Análise do Grau Hiperestático em Estruturas

Universidade Salgado de Oliveira Curso de Engenharia Civil Disciplina Análise das Estruturas Prof MScEngº Alexandre Calheiros Niterói RJ 2022 Módulo III Hiperestática Grau hiperestático O Método das Forças Hiperestaticidade Externa Hiperestática 2 Seja a estrutura da figura abaixo que possui 5 reações de apoio a determinar Para tal dispomos no caso das três equações universais da Estática no plano e de mais uma momento fletor nulo em B Temos portanto cinco incógnitas e quatro equações para determinálas Existe então deficiência de uma equação para resolver o problema do cálculo das reações de apoio Esta deficiência é chamada grau hiperestático externo da estrutura ge que é igual ao número de equações suplementares necessárias ao cálculo das reações de apoio da estrutura A B C D HA HD VD VA MA gext 5 4 1 Hiperestaticidade Externa Hiperestática 3 O grau hiperestático externo da estrutura ge é igual ao número de reações que excede ao número de equações da estática Nº de equações 3 nº de rótulas A B C D HA HD VD VA MA gext 5 3 1 1 Hiperestaticidade Interna Hiperestática 4 Seja agora a estrutura da abaixo cujas reações de apoio são de imediata obtenção a partir das equações universais da Estática Isto não significa entretanto que a estrutura esteja resolvida pois que o simples conhecimento das reações de apoio não nos habilita a traçar seus diagramas solicitantes pelo fato de ser uma estrutura fechada e não sabermos quais são as forças da esquerda e quais as da direita Seria necessário abrir a estrutura isto é romperlhe uma seção para tal necessitaríamos conhecer os esforços simples atuantes nesta seção para podermos aplicálos após rompêla na estrutura assim obtida preservando desta forma a igualdade estática da nova estrutura aberta com a primitiva HD VD VA A B C D S Hiperestaticidade Interna Hiperestática 5 Para a determinação desses esforços não possuímos equações suplementares da Estática e sendo assim a estrutura em questão tem um grau hiperestático interno gi igual a 3 HD VD VA Portanto grau hiperestático interno de uma estrutura é o número de esforços simples NES cujo conhecimento nos possibilita traçar os diagramas solicitantes para a estrutura conhecidas suas reações de apoio A B C D NES 3 g gi 3 Hiperestática 6 Evidentemente como resolver uma estrutura é conhecer suas reações de apoio e seus esforços simples o grau hiperestático total de uma estrutura g é a soma de seus graus hiperestáticos externo ge e interno gi Hiperestaticidade Total g ge gi Hiperestática 7 APLICAÇÕES Obter o grau hiperestático g das estruturas a seguir g gext 7 3 4 1 2 3 4 5 g gext 7 3 2 2 g gint 6 g gext gint 4 g gext gint 2 3 5 3 barras 2 rótulas g 6 32 3 4 g 6 31 3 5 3 barras 2 rótulas Hiperestática 8 MÉTODO DAS FORÇAS Também chamado método dos esforços e método da flexibilidade Estas duas outras denominações são até mais próprias dentro do espírito do método Mas optamos pela denominação método das forças por tradição histórica As bases do método Seja a estrutura abaixo três vezes hiperestática que desejamos resolver A B C D Hiperestática 9 MÉTODO DAS FORÇAS Nenhuma alteração do ponto de vista estático ocorrerá se encararmos a estrutura sob a forma indicada abaixo A B C D X3 X2 X1 Na passagem de uma figura para a outra rompemos uma quantidade de vínculos tal no caso 3 que transformasse a estrutura dada numa estrutura isostática à qual chamamos SISTEMA PRINCIPAL Hiperestática 10 MÉTODO DAS FORÇAS Para preservar a compatibilidade estática introduzimos os esforços no caso X1 X2 X3 existentes nos vínculos rompidos que continuam sendo as incógnitas do problema e cuja determinação implicará na resolução da estrutura Por esta razão chamamos a esses esforços de hiperestáticos A B C D X3 X2 X1 Sistema Principal Hiperestática 11 MÉTODO DAS FORÇAS Compatibilidade de deformações Para cada vínculo rompido na passagem da estrutura para o sistema principal liberamos uma deformação que não existe de modo que devemos impor à estrutura do sistema principal a condição de serem nulos os deslocamentos nas direções dos hiperestáticos No caso devemos ter rotação em A rotação e deslocamento horizontal de B iguais a zero A B C D X3 X2 X1 Sistema Principal Hiperestática 12 MÉTODO DAS FORÇAS Compatibilidade de deformações Com isso para cada incógnita