Introdução à Modelagem de Sistemas Físicos

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS Marcos Costa Hunold 2 1 INTRODUÇÃO À MODELAGEM I Caros alunos neste bloco apresentaremos alguns conceitos e características importantes sobre o desenvolvimento de modelos matemáticos de sistemas físicos e sua utilização dentro da engenharia Além disso procuramos neste primeiro momento trabalhar com a metodologia para o desenvolvimento de um modelo matemático Finalmente apresentamos algumas classificações de modelos matemáticos Quaisquer dúvidas que você tiver consulte o tutor ou o professor responsável pela disciplina 11 Conceituação e caracterização de modelos matemáticos de sistemas físicos O processo de modelagem implica no desenvolvimento de modelos matemáticos de sistemas físicos que podem ser químicos mecânicos elétricos e suas combinações sistemas biológicos e até sistemas econômicos que representem a realidade ou o comportamento de variáveis importantes destes sistemas Estes modelos são elaborados para demonstrar o comportamento dinâmico do sistema ou seja quando aplicamos uma entrada no sistema que é uma variável ou grandeza física importante no estudo desejamos observar o comportamento da saída do sistema que é influenciado pela entrada em questão Além disso estes modelos matemáticos são utilizados no projeto de controladores dentro da teoria de controle clássico e moderno Tratase de um tema de extrema importância dentro da área de controle assim é imprescindível entender algumas classificações nomenclaturas e metodologias utilizadas para a elaboração de modelos matemáticos de sistemas físicos que em sua maioria são dinâmicos ou seja as grandezas físicas variam com o tempo e posteriormente se o sistema for estável atingem o regime permanente ou estado estacionário representado por um valor final fixo 3 Por serem dinâmicos estes modelos matemáticos são representados em sua maioria por equações diferenciais não lineares conceito que será abordado futuramente Se estas equações puderem ser linearizadas conseguimos a partir de ferramentas matemáticas como a transformada de Laplace obter uma solução que descreve a operação do sistema A abordagem adotada para avaliar a dinâmica de sistemas é dada partindo dos seguintes passos Definir o sistema e seus componentes Formular o modelo matemático e fornecer as hipóteses adotadas na proposta do modelo Definir as equações diferenciais que descrevem o modelo matemático considerando as variáveis de entrada e saída do modelo e se necessário linearizar as equações obtidas Avaliar o comportamento dinâmico das saídas do sistema em função das entradas dadas A solução do modelo pode ser analítica ou por simulação numérica do modelo matemático Examinar se as soluções e as hipóteses estão adequadas para caso necessário revisar o modelo e as hipóteses Quando se tem uma bancada experimental é possível validar o modelo matemático de uma forma mais precisa refinando a solução Como sistemas em sua maioria não são lineares ou possuem efeitos nãolineares como atrito zona morta e histerese tornase importante avaliar a qualidade do modelo frente à complexidade proposta para o mesmo Esse compromisso acontecer de forma que os resultados obtidos tenham um pequeno erro em relação à realidade Neste primeiro momento vamos elaborar algumas definições e classificações para os modelos matemáticos 4 Definição de modelo matemático consiste de um conjunto de equações matemáticas que descrevem o comportamento de um sistema representando os aspectos essências Para que servem Servem para estudar o comportamento dinâmico de um sistema ao longo do tempo tanto para o transitório como para o regime permanente Este estudo é fundamental dentro da teoria de controle que avalia o modelo matemático como possuindo uma saída que tem seu comportamento influenciado por uma entrada visão clássica do controle ou através das variáveis de estado visão moderna do controle que são grandezas associadas às energias cinética e potencial de um sistema físico qualquer A figura 11 ilustra como se obter uma relação entre a entrada e saída de um sistema dentro da visão clássica do estudo de controle onde os modelos matemáticos são utilizados Fonte Autor Figura 11 Processo para determinação de uma representação algébrica de um sistema físico A seguir são apresentados alguns exemplos de sistemas físicos e as suas variáveis de interesse para desenvolvimento de um modelo matemático que representa a dinâmica do sistema Um gerador de vapor onde queremos estabelecer o comportamento do nível de água em função da vazão de água de alimentação 5 A posição angular de um eixo do motor CC em função da tensão de alimentação A temperatura de um forno em função da corrente aplicada em um banco de resistências ou de um ventilador Como se observa existe sempre uma entrada que altera uma saída do sistema A partir daí identificamse os componentes a serem modelados as relações constitutivas destes componentes e as leis físicas para então aