Análise de Quadros Planos Isostáticos em Estruturas.

Universidade Salgado de Oliveira Curso de Engenharia Civil Disciplina Análise das Estruturas Prof MScEngº Alexandre Calheiros Niterói RJ 2022 Módulo V Quadros Planos Pórticos são estruturas formadas por barras que formam quadros entre si Quadros Planos Isostáticos 2 Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos que associados entre si da mesma forma com que associamos vigas simples para formar vigas compostas GERBER formam os chamados quadros compostos Quadros Planos Isostáticos 3 CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES O estudo de suas reações externas já foi realizado anteriormente portanto será abordado o estudo dos diagramas solicitantes Em estruturas lineares horizontais vigas foi adotada uma convenção para as solicitações baseados nos conceitos de abaixo e acima da barra em estudo No estudo dos pórticos utilizase a mesma convenção adotada para as barras horizontais onde definimos os lados externos e internos das barras que constituem a estrutura vista a existência de barras verticais horizontais e inclinadas Quadros Planos Isostáticos 4 CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES Identificamse os lados internos das barras com a parte inferior de uma estrutura linear horizontal ficando desta forma possível utilizarse as convenções já adotadas Costumase tracejar o lado interno das barras bem como a parte inferior das vigas identificandose facilmente as convenções Quadros Planos Isostáticos 5 CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES O cálculo das solicitações assim como em vigas pode ser realizado pelo método das equações ou pelo método direto ressaltandose que o eixo longitudinal x de cada barra continua sendo o eixo que passa pelo centro de gravidade das seções transversais e os eixos y e z perpendiculares à este e contidos pela seção de corte eixos principais centrais de inércia Quadros Planos Isostáticos 6 CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES O método das equações torna o estudo dos pórticos muito demorado pois além de cortarmos a estrutura por uma seção antes e outra depois dos pontos de transição já definidos quando há mudança de direção de barra também deve ser interrompida a equação pois uma carga que produz esforço normal em uma barra vertical produz esforço cortante na barra horizontal perpendicular e ela e viceversa Quadros Planos Isostáticos 7 CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES Podese encarar esta mudança de direção como um novo ponto de transição examinando seções antes e depois dele No pórtico acima por exemplo existem seis seções a serem analisadas Devese salientar o fato de que ao ser considerada a seção de uma barra qualquer de um pórtico devem ser consideradas todas as cargas externas aplicadas à direita ou à esquerda da seção inclusive as cargas que atuam em outras barras que não a em estudo Quadros Planos Isostáticos 8 CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES Estamos diante de um problema novo que faremos recair em problemas já conhecidos resolução de vigas biapoiadas da seguinte maneira Rompendo o quadro em seus nós intermediários B e C podemos destacar umas das outras as barras que o constituem desde que apliquemos nesses nós em cada uma das barras os esforços simples neles atuantes que manterão o equilíbrio de cada barra AB BC e CD A B C D B C A D P1 P2 B VA HA HB VB HC VC VD VB VC HB HC MB MC MB MC C q Quadros Planos Isostáticos 9 CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES Analisando agora cada uma das barras concluímos que HB VB e VC são forças que equilibram as demais cargas atuantes na barra BC biapoioada A mesma conclusão chegaríamos para as