Exercícios Resolvidos - Dimensionamento de Vigas de Madeira - Engenharia Civil

UNIJUÍ UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL ESTRUTURAS DE MADEIRA Unidade 5 Dimensionamento de Peças Fletidas Vigas de Madeira Exercícios Prof MSc Paulo Cesar Rodrigues 1 Verificar a segurança quanto aos estados limites últimos e de utilização para situação normal de projeto de uma terça de telhado em castanheira em ambiente de classe 3 de umidade e madeira serrada A terça está submetida a uma carga de vento perpendicular ao plano do telhado v 095 kNm e uma carga permanente vertical g 125 kNm de grande variabilidade a Valores característicos das resistências de cálculo das propriedades da madeira As propriedades físicas de resistência e rigidez da madeira castanheira D30 foram adotadas de acordo com a NBR 7190 D30 30 5 12 000 625 NOTA 1 Os valores desta Tabela foram obtidos de acordo com a ABNT NBR 71903 NOTA 2 Valores referentes ao teor de umidade igual a 12 NOTA 3 Os valores das classes de resistência para espécies nativas estão disponíveis na ABNT NBR 719032022 Tabela A1 b Cargas na viga Carga permanente vertical g 125 kNm Carga do vento no plano y v 095 kNm c Cálculo dos esforços solicitantes Para as referidas cargas citadas temse a seguinte combinação mais crítica Combinação carga permanente g carga variável v γg 14 e γq 14 Os valores das solicitações de cálculo esforços de cálculo momento fletor e esforço cortante em cada um dos planos principais de inércia x e y para a verificação dos estados limites últimos e de serviço na terça utilizamos neste caso o caso de combinações últimas normais dado pela equação Cálculo dos momentos fletores e esforços cortantes solicitantes máximos atuantes no plano vertical e o vento na direção principal do eixo y g 125 kNm Mgk g L² 8 125 34² 8 180625 kNm 18063 kNcm Vgk q L 2 125 34 2 2125 kN vy 095 kNm M xvk vy L² 8 095 34² 8 137275 kNm Mxvk 13728 kNcm V yvk vy L 2 095 34 2 1615 kN Cálculo dos momentos fletores e esforços cortantes máximos atuantes de cálculo segundo a direção dos eixos principais x e y planos da seção da terça Mxd γg Mgk cos 18 γq 075 M vxk Mxd 14 18063 cos 18 14 075 13728 38465 kNcm Vyd γg Vgk cos 18 γq 075 V yvk Vyd 14 2125 cos 18 14 075 1615 4525 kN Myd γg Mgk sen 18 Myd 14 18063 sen 18 7814 kNcm Vxd γg Vgk sen 18 Vxd 14 2125 sen 18 0919 kN d Valores de cálculo das resistência da madeira Combinação considerando carregamento de duração instantânea para o vento e classe de umidade 3 kmod kmod1 kmod2 11 08 088 Valores das resistência de cálculo são fcod 088 30 14 1886 MPa 1886 kNcm² fd kmod fk γw ftod fcod 377 kNcm² fvod 088 5 18 244 MPa 0244 kNcm² e Verificação dos estados limites últimos para flexão oblíqua simples Tensões em relação ao plano principal eixo x Ix b h³ 12 8 18³ 12 3888 cm⁴ Wx Ix yc 3888 9 432 cm³ σMxd Mxd Wx 38465 432 0890 kNcm² Tensões em relação ao plano principal eixo y Iy h b³ 12 18 8³ 12 768 cm⁴ Wy Iy xc 768 4 192 cm³ σMyd Myd Wy 7814 192 0407 kNcm² Verificação das tensões normais fbd fcod 1886 kNcm² σMxd fcod kM σMyd fcod 1 0890 1886 07 0407 1886 1 0623 1 ok kM σMxd fcod σMyd fcod 1 07 0890 1886 0407 1886 1 0546 1 ok f Verificação das tensões tangenciais para flexão oblíqua simples τyd 32 Vyd bh fvod τyd 32 4525 8 18 0047 kNcm² fvod 0244 kNcm² ok τxd 32 Vxd bh fvod τxd 32 0919 8 18 00096 kNcm² fvod 0244 kNcm² ok g Verificação dos estados limites de utilização Verificação dos deslocamentos Será admitida a atuação apenas da ação permanente com seu valor característico g 125 kNm para a combinação Como o material da cobertura não é frágil a deformação da terça não afeta a sua integridade portanto a ação variável do vento não será considerada no cálculo da flecha por ser de curta duração A verificação será feita em cada plano de flexão separadamente Verificação da flecha instantânea no plano y gy 1189 kNm 001189 kNcm δinsty 5gyl⁴ 