Vetor e Espaço R³: Fundamentos em Geometria Analítica

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Roberto Carlos Lourenço 2 BLOCO 1 VETORES Neste bloco abordaremos Vetores no R³ um conteúdo fundamental para as demais disciplinas dos cursos de Engenharia Iniciaremos nossos estudos a respeito desse tópico explorando sua definição seu ponto no espaço e os segmentos orientados equipolentes Em seguida analisaremos o vetor em coordenadas por meio da igualdade e adição de vetores do ponto médio do segmento e o módulo do vetor Por fim encerraremos o bloco com o produto de vetor por um escalar Apesar de esse tema parecer assustador recomendo que você tenha coragem e não se intimide pois após o término deste momento de aprendizagem eu garanto esse medo será superado Bons estudos 11 Definição de Vetores no R³ O ponto no R³ Neste primeiro momento estudaremos o ponto no R³ realizando a representação em três dimensões em outras palavras no espaço Dessa forma será necessário utilizar três coordenadas x y z trabalhando com três eixos coordenados das abscissas x das ordenadas y e das cotas z 3 Na figura consideramos os três eixos concorrentes no ponto O e perpendiculares dois a dois determinando o espaço R³ Temos o ponto P indicado pelas coordenadas P P P z y x Segmentos Orientados Equipolentes Definição Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando ambos possuem o mesmo módulo direção e sentido sendo indicado como AB CD Relação de equivalência I Reflexividade Todo segmento orientado do espaço é equipolente a si mesmo AB AB II Simetria Se o segmento orientado AB é equipolente à CD então CD é equipolente à AB se AB CD CD AB III Transitividade Se o segmento orientado AB é equipolente à CD e se CD é equipolente à EF então AB é equipolente à EF se EF AB EF CD e CD AB 4 Definição de Vetores no R³ Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes ou seja é um conjunto de segmentos orientados equipolentes Dessa forma um vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados no espaço que são equipolentes à AB Na figura temos os segmentos orientados AB CD e MN que são equipolentes isso acontece por que eles possuem mesmo comprimento direção e sentido assim representam o mesmo vetor vr 12 Vetor em Coordenadas Neste momento vamos compreender a representação do vetor no espaço estudando suas coordenadas no R³ Definição Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados que têm as mesmas coordenadas 5 O segmento orientado AB AB com origem em A e extremidade B tem as coordenadas Exemplo 1 Apresente as coordenadas do vetor indicado Assim podemos afirmar que qualquer um dos segmentos orientados anteriores representa o mesmo vetor Todos os vetores do espaço R³ são denotados por V³ onde R³ é o conjunto de todos os ternos ordenados de números reais e o conjunto V³ é o conjunto de todos os vetores do espaço R³ 6 Notação para coordenadas do vetor x y z B A BA u x y z A B AB v Igualdade de Vetores 1 1 1 v x y z 1 1 1 x y z v 2 2 2 z y u x 2 2 2 z y x u 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 z z y y x x z y x x y z u v 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 z z y y x x z y x x y z u v Dois vetores são iguais se possuem as mesmas coordenadas Exemplo 2 Qual é o par de vetores iguais 7 Adição de Vetores 1 1 1 y z v x 1 1 1 y z x v 2 2 2 z y u x 2 2 2 z y x u 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 z y z y x x y z x x y z u v 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 z y z y x x y z x x y z u v A adição entre dois vetores é realizada com a soma da coordenada x de um vetor com a x do outro da mesma forma y com y e z com z A adição entre dois vetores determina outro vetor Exemplo 3 Desenvolva 7 32 v 7 32 v 165 u 165 u u a v u a v 897 1 76 35 2 v u 897 1 76 35 2 v u u b v u b v 63 3 1 76 35 2 v u 63 3 1 76 35 2 v u 8 Ponto Médio Módulo do Vetor 13 Produto de Vetor por um Escalar Agora vamos entender como realizar o produto de vetor com um escalar sendo esse um número real Sejam o vetor v e um escalar β um número real qualquer tal que ³ R e V x y z v β Produto de vetor por um escalar z y x x y z v β β β β β 9 Dessa forma temos que o produto de vetor por um escalar é a multiplicação do escalar com cada coordenada do vetor indicado Exemplo 1 Dados β 4 e 732 v 732 v calcule β Exemplo 2 Dados β 3 351 u 351 u e 264 v 264 v calcule βu v Exemplo 3 Determine as coordenadas do vetor 10 Exemplo 4 Dados os vetores a seguir determine as coordenadas do vetor x Conclusão Neste bloco estudamos os Vetores no R³ sua definição seu Ponto no Espaço os Segmentos Orientados Equipolentes o Vetor em Coordenadas a Igualdade de Vetores a Adição de Vetores o Ponto Médio do Segmento o Módulo do Vetor e o Produto de Vetor por um Escalar Referências WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica São Paulo Pearson Makron Books 2000 LIPSCHUTZ S Álgebra Linear Problemas e exercícios etc São Paulo Pearson Makron Books 1994 REIS G L SILVA V V Geometria Analítica Rio de Janeiro LTC 2012 LAY D C LAY S R MCDONALD J J Álgebra Linear e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2018