Lista de Exercicios Resolvidos - Algebra Linear - Bases e Distancias

QUESTÃO 02 Os pontos a seguir representam as localizações de três aviões sendo que todos partiram do mesmo local indicado pelo ponto O Com as informações dadas faça uma demonstração para classificar cada sentença como verdadeira ou falsa I A distância entre os aviões A e B é maior que a distância entre os aviões A e C II O avião C está mais distante do local de origem que o avião B Folha de Resposta AVIdocx 22 setembro 2023 1334 PM QUESTÃO 01 Dimensão de um Espaço Definição Dimensão de um espaço vetorial V é o número máximo de vetores que se pode reunir em um conjunto E formando uma coleção linearmente independente Se esse máximo não existe dizemos que V tem dimensão infinita Base Definição Um conjunto B contido em um espaço vetorial será base desse espaço se todo elemento de V for uma combinação linear dos elementos de B e se B for linearmente independente B é uma base de V B é LI e B V Se a base de um espaço vetorial tem k elementos esse espaço vetorial tem dimensão k LOURENÇO Roberto Carlos Geometria Analítica e Álgebra Linear São Paulo UNISA 2019 p 47 Determine uma base para o espaço vetorial S e sua dimensão S x y z R³ x y 5 z 0 Exercícios 23 de Setembro de 2023 1 Determine uma base para o espaço vetorial S e sua dimensão S x y z R³ x y 5z 0 Resolução tratase de um plano passando pela origem cuja equação é z 15 x y Logo todo elemento de S tem a lei de formação x y 15 x y x 0 x5 0 y y5 x 1 0 15 y 0 1 15 Assim S Spam 1 0 15 0 1 15 De modo que dimS 2 e sua base são os vetores 1 0 15 e 0 1 15 2 Dado os pontos A 3 5 1 B 1 12 9 C 4 17 10 e O 0 0 0 Afirmação I A distância entre os aviões A e B é maior que a distância entre os aviões A e C Demonstração Calculemos a distância entre A e B dA B 3 1² 5 12² 1 9² 16 49 64 129 11358 Já distância entre A e C é dA C 3 4² 5 17² 1 10² 1 144 81 226 15033 Logo é falsa esta afirmação pois dA B dA C Afirmação II O avião C está mais distante do local de origem que o avião B Demonstração Calculemos dO C dO C 4² 17² 10² 405 20125 A distância do avião B a origem é calculada por dO B dO B 1² 12² 9² 226 15033 Logo a afirmação é verdadeira pois dO C dO B