Funções Analíticas

QUESTÃO 6 Seja z x iy Então fz ag eziz Para escrever a função em termos de x e y primeiro se reescreve o expoente Como 1z 1x iy x iyx² y² segue que iz ix iyx² y² ix yx² y² yx² y² ixx² y² Logo z iz x iy yx² y² ixx² y² Separando parte real e parte imaginária z iz x yx² y² i y xx² y² Agora usase o fato de que se w a ib então ew ea cos b i sin b e portanto argew b mod 2π Assim tomando w z iz FUNÇÃO EXPONENCIAL COMPLEXA QUESTÃO 2 FUNÇÕES ANALÍTICAS 411 Função Exponencial Complexa Nos Problemas 14 determine a derivada f da função f dada 2 fz 3e2z iez z²1i Nos Problemas 58 escreva a expressão dada em termos de x e y 6 arg ez1z 412 Função Logarítmica Complexa Nos Problemas 2126 determine todos os valores complexos do logaritmo dado 24 ln 1 i Nos Problemas 16 determine todos os valores da potência complexa dada 2 32ipi 431 Funções Trigonométricas Complexas Nos Problemas 18 expresse o valor da função trigonométrica dada na forma a ib 2 cos 3i FUNÇÃO LOGAR ÍTMICA COMPLEXA QUESTÃO 24 segue que um argumento é θ π4 Portanto todos os argumentos de 1 i são π4 2kπ k Z Substituindo na expressão do logaritmo complexo ln 1 i ln 1 i i arg1 i obtémse ln 1 i 12 ln 2 i π4 2kπ k Z Portanto todos os valores complexos de ln1 i são ln 1 i 12 ln 2 i π4 2kπ k Z QUESTÃO 2 usase a definição de potência complexa aw ew ln a No caso complexo porém quando se escreve a potência em termos do logaritmo complexo completo temse aw ew log a em que log a ln a iarg a 2kπ k Z Como 3 é um número real positivo seu módulo é 3 e seus argumentos são 0 2kπ k Z Logo todos os logaritmos complexos de 3 são log 3 ln 3 2kπi k Z FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEXAS QUESTÃO 2 substituindo z 3i cos3i ei3i ei3i 2 simplificando os expoentes i3i 3i2 3 e i3i 3i2 3 Assim cos3i e3 e3 2 Esse resultado é um número real logo a parte imaginária é nula Portanto na forma a ib cos3i e3 e3 2 0i Também se pode reconhecer que e3 e3 2 cosh 3 de modo que cos3i cosh 3 0i