Vetores-Conceitos-Fundamentais-e-Representacoes-Matematicas

UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU FURB CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Professora Simone Leal Schwertl 1 1 VETORES 11 Segmentos orientados Considere o segmento orientado AB Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos assim definidos comprimento denominado módulo direção sentido de A para B Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos O primeiro elemento é chamado de origem e o segundo elemento é a extremidade ABBA 12 Segmentos Eqüipolentes Eqüipolência é uma relação entre dois segmentos orientados Dois segmentos A B e C D são eqüipolentes se têm as mesmas coordenadas canônicas Denotaremos a relação de eqüipolência por A B C D Quando AB C D a figura formada pelos pontos ABCD no espaço afim é um paralelogramo ver figura 13 Vetor Conjunto infinito de todos os segmentos orientados do espaço que são eqüipolentes entre siou seja o conjunto infinito de todos os segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento a mesma direção e o mesmo sentido de AB Assim a idéia de vetor nos levaria a uma representação do tipo Na prática para representar um vetor tomamos apenas um dos infinitos segmentos orientados que o compõe Guarde esta idéia pois ela é importante A B AB A B BA A B Vetor AB B D A C UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU FURB CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Professora Simone Leal Schwertl 2 Método gráfico de adição de vetores 2 Representação analítica de um vetor 21 No plano R2 Vetor no plano é o par ordenado xy de números reais e se representa por x y v ou ainda y j x i v Graficamente 22 No Espaço R3 um vetor no espaço é a terna ordenada xyz de números reais e se representa por u x y z ou zk jy ix u Graficamente Importante Fazer exemplos de localização de vetores em R2 e em R3 3Algumas definições importantes UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU FURB CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Professora Simone Leal Schwertl 3 31Vetores Colineares Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma direção Em outras palavras e são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas Analiticamente Dois vetores 1 1 1 y z x u e 2 2 2 z y x v são colineares ou paralelos se existe um número real m tal que m v u ou seja 2 1 2 1 2 1 z z y y x x m as componentes são multipla IMPORTANTE Fazer exemplo 32 Vetores Coplanares Se os vetores não nulos e não importa o número de vetores possuem representantes AB CD e EF pertencentes a um mesmo plano π dizse que eles são coplanares UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU FURB CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Professora Simone Leal Schwertl 4 Dois vetores e quaisquer são sempre coplanares pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e com origem nele imaginar os dois representantes de e pertencendo a um plano π que passa por este ponto Três vetores poderão ou não ser coplanares e são coplanares e não são coplanares UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU FURB CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Professora Simone Leal Schwertl 5 33 Norma de um vetor módulo ou comprimento Norma é o comprimento do vetor v Indicação v ou v lêse norma de v No plano 2 2 y x v No espaço 2 2 2 z y x v Exemplo Determinar a norma ou comprimento dos vetores v140 ou u25 Graficar 34Vetor Unitário ou Versor É um vetor cuja norma vale 1 1 1 u ou u Exemplos determinar o módulo dos vetores i unitário de coordenadas 1 0 0 j unitário de coordenadas 0 1 0 k unitário de coordenadas 0 0 1 35 Adição de Vetores Dados os vetores u x1 y1 e v x2 y2 Definimos 2 1 2 1 y y x x v u o mesmo vale para vetores no espaço Exemplo determinar a soma dos vetores u123 e v145 4 Multiplicação de um número real escalar por um vetor Dados os vetores u x1 y1 e r um escalar r Definimos rx1ry1 r u o mesmo vale para vetores no espaço Obs Se r0 o novo vetor possui a mesma direção de v e tem como comprimento r vezes o comprimento de v Se r0 o novo vetor será o oposto do vetor rv Se r0 o novo vetor é o vetor nulo UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU FURB CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Professora Simone Leal Schwertl 6 Exemplo Seja u25 determinar 2u u e 05u 5 Igualdade em operações no R3 IGUALDADE Dois vetores 1 1 1 y z x u e 2 2 2 z y x v são iguais somente se e somente se i Possuem a mesma direção ii o mesmo sentido iii 2 1 x x 2 1 y y e 2 1 z z o mesmo vale para vetores no plano 6 Produto entre Vetores interno ou escalar a resposta é um número externo ou vetorial a resposta é um vetor misto a resposta é um número 61 Produto interno ou escalar entre 2 vetores Na física o produto escalar é utilizado para descrever grandezas físicas tais como trabalho mecânico energia potencial gravitacional potencial elétrico potencia elétrica e densidade de energia eletromagnética Cálculo Em R2 Dados dois vetores não nulos a x1y1 e b x2y2 o produto interno é definido por Em R3 Dados dois vetores não nulos a x1y1z1 e b x2y2z2 o produto interno é definido por Obs o resultado do produto interno ou escalar entre dois vetores será sempre um número real Exemplo determinar o produto interno dos vetores A u231 e v244 B u12 e v43 62 Produto Vetorial ou Produto Externo Dados dois vetores não nulos a x1y1z1 e b x2y2z2 o produto vetorial é definido por axb Cálculo 2 1 2 1 y y x x a b 2 1 2 1 2 1 z z y y x x a b UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU FURB CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Professora Simone Leal Schwertl 7 2 2 2 1 1 1 z y x z y x k j i axb vetor ortogonal aos vetores dados Obs A resposta do produto vetorial é um vetor ortogonal aos vetores dados Atenção só é calculado para vetores no espaço Exemplo determinar o produto interno dos vetores u340 e v150 Graficar 63 Produto Misto Dados 3 vetores não nulos a x1y1z1 b x2y2z2 e c x3y3z3 o produto misto é definido por bxc a ou a b c Cálculo 3 3 3 2 2 2 1 1 1 z y x z y x y y x a b c número Obs1 A resposta do produto misto é um número Atenção só é calculado para vetores no espaço Obs2 Quando o produto misto é igual a zero os vetores são coplanares ou seja estão no mesmo plano Exemplo determinar o produto MISTO dos vetores u340 v150 e w124 75 Ângulo entre dois vetores v e u onde x é o ângulo formado entre u e v Exemplo Determine o ângulo entre u 1 3 e v 2 4 Graficar UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU FURB CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Professora Simone Leal Schwertl 8 v u u v x cos IMPORTANTE podemos escrever uv u v cosx logo o produto interno uv será zero apenas quando cosx for zero e isso acontecerá quando x 90o pois x deve estar entre 0o e 180o Assim quando o produto interno uv é nulo dizemos que os vetores são ortogonais ou seja o ângulo entre eles é 90o Exemplo calcular ij 100010