384EcomIx 5001189340⁴ 38412003888 0443 cm δliminsty L300 340300 1133 cm Verificação da flecha instantânea no plano x gx 0389 kNm 000389 kNcm δinstx 5gxl⁴ 384EcomIy 5000389340⁴ 3841200768 0734 cm δliminstx L300 340300 1133 cm Cálculo das flechas finais considerando o efeito da fluência madeira serrada e classe de umidade 3 logo ϕ 08 em cada plano de flexão δfinaly δinsty 1ϕ 0443 108 07974 080 cm δlimfinaly L150 340150 227 cm δfinalx δinstx 1ϕ 0734 108 13212 132 cm δlimfinaly L150 340150 227 cm Conclusão A conclusão da análise é que a seção transversal 8 cm x 18 cm para a terça atende as condições de segunda de acordo com a NBR71902022 2 Uma viga biarticulada de 6 cm de largura está submetida a um carregamento permanente distribuído vertical de 065 kNm e uma carga concentrada permanente vertical de 13 kN no ponto médio do vão de 42 m Calcular a altura necessária da viga considerando madeira conífera de classe C30 em ambiente de classe 2 de umidade e madeira serrada e ações permanentes de pequena variabilidade P 13 kN p 065 kNm 420 m y h x b 6 cm 3 Dimensionar uma terça de telhado submetida a uma carga permanente vertical de 125 KNm e uma carga acidental vertical de 12 kN concentrada no ponto médio do vão de 305 m duração acumulada menor que uma semana para a força concentrada Considerar uma inclinação do telhado de 20º e madeira da classe C 60 Adotar ambiente de classe 4 de umidade madeira serrada e ações permanentes de pequena variabilidade b 8 cm e h 15 cm 12 kN 125 kNm y x 305 m 15 cm 8 cm 20º Valores característicos em função da classe segundo a NBR71902022 na condição padrão de referência teor de umidade 12 são fcok 50 MPa fvk 7 MPa Ecom 16500 MPa e ρap 850 kgm³ Valores de cálculo utilizamos as seguintes expressões kmod kmod1 kmod2 fd kmod fk γw Valores de ponderação das resistências compressão paralela às fibras γwc 14 cisalhamento paralelo às fibras γwv 18 4 Verificar a segurança da viga de madeira serrada de 7 cm x 15 cm quanto aos estados limites últimos e de utilização para situação normal de projeto A viga é em angelim pedra que será inserida em local com classe de umidade 2 Ela está submetida a uma ação permanente vertical g 052 kNm de grande variabilidade devida ao pelo peso próprio do piso e uma ação acidental vertical q 107 kN decorrente da sobrecarga acidental concentrada de edificações de uso residencial com elevada concentração de pessoas g q 1975 m 1975 m b Cargas na viga Carga permanente vertical g 052 kNm Carga acidental vertical q 107 kN q 107 kN g 052 kNm 395 m Combinação Carga permanente g combinada com a carga variável q Mxd γg Mxgk γq Mxqk Vxd γg Vxgk γq Vxqk Fd i1m γgi Fgik γQ FQ1k γQ j2n χQj FQjk a Propriedades mecânica da madeira As propriedades físicas de resistência e rigidez da madeira considerando madeira de classe D50 Tabela 2 Classes de resistência de espécies de florestas nativas definidas em ensaios de corpos Classes fc0k MPa fv0k MPa Ec0med MPa Densidade a 12 kgm³ D20 20 4 10 000 500 D30 30 5 12 000 625 D40 40 6 14 500 750 D50 50 7 16 500 850 D60 60 8 19 500 1 000 NOTA 1 Os valores desta Tabela foram obtidos de acordo com a ABNT NBR 71903 NOTA 2 Valores referentes ao teor de umidade igual a 12 NOTA 3 Os valores das classes de resistência para espécies nativas estão disponíveis na ABNT NBR 719032022 Tabela A1 c Cálculo dos esforços solicitantes Momento fletor e esforço cortante máximos atuantes na viga na direção x devido à carga permanente g 052 kNm Mxgk g l²8 052 395²8 10142 kNm 10142 kNcm Vxgk g l2 052 3952 1027 kN Momento fletor e esforço cortante máximos atuantes na viga na direção x devido à carga acidental q 107 kN Mxqk q l4 107 3954 10566 kNm 10566 kNcm Vxqk q2 1072 0535 kN Mxd γg Mxgk γq Mxqk Vxd γg Vxgk γq Vxqk Mxd 14 Mxgk 14 Mxqk 14 10142 14 10566 Mxd 28991 kNcm Vxd 14 Vxgk 14 Vxqk 14 1027 14 0535 Vxd 21868 kN Mxd 28991 kNcm Vxd 21868 kN A partir dos esforços