barras AB e CD O quadro então recai no estudo das três vigas biapoiadas AB BC e CD da figura acima B C A D P1 P2 B VB VD HB HC MB MC MB MC B C A D P1 P2 B VA HA HB VB HC VC VD VB VC HB HC MB MC MB MC C q C q Exemplo 1 Quadro Biapoiado 10 20t 1 Cálculo das reações de apoio V0 VA 20t MB0 20x5 2x2 20x8 16 4 HA 0 HA 10t H0 HA 4 2 HB 0 HB 12t 5m Conhecidas as reações de apoio passemos a traçar os diagramas solicitantes Nó D Para a barra AD MDbarraAD 10x8 4x4 96mt tracionando as fibras da esquerda Para a barra CD MDbarraCD 2x22 2 4mt tracionando as fibras superiores Para a barra DE MDbarraDE 10x8 4x4 2x22 2 100mt tracionando as fibras superiores tomandose as forças atuantes à esquerda da seção Exemplo 1 Quadro Biapoiado 11 1 20t Outro modo de obter o MDbarraDE Rompendo todas as barras quem concorrem no nó D e aplicando os momentos fletores nelas atuantes eles têm que estar em equilíbrio pois a estrutura o está Temos então 5m Nó E Para a barra EF MEbarraEF 16mt tracionando as fibras da direita Para a barra BE MEbarraBE 12x4 2x2 52mt tracionando as fibras da direita Para a barra DE MEbarraDE 36mt tracionando as fibras superiores aplicandose as condições de equilíbrio da barra D 4mt 96mt 96 4 100mt E 16mt 52 16 36mt 52mt Exemplo 1 Quadro Biapoiado 12 Marcando os valores obtidos para os nós temos definidas as linhas de fechamento a partir das quais penduramos os diagramas de viga biapoioada obtendo então o diagrama final 100 96 52 16 36 4 ql²8 1 ql²8 16 2x4 8 1x2 2 A B C D E F MEbarraEF 16mt MEbarraBE 52mt MDbarraDE 100mt MDbarraAD 96mt MDbarraCD 4mt MEbarraDE 36mt Nó D Nó E DMF Exemplo 1 Quadro Biapoiado 13 A obtenção dos diagramas de esforços cortantes e de esforços normais é imediata a partir do carregamento e das reações de apoio indicados na figura abaixo A B C D E F A B C D E F 16t DEC DEN 16 4 14 10 14 12 14 20 Exemplo 1 Quadro Biapoiado 14 Observações 1 Os DMF nas barras verticais poderiam também ser obtidos calculando seus valores nas seções de aplicação das cargas concentradas 4t para a barra AD e 2t para a barra BE ligandoos a zero nos apoios e aos valores obtidos nos nós 96 mt para o nó D e 52 mt para o nó E 2 Para o DEC obedecemos às mesmas convenções de sinais adotadas no caso das vigas 3 A área do DEC vale SQ 10 x 4 14 x 4 4 16 x 4 14 x 2 12 x 2 16 mt valor da carga momento aplicada sentido antihorário 4 No traçado do DEN é indiferente o lado para o qual marcamos os valores interessando apenas o sinal positivo se é de tração e negativo no caso de compressão 5 A fim de evitar confusão com as linhas que definem o eixo do quadro e com linhas auxiliares usadas para o traçado dos diagramas podese hachurar se julgado útil para maior clareza a área compreendida entre o diagrama final e o eixo do quadro 6 Notar no DMF os pontos angulosos nos pontos de aplicação e nos sentidos das cargas concentradas aplicadas inclusive as reações de apoio Exemplo 2 Quadro Engastado e Livre 15 2 4t 1 Cálculo das reações de apoio X0 HA 1t Y0 VA 3 1 4 8t MA0 MA 3 x 2 1 x 2 1 x 1 4 x 2 MA 1mt Exemplo 2 Quadro Engastado e Livre 16 Os diagramas solicitantes são os indicados abaixo DMF mt DEC t DEN t Observações 1 Não indicamos cálculo auxiliar algum pois todos os valores necessários ao traçado dos diagramas podem ser obtidos de cabeça no caso 2 A área do DEC vale no caso 1mt valor da reaçãomomento no engaste sentido antihorário Exemplo 3 Quadro Triarticulado 17 1 Cálculo das reações de apoio MB0 8VA 2 x 6 8 x 1 x 4 4 x 2 2 x 2 VA 6t Y0 VB 2 2 4 8 x 1 VA 10t MGesq0 6 x 4 6 6HA 2 x 2 4 x 1 x 2 0 HA 3t X0 HA HB 0 HB HA 3t 3 Passemos à obtenção do DMF Nó C MC 3 x 3 9 mt tracionando as fibras externas Nó G MGesq MGdir 6mt valor das cargasmomento aplicadas tracionando as fibras externas observação Em G temos evidentemente MG 0 o diagrama sofre descontinuidades de 6mt à esquerda e a direita Exemplo 3 Quadro Triarticulado 18 3 Nó F MFbarra FH 2 x 2 4mt tracionando as fibras externas MFbarra EF 3 x 6 4 x 2 10mt tracionando as fibras externas MFbarra GF 14mt tracionando as fibras externas obtido pelo equilíbrio do nó F 14mt 10mt 4 mt Nó E MEbarra DE 2 x 4 8mt tracionando as fibras superiores MEbarra BE 3 x 3 9mt tracionando as fibras externas MEbarra EF 1mt tracionando as fibras externas obtido pelo equilíbrio do nó E 1mt 8mt 9 mt Exemplo 3 Quadro Triarticulado 19 3 Marcando os valores obtidos para os nós temos definidas as linhas de fechamento a partir das quais penduramos os diagramas de viga biapoiada obtendo então o DMF QCbarra CG 6 cos α 3 sen α 6 x 08 3 x 06 3t NCbarra CG 6 sen α 3 cos α 6t QJesq 4 cos α 3 sen α 14t QJdir 14 2 cos α 02t NJesq 4 sen α 3 cos α 48t NJdir 48 2 sen α 36t QGbarra CG 3 sen α 18t NGbarra CG 3 cos α 24t As cotas básicas para o traçado dos DEC e DEN podem ser obtidos de cabeça a não ser no trecho inclinado CG onde valem Exemplo 3 Quadro Triarticulado 20 3 DMF DEC DEN Exemplo 4 Quadro Composto 21 4 Traçar os diagramas solicitantes para o quadro composto abaixo A decomposição a ordem de resolução as forças de transmissão e as reações de apoio são as indicadas abaixo Exemplo 4 Quadro Composto 22 As reações de apoio e as forças de transmissão para o quadro 1 foram obtidas por superposição de efeitos carga distribuída e carga concentrada conforme indicado na figura acima Para o quadro 2 é mais prático obter as reações de apoio empregando diretamente as equações de equilíbrio devido a maior quantidade de carregamentos atuantes e temos Por MG 0 8 VD 3x4 325 x 8 2x3 8 x 1 x 4 0 VD 65 t 4 8 5 8 2 2 4 4 Por MC Esq 0 HD 0 Por Y 0 VG 325 2 8 x 1 65 VG 675 t Por X 0 HG 3 t Exemplo 4 Quadro Composto 23 Podemos passar então imediatamente ao traçado dos diagramas solicitantes DMF DEC DEN Obter os diagramas solicitantes para os quadros que seguem Exercícios 24 Cálculo das reações de apoio H0 HB 30 20 0 HB 10 kN V0 VA VB 30 40 0 VA VB 70 kN MA0 30x110x0530x1530x320x5 3x VB 0 30 5 45 90 100 3xVB 0 135 135 3xVB 0 VB 0 VA 70 kN 10kNm VB VA HB 1 95 50 ql²8 1125 ql²8 125 35 60 50 DMF DEC DEN 30 40 30 30 10 70 30 30 Exercícios 25 Cálculo das reações de apoio H0 HB 10 16 0 HB 6 kN V0 VA VB 12 30 20 10 0 VA VB 72 kN VA VB HB α α 20cosα 20x35 12 20senα 20x45 16 MA0 16 x 2 12 x 15 30 x 45 20 x 6 10 x 9 10 x 2 8VB 0 32 18 135 120 90 20 8VB 0 8VB 375 VB 375 8 VB 4687 kN VA 2513 kN 2 C D E F H G 2 Exercícios 26 VA 2513 kN VB 4687 kN HB 6 kN α α 20cosα 20x35 12 20senα 20x45 16 C D E F H G DMF DEC DEN α 151 kN 3775 255 30 kN 255 198 44 12 10 54 3375 6 16 10 3687 1687 1313 13m 20 10 16 4687 Exercícios 27 Cálculo das reações de apoio H0 HÁ 2 x 45 2 HB 45 kN V0 VA 1 x 8 0 VA 8 kN MA0 MA 45 x 15 3 x 15 5 x 25 0 MA 675 45 125 1475 kNm MA 1475 kNm 3 VA HA MA A B C D 5kN 3kN 45kN 1475 8 45 125 45 3 5 8 DMF DEC DEN Exercícios 28 1 Cálculo das reações de apoio H0 HA 2 0 HA 2 kN V0 VA VD 4 MA 0 2 x 4 4 x 3 VD x 6 0 8 12 6 VD 0 VD 20 6 VD 333 kN VA 4 333 VA 067 kN 4 VA 067 kN HA 2 kN A B C 8 2 067 067 DMF DEC DEN D VD 333 kN E 10 8 333 333 2 Diagramas solicitantes Exercícios 29 1 Cálculo das reações de apoio H0 HA 3 0 HA 3 kN V0 VA 0 MA 0 MA 4 3 x 15 0 MA 4 45 85 kNm 5 VA 0 HA A B C 3 DMF DEC DEN D 85 3 2 Diagramas solicitantes MA 3 kN 45 45 Exercícios 30 1 Cálculo das reações de apoio H0 HA 3 0 HA 3 kN V0 VA VD 2 x 6 0 VA VD 12 MA 0 6 12 x 3 3 x 4 6 VD 0 6 36 12 6 VD 0 VD 3 kN VA 12 3 9 kN 6 A B C 3 DMF DEC DEN D 24 3 2 Diagramas solicitantes 3 3 2m 4m 2m 6m 2kNm 6kNm 3kN E F G HA 3kN VA 9kN VD 3kN 12 kN 6 24 18 12 3 9 3 9 3 ql²8 Fim do Módulo V