasticidade a Tabela 51 fornece os resultados da análise para seções transversais quadradas assim como aquelas para eixos que têm seções transversais triangulares e elípticas Em todos os casos a tensão de cisalhamento máxima ocorre em um ponto na borda da seção transversal mais próximo da linha central do eixo Também são fornecidas fórmulas para o ângulo de torção de cada eixo Ao ampliar esses resultados é possível mostrar que o eixo mais eficiente tem uma seção transversal circula rjá que está sujeito tanto a uma tensão de cisalhamento máxima menor quanto a um ângulo de torção menor do que outro que tenha a mesma área de secão transversal mas não circular sendo sujeito ao mesmo torque Prof Sérgio Rabelo 18 Exercício de fixação 511 O eixo de alumínio 6061T6 mostrado na Figura tem área de seção transversal na forma de um triângulo equilátero Determine o maior torque T que pode ser aplicado na sua extremidade se a tensão de cisalhamento admissível for adm 56 MPa e o ângulo de torção na extremidade restrito a 002 rad Prof Sérgio Rabelo 19 Exercício de fixação Prof Sérgio Rabelo 20 Exercício propostos P555 Um eixo é feito de aço A992 tem diâmetro de 25 mm e é apoiado por rolamentos em A e D que permitem a rotação livre Determine o ângulo de torção de B em relação a D Prof Sérgio Rabelo 21 Exercício propostos P571 O eixo vazado de aço A36 tem 2 m de comprimento e diâmetro externo de 40 mm Quando está girando a 80 rads transmite 32 kW de potência do motor M para o gerador G Determine a menor espessura do eixo se a tensão de cisalhamento admissível adm 140 MPa e se este eixo é restrito para não torcer mais de 005 rad Prof Sérgio Rabelo 22 Próxima aula Selecione 5 exercícios impares do capítulo de torção do livro texto e resolva Confira as respostas no final do livro texto Leitura do capítulo 5 incluindo as seções discutidas em aula Prof Sérgio Rabelo 23