Espaços Vetoriais - Definições, Exemplos e Subespaços Vetoriais

ESPAÇOS VETORIAIS 1 DEFINIÇÃO Seja um conjunto V nãovazio sobre o qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar isto é i u v V temos u v V ii u V temos u V O conjunto V com essas duas operações é chamado ESPAÇO VETORIAL REAL ou espaço vetorial sobre se for satisfeitas as propriedades i Em relação à adição A1 u v w u v w u v w V A2 u v v u u v V A3 0 V u V temos u 0 u A4 u V u V temos u u 0 ii Em relação à multiplicação por escalar M1 u u u V M2 u u u M3 u v u v e u v V M4 1 u u u V 2 EXEMPLOS 1 V 2 xy x y é um espaço vetorial com as operações adição e multiplicação por escalar assim definidas pois temos i x1y1 x2y2 x1x2 y1y2 ii x1y1 x1 y1 2 V 3 xyz x y z é um espaço vetorial com as operações adição e multiplicação por escalar assim definidas i x1y1z1 x2y2z2 x1x2 y1y2 z1 z2 ii x1y1z1 x1 y1z1 3 V é um espaço vetorial com as operações adição e multiplicação por escalar assim definidas i x1 x2 x1 x2 ii x1 x1 4 V M 2x2 a b c d abcd É um espaço vetorial com as operações adição e multiplicação por escalar assim definidas i a b c d a b c d a a b b c c d d 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ii a b c d a b c d 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 SUBESPAÇOS VETORIAIS Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto nãovazio de V Um subconjunto S nãovazio é um espaço vetorial de V se forem satisfeitas as condições i 0 S ii Para quaisquer u v S temse u v S iii Para quaisquer u S temse u S EXEMPLOS 1 Seja V 2 e S x y 2 y 2x ou S x 2x 2 x é um subespaço Solução Por tanto S é um subespaço vetorial de IR2 2 Sejam V IR2 e S x 4 2x x IR é um subespaço de IR2 Solução Referências Bibliográficas BOLDRINI José Luiz Álgebra Linear 3a ed São Paulo Harpa 1980 LIPSCHUTZ Seymour Álgebra Linear 2a ed São Paulo McGranHill do Brasil 1981 MACHADO Antonio dos Santos Álgebra Linear e Geometria Analítica 2a ed São Paulo Atual Editora 1991 STEINBRUCH Alfredo e WINTERLE Paulo Geometria Analítica 2a ed São Paulo McGranHil do Brasil 1987 STEINBRUCH Alfredo e WINTEELE Paulo Álgebra Linear 2a ed São Paulo McGranwHill 1987