solicitantes de cálculo determinados podese verificar os estados limites últimos e de utilização Verificação das tensões normais Verificação das tensões tangenciais Verificação da estabilidade lateral Verificação dos deslocamentos g Verificação da estabilidade lateral 1ª Condições de apoio A condição mínima para que a viga tenha estabilidade referese a existência de elementos nas extremidades apoios da viga que impeçam sua rotação ao longo do eixo longitudinal evitandose assim o seu tombamento Distância entre dois pontos de contraventamento hb 157 214 Interpolando βM 929 L1b EcoefβM fbd 3957 10395929 225 L1b 5643 EcoefβM fcod 4973 não satisfaz Copyright 2025 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2530 13 L1 Ecoef βM fbd Como L1b EcoefβM fbd deve ser satisfeita a condição σcd Ecoef L1b βM Ix b h³12 7 15³12 196875 cm⁴ σcd Ecoef L1b βM σcd σMxd MxdWx 289912625 1104 kNcm² σcd 1104 Ecoef L1b βM 10395 3957 929 1983 satisfaz Copyright 2025 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2630 14 h Verificação dos deslocamentos flechas Os deslocamentos verticais flechas efetivas no meio do vão da viga é calculado no plano principal de flexão plano y usando para as cargas a combinação de longa duração a seguinte expressão δfin Σ δinstGik δfinQ1k Σ α ψ δinstQjk δlimfinal L150 Cargas na viga carga permanente distribuída g 052 kNm 00052 kNcm combinada com a carga acidental concentrada q 107 kN Como a ação variável q 107 kN decorrente da carga variável de edificações de uso residencial ψ2 04 isto é decorrente da sobrecarga acidental concentrada de edificações de uso residencial com elevada concentração de pessoas Copyright 2025 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2730 Verificação da flecha instantânea no plano y g 052 kNm G 00052 kNcm e q 107 kN Q1 δinst Σ δinstGik δinstQ1k Σ ψ δinstQjk δliminst L300 δinstGk 5 g l⁴384 Ecom Ix 5 00052 395⁴ 384 1650 196875 0507 cm δinstQ1k q l³ 48 Ecom Ix 107 395³ 48 1650 196875 0423 cm δinst Σ δinstGik δinstQ1k 0507 0423 093 cm δliminst L300 395300 1317 cm Cálculo das flechas finais considerando o efeito da fluência madeira serrada e classe de umidade 2 φ 08 e ψ2 04 δfinGk δinstGk 1 φ 0507 1 08 09126 cm δfinQ1k δinstQ1k 1 ψ2 φ 0423 1 04 08 05584 cm Copyright 2025 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2830 O deslocamento final total δfin Σ δinstGik δfinQ1k Σ α ψ δinstQjk δlimfinal L150 δfin 09126 05584 1471 cm δlimfinal L150 395150 263 cm ok A conclusão da análise é que a seção transversal 7 cm x 15 cm para a viga atende as condições de segunda de acordo com a NBR71902022 Copyright 2025 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2930 5 Verificar a segurança de uma viga de telhado com dimensões 7 x 17 cm e vão de 312 m em madeira serrada casca grossa em ambiente de classe 3 de umidade e carregamento de longa duração Submetida a uma carga de peso próprio g 068 kNm e uma carga acidental de q 102 kNm Carga acidental de edifícios não existe equipamentos fixados na estrutura e ações permanentes de pequena variabilidade Copyright 2025 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3030 d Valores de cálculo das resistência da madeira Valores de cálculo utilizamos as seguintes expressões kmod kmod1 kmod2 e fd kmod fk γw Coeficiente de modificação para a viga temos classe de carregamento de longa duração classe de umidade 2 e madeira serrada kmod 07 09 063 fcod kmod fcok γwc 063 50 14 225 MPa 225 kNcm² fcod ftod 225 kNcm² fvod kmod fvok γwv 063 7 18 245 MPa 0245 kNcm² Ecoef Kmod Ecom 063 16500 10395 MPa 10395 kNcm² e Verificação das tensões normais para flexão simples reta Ix b h³ 12 7 15³ 12 196875 cm⁴ Wx Ix yc 196875 75 2625 cm³ σMxd Mxd Wx fbd σMxd Mxd Wx 28991 2625 1104 kNcm² fcod 225 kNcm² ok h15 cm b7 cm f Verificação das tensões tangenciais na flexão simples reta τd 32 Vxd b h fvod τd 32 21868 7 15 003124 kNcm² fvod 0245 kNcm² oK