Exercícios Resolvidos de Sistemas Dinâmicos e Transformada de Laplace

Questão 01 Enunciado Um sistema massamolaamortecedor foi modelado por um engenheiro e chegouse à seguinte equação diferencial Onde xt é o deslocamento da massa e ft a força aplicada ao sistema Supondo que as condições iniciais x00 e x00 encontre a Função de transferência XSFs aplicando a Transformada de Laplace b Identifique os polos e zeros da função de transferência c Supondo que um sinal do tipo degrau seja aplicado como entrada e usando o método da transformada inversa qual será a expressão da resposta do sistema xt d Calcule o valor de xt para t 3 segundos utilizando o Octave ou Matlab e Calcule o valor de xt quando t tende a infinito resposta em regime permanente QUESTÃO 02 ENUNCIADO Um sistema foi modelado e chegouse ao seguinte diagrama em blocos Com base nas informações acima faça o que se pede a Escreva a função de transferência YsUs utilizando da álgebra de blocos Realize a simplificação por etapas b Usando o Octave mostre passo a passo como chegar no mesmo resultado QUESTÃO 01 a Aplicando a transformada de Laplace com as condições iniciais nulas temse Ld²xtdt² 8 dxtdt 15xt L10 ft s² Xs s x0 x0 8 s Xs x0 15 Xs 10 Fs s² Xs 8 s Xs 15 Xs 10 Fs s² 8 s 15 Xs 10 Fs Xs Fs 10 s² 8s 15 b Os zeros são as raízes do numerador da função de transferência como no numerador há apenas uma constante não há zeros finitos Os polos são as raízes do denominador da função de transferência logo s² 8s 15 0 Δ 8² 4 1 15 Δ 4 s 8 2 2 s₁ 3 s₂ 5 Portanto os polos são 3 e 5 c Com o sinal do tipo degrau teremos Fs 1s Logo Xs 1s 10 s² 8s 15 Podemos simplificar a expressão acima com o conhecimento dos polos logo Xs 10 ss 3s 5 Decompondo em frações parciais 10 ss 3s 5 As Bs 3 Cs 5 Multiplicando pelo denominador comum 10 As 3s 5 B ss 5 C ss 3 A B C s² 8A 5B 3Cs 15A Comparando termo a termo A B c 0 8A 5B 3C 0 15A 10 Ou seja A 23 B C 23 5B 3C 163 Isolando B B 23 C Substituindo 523 c 3C 163 103 5C 3C 163 2C 63 C 1 Logo B 23 1 53 Portanto Xs 23 1s 53 1s3 1s5 Finalmente aplicando a transformada inversa de Laplace xt 23 ut 53 e3t e5t xt 23 53 e3t e5t ut d O seguinte Script de Matlab calcula o valor da função xt para t 3 Questão 1d t 3 Definindo o instante de tempo x 2353exp3texp5t Calcula x para t definido Que resulta em x3 06665 e Aplicando limites teremos x lim t 23 53 e3t e5t x 23 53 0 0 x 23 QUESTÃO 02 a Veja que há dois blocos em cascata assim podemos multiplicar as funções de transferência de cada bloco logo Restam dois blocos em realimentação não unitária assim teremos YsUs 10ss5 1 1s1 10ss5 YsUs 10ss5 ss1s5 10ss1s5 YsUs 10ss5 ss1s5 ss1s5 10 YsUs 10s1 ss1s5 10 YsUs 10s 10 s3 6s2 5s 10 b Primeiro definimos as funções de transferência de cada bloco Questão 2b C1 tf11 0 Primeiro bloco de malha direta C2 tf101 5 Segundo bloco de malha direta H tf11 1 Bloco de realimentação Finalmente realizamos as operações para determinar a função de transferência total C C1C2 Função de transferência malha direta Y feedbackC H Função de transferência malha fechada Como resultado da simulação temse Ou seja o mesmo resultado encontrado no item anterior