Trabalho de Funções Analíticas

Funções Matemáticas QUESTÃO 10 Pela definição alternativa da derivada complexa fz lim wz fw fz w z substituindo fw 1 2iw e fz 1 2iz têmse fz lim wz 1 2iw 1 2iz w z Colocando em evidência o fator 1 2i fz 1 2i lim wz 1 w 1 z w z Agora fazse a diferença das frações no numerador 1 w 1 z z w wz Logo fz 1 2i lim wz z w wz w z Como z w w z segue que fz 1 2i lim wz w z wz w z Cancelando o fator w z resulta fz 1 2i lim wz 1 wz Passando ao limite w z fz 1 2i 1 z² Portanto fz 1 2iz² QUESTÃO 11 QUESTÃO 6 Logo fz z² x iy² x² y² 2ixy Assim ux y x² y² vx y 2xy Calculamse as derivadas parciais uₓ 2x uᵧ 2y vₓ 2y vᵧ 2x As equações de CauchyRiemann são uₓ vᵧ e uᵧ vₓ Substituindo as derivadas encontradas 2x 2x e 2y 2y isto é 2x 2x e 2y 2y Da primeira equação 4x 0 x 0 Da segunda 4y 0 y 0 Portanto as equações de CauchyRiemann só são satisfeitas no ponto x y 0 0 Como elas não são satisfeitas em nenhum outro ponto a função não pode ser analítica em nenhum aberto do plano complexo Assim concluise que fz z² não é analítica em qualquer ponto QUESTÃO 8 Para o item 8 temse fz x x² y² i y x² y² com domínio dado por x² y² 0 Escrevendo ux y x x² y² vx y y x² y² calculamse as derivadas parciais por regra do quociente uₓ x² y² 1 x 2x x² y²² y² x² x² y²² uᵧ 0 x² y² x 2y x² y²² 2xy x² y²² vₓ 0 x² y² y 2x x² y²² 2xy x² y²² vᵧ x² y² 1 y 2y x² y²² x² y² x² y²² Agora impõemse as equações de CauchyRiemann uₓ vᵧ e uᵧ vₓ A primeira fornece y² x² x² y²² x² y² x² y²² Como x² y² 0 multiplicando ambos os lados por x² y²² y² x² x² y² 2y² 2x² x² y² A segunda forrnee 2xyx2 y22 2xyx2 y22 2xyx2 y22 2xyx2 y22 Multiplicando por x2 y22 2xy 2xy 4xy 0 xy 0 Então devem valer simultaneamente x2 y2 e xy 0 De xy 0 segue que x 0 ou y 0 Combinando isso com x2 y2 obtémse necessariamente x 0 e y 0 Mas o ponto 00 não pertence ao domínio da função pois nele x2 y2 0 Logo não existe ponto do domínio em que as equações de CauchyRiemann sejam satisfeitas Portanto fz xx2 y2 i yx2 y2 não é analítica em qualquer ponto