Xi do SP temos uma equação dizendo que o deslocamento na direção de Xi é nulo Podemos afirmar que a resolução de uma estrutura n vezes hiperestática recairá na resolução de um sistema n x n em que cada equação exprimirá a condição de ser nulo o deslocamento na direção de cada um dos hiperestáticos A B C D X3 X2 X1 Sistema Principal Hiperestática 13 MÉTODO DAS FORÇAS Compatibilidade de deformações Assim devemos ter indexando as deformações com dois índices o primeiro do qual se refere ao local e o segundo à causa da deformação O carregamento externo será simbolizado por O Rotação em A 0 δ10 δ11X1 δ12X2 δ13X3 0 Rotação em B 0 δ20 δ21X1 δ22X2 δ23X3 0 Deslocamento horizontal em B 0 δ30 δ31X1 δ32X2 δ33X3 0 SISTEMA DE EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE ELÁSTICA DO SISTEMA PRINCIPAL COM A ESTRUTURA HIPERESTÁTICA Hiperestática 14 ROTEIRO PARA APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS FORÇAS 1 Escolha do Sistema Principal SP 2 Efeitos no SP M0 M1 M2 Mi Mn 3 Cálculo dos deslocamentos δij 4 Formulação do sistema de equações de compatibilidade elástica e obtenção dos hiperestáticos 5 Efeitos finais Ef E0 E1X1E2X2EiXiEmXn Hiperestática 15 EXERCÍCIOS 1 Traçar o DMF para a estrutura hiperestática abaixo 40m 80m D A C B J J J 2tm Hiperestática 16 1 Escolha do Sistema Principal SP J J J X1 l4 l4 l8 Hiperestática 17 2 Efeitos no SP X1 1 2tm M0 M1 14 0 0 14 0 8t 8t 0 40m 80m 1 1 16 Tabela de cálculo da integral para diagramas de momento fletor MB M MA MA MB Mm MB MA MB MA M αl βl αl βl M parábola 2ºgrau parábola 2ºgrau parábola 2ºgrau parábola 2ºgrau parábola 2ºgrau parábola 2ºgrau parábola 2ºgrau parábola 2ºgrau Hiperestática 19 3 Cálculo dos deslocamentosδ 4 Equação de compatibilidade elástica Hiperestática 20 5 Efeitos finais DMF A C D B 8 tm 8 tm 8 tm 8 tm 8 tm ql²816 tm Hiperestática 21 2 Traçar o DMF e o DEC para a viga contínua abaixo 80m A B D C 4tm 40m 50m J constante Hiperestática 22 1 Escolha do Sistema Principal SP X1 X2 X1 X2 Como está havendo uma rotação relativa nos apoios aplicamos momentos para anulála ELÁSTICA Hiperestática 23 2 Efeitos no SP X11 X21 δ12 deformação na direção de 1 provocada pelo esforço 2 M0 M1 M2 1 4tm 1 4 x 52 8 125 4 x 82 8 32 4 x 42 8 8 125 32 8 Hiperestática 24 3 Cálculo dos deslocamentosδ 4 Equação de compatibilidade elástica Hiperestática 25 5 Efeitos Finais 1910 1765 DMF 125 32 8 4tm 4tm 4tm 1910 1765 Viga isost M l R Apoio 10 10 16 16 8 8 1915382 382 1458018 018 17654441 441 618 t 30 t 2823 t 359t Cálculo das Reações de Apoio Hiperestática 26 DEC 4tm 618 t 30 t 2823 t 359t 20 t 32 t 16 t A B D C 80m 40m 50m 618 t 1618 t 1382 t 1582 t 1241 t 359 t Hiperestática 27 3 Traçar o DMF para o quadro abaixo J constante 6m A B C D 6m 2m 5t SP X1 X2 X3 M0 M1 X11 M2 X21 M3 X31 2Efeitos no SP X11 16 16 10 1 16 16 1 1 X21 X31 1 1 1 6 1Escolha do SP Hiperestática 28 3 Cálculo dos deslocamentosδ 4 Equação de compatibilidade elástica Hiperestática 29 S4 DMF Cálculo dos momentos finais 5 Efeitos finais A B C D S3 S1 S2 S5 25 25 10 5 5 DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES Regra de Cramer a partir de um sistema com três equações e três incógnitas podemos obter algumas matrizes e determinantes Matriz de coeficientes associada ao sistema Conjunto solução envolve o cálculo do determinante da matriz de coeficientes associada ao sistema denotada por D Prof Alexandre Calheiros Niterói RJ Bônus Resolução de sistemas lineares Matriz aumentada associada ao sistema Dx é o determinante da matriz de coeficientes associada mas com a coluna dos coeficientes de x trocada pela coluna dos termos independentes O mesmo se faz para Dy e Dz os determinantes das matrizes de coeficientes associadas trocandose as colunas dos coeficientes de y e z respectivamente pela coluna dos termos independentes Resolução de sistemas DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES Prof Alexandre Calheiros Niterói RJ A regra de Cramer configurase na obtenção da solução de um sistema a partir de Bônus Resolução de sistemas lineares se D 0 o sistema é possível e indeterminado ou o sistema é impossível se D 0 o sistema é possível e determinado Discussão de um sistema linear DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES Prof Alexandre Calheiros Niterói RJ Bônus Resolução de sistemas lineares Fim do Módulo III