Álgebra Linear - Trabalho Manuscrito Resolvido - Transformações e Autovalores

TRABALHO DE ÁLGEBRA LINEAR OBSERVAÇÃO O trabalho deverá ser entregue em papel almaço manuscrito a caneta esferográfica de tinta azul ou preta Trabalho sem identificação será descartado e desconsiderado Não haverá prorrogação da data de entregue O prazo final da entrega é para o dia da 3ª prova no último dia de aula do mês de junho Serão quesito de avaliação Organização exatidão e clareza na resolução e apresentação das questões que constam no trabalho Cada questão corretamente solucionada vale 25 pontos 1 A Determine a transformação linear T IR 3 IR 3 tal que T 111201 T 012 321 e T 101110 B Determine o N T T é injetora Justifique C T é sobrejetora Justifique 2 A Dada a transformação linear T IR 3 IR 3 tal que T x y z yz2 x y xyz Determine a matriz da transformação linear T em relação a base canônica B100 010 001 denotado por T B Determine a matriz da transformação linear T do item A em relação a base B012203 130 3 Determine os autovalores e os autovetores da matriz A A 2 4 2 1 0 1 1 4 5 4 A Dada a matriz A determine a matriz P que diagonaliza a matriz A e calcule P 1 A P B Calcule A 6 aplicando a relação AP D P 1 onde D é uma matriz diagonal A 2 0 2 0 2 2 3 0 3 Questão 1 a seja T IR3 IR3 uma transformação linear tal que T111 201 T012 321 e T101 110 Observe que o conjunto B 111 012 101 é uma base do IR3 Pois i B é linearmente independente LI Dados a b c e IR considere a equação a111 b012 c101 000 a seja a c 0 1 a b 0 2 a 2b c 0 3 De 1 c a De 2 b a De 3 a 2b c 0 a 2a a 0 2a 0 a 0 como b a c a e a 0 segue a b c 0 Logo B é LI ii B gera IR3 Sejam xyz e IR3 a b c e IR Considere a equação a111 b012 c101 xyz a seja a c x 1 a b y 2 a 2b c z 3 De 1 c x a De 2 b y a De 3 a 2b c z a 2y a x a z a 2y 2a x a z 2a z x 2y a x2 y z2 como b y a e c x a segue b y x2 y z2 e c x x2 y z2 b x2 z2 c 32 x y z2 Logo qualquer vetor xyz e IR3 pode ser expresso como combinação linear dos vetores de B a seja xyz x2 y z2111 x z2012 32 x y z2101 Isto é B gera IR3 Agora aplicando T na igualdade temos Txyz x2 y z2T111 x z2T012 32 x y z2T101 Txyz x2 y 32 z 201 xz2 321 32 x y 32 z 110 Txyz x 2y z 3x 32 z 32 x y 32 x z 32 x y 32 x2 y 32 32 Txyz 2x y z x2 y 32 y Portanto Txyz 2x y z x2 y 32 y b O núcleo de T é dado pelo conjunto NT xyz IR3 Txyz 000 T ou seja 2x y z x2 y 32 y 000 ou ainda 2x y z 0 x2 y 32 0 y 0 Seja A a matriz ampliada do sistema então A 2 1 1 0 12 1 12 0 1 0 0 L2 L2 14 L1 2 1 1 0 0 54 34 0 0 1 0 L3 L3 45 L2 2 1 1 0 54 34 0 0 53 0 Logo 2x y z 0 1 54 y 34 z 0 2 53 z 0 3 De 3 z 0 De 2 y 0 De 1 x 0 Logo N T 000 T Sabemos que uma transformação linear T é injetora se e só se N T 0 T Então como N T 000 T então T é injetora c Pelo Teorema do núcleo e da imagem dim IR3 dim Nτ dim Imτ ou seja dim Imτ dim IR3 dim Nτ Como dim Nτ 0 temos dim Imτ dim IR3 3 Logo Imτ IR3 Portanto τ é sobrejetora Questão 2 a Seja T IR3 IR3 uma transformação linear dada por Txyz y z 2x y x y z Vamos determinar a matriz de T em relação a base canônica B 100 010 001 Para isto precisamos encontrar as coordenadas a componentes de T100 T010 e T001 em relação à B τ100 021 0 100 2010 1001 Logo as coordenadas de T100 em relação à B é T100B 0 2 1 τ010 111 1 100 1010 1001 Logo τ010B 1 1 1 τ001 101 1100 0010 1001 Logo τ001B 1 0 1 Portanto a matriz de τ na base canônica B é dada por τ 0 1 1 2 1 0 1 1 1 τ100B τ001B b Considere a base B 0 1 2 2 0 3 1 3 0 do R3 Vamos determinar a matriz de T do item a em relação a base B Cálculo T0 1 2B T0 1 2 12 01 012 1 1 3 Sejam w b c R considere a equação 1 1 3 w0 1 2 b2 0 3 c1 3 0 w seja 2b c 1 w 3c 1 2a 3b 3 Seja A o matriz ampliada do sistema então A 0 2 1 1 1 0 3 1 2 3 0 3 L2 L2 1 0 3 1 0 2 1 1 2 3 0 3 L3 L3 L2 1 0 3 1 0 2 1 1 0 3 6 1 L3 L3 32 L2 1 0 3 1 0 2 1 1 0 0 152 52 Logo w 3c 1 1 2b c 1 2 152c 52 3 De 3 c 13 De 2 b 13 De 1 w 1 Logo T0 1 2B 2 13 13 Cálculo T2 0 3B T2 0 3 03 40 203 3 4 1 Dados w b c R considere a equação 3 4 1 w0 1 2 b2 0 3 c1 3 0 w seja 2b c 3 w 3c 4 2a 3b 1 Seja M o matriz ampliada do sistema então M 0 2 1 3 1 0 3 4 2 3 0 1 L2 L1 1 0 3 4 0 2 1 3 2 3 0 1 L3 L3 32 L1 2b c 3 ω 3c 1 2a 3b 2 Seja c a matriz ampliada do sistema então C 0 2 1 3 1 0 3 1 2 3 0 2 L1 L2 1 0 3 1 0 2 1 3 2 3 0 2 L3 L3 2L1 1 0 3 1 0 2 1 3 0 3 6 0 L3 L3 32L2 1 0 3 1 0 2 1 3 0 0 152 92 Logo ω 3c 1 2b c 3 152c 92 1 0 2 4 0 2 1 13 0 3 6 19 L3 L3 32L2 1 0 3 4 0 2 1 3 0 0 152 272 Logo ω 3c 4 2b c 3 152c 272 onde obtemos ω 75 b 35 c 95 Logo T1 2 0 3B 715 315 915 Calculo T130B T130 30 23 130 3 1 2 Dados ω b c ℝ considere a equaço 31 2 ω0 1 2 b201 c130 ou seja donde obtemos ω 45 b 65 c 35 Logo T130B 415 65 315 Portanto TB 2 715 415 13 315 615 13 915 315 Questão 3 Considere a matriz A 2 4 2 1 0 1 1 4 5 Autovalores de A Primeiro precisamos encontrar o polinômio característico Temos pAλ detA I3λ 2 λ 4 2 1 λ 1 1 4 5 λ 2 λ5λ λ² 4 45 λ 1 24 λ λ³ 7 λ² 8 λ 16 λ 1λ² 8 λ 16 λ 1λ 4² Logo pAλ λ 1λ 4² Como os autovalores são as raízes de pAλ segue λ 1λ 4² 0 se λ 1 ou λ 4 Portanto os autovalores da A são λ1 1 com multiplicada algébrica 2 e λ2 4 Autovetores de A Para cada λi i 1 2 temos que resolver o seguinte sistema linear homogêneo A λi I x y z 0 0 0 Para λ1 1 temos 3x 4y 2z 0 x y z 0 x 4 y 6 z 0 Seja M a matriz ampliada do sistema então M 3 4 2 0 1 1 1 0 1 4 6 0 w1 w2 1 1 1 0 3 4 2 0 1 4 6 0 w2 w2 3w1 w3 w3 w1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 5 5 0 w3 w3 5w2 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 Logo x y z 0 y z 0 donde obtemos y z x 2 z z z Assim o autovetor associado o λ1 1 é da forma v1 2 z z z z 2 1 1 Para λ2 4 temos 2 x 4 y 2 z 0 x 4 y 3 0 x 4 y 3 0 Seja C a matriz ampliada do sistema então C 2 4 2 0 1 4 1 0 1 4 1 0 w1 w2 1 4 1 0 2 4 2 0 1 4 1 0 w2 w2 2w1 w3 w3 w1 1 4 1 0 0 4 4 0 0 0 0 0 Logo x 4y 3 0 4y 4 3 0 donde obtemos y 3 x 3 3 3 3 Assim o autovetor associado a 12 4 é de forma V2 3 3 3 3 33 1 1 Portanto os autovalores de A são 11 1 com multiplicade algébrica 2 e 12 4 com respectivos autovetores vi 2 3 3 3 3 2 1 1 e V2 3 3 3 3 3 3 1 1 Questão 4 Considere a matriz A 2 0 2 0 2 2 3 0 3 i Para determinar a matriz P cujas as colunas são os autovetores de A precisamos encontrar os autovetores de A ii Autovalores de A 0 polinômio característico de A é dado por PA det A λ I3 2 2 0 2 0 2 2 2 3 0 3 λ 2 2 2 2 3 2 0 0 2 0 3 2 1 2 2 2 2 3 2 2 6 3 2 23 12 21 2 2 2 2 2 1 1 12 2 Logo PA2 2 2 4 22 Então 2 21 12 2 0 se 2 0 a 2 1 a 2 2 Portanto autovalores são 11 0 12 1 23 2 ii Autovetores Para cada 12 2 1 2 3 tamos que resolver o seguinte sistema A 2 1 x y 3 0 0 0 Para 21 0 temos 2 x a 3 0 2 y 23 0 3 x 3 3 0 onde obtemos x 3 y 3 3 3 logo o autovetor associado a 21 0 é de forma Vi 3 3 3 31 11 Para λ2 1 temos 3x 2z 0 3y 2z 0 3x 2z 0 onde obtemos x 23 z y 23 z z z Logo o vetor v2 23 z 23 z z z 23 23 1 é um autovetor associado a λ2 1 Para λ3 2 temos 2z 0 2z 0 3x 5z 0 onde temos x 0 y y z 0 Assim v3 0 y 0 y0 1 0 é um autovetor associado à λ3 2 Portanto v1 1 1 1 v2 23 23 1 e v3 0 1 0 são autovetores de A Logo a matriz P é dada por P 1 23 0 1 23 1 1 1 0 Calculo P1 1 23 0 1 0 0 1 23 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 L2 L2 L1 L3 L3 L1 1 23 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 13 0 1 0 1 L3 3 L3 L1 L1 23 L3 1 23 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 3 0 3 L2 L3 1 0 0 3 0 2 0 1 0 3 0 3 0 0 1 1 1 0 p1 Logo P1 3 0 2 3 0 3 1 1 0 Assim P1 A P 3 0 2 3 0 3 1 1 02 0 2 0 2 2 3 0 31 23 0 1 23 1 1 1 0 0 0 0 3 0 3 2 2 01 23 0 1 23 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 D 1 b Queremos encontrar A6 Temos A P D P1 A6 P D P16 A6 P D P1 P D P1 P D P1 6 vezes A6 P D6 P1 Assim A6 1 213 0 1 213 1 1 1 0 06 0 0 0 16 0 0 0 26 3 0 2 3 0 3 1 1 0 1 213 0 1 213 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 64 3 0 2 3 0 3 1 1 0 0 213 0 0 213 64 0 1 0 3 0 2 3 0 3 1 1 0 2 0 2 66 64 2 3 0 3 Portanto A6 2 0 2 66 64 2 3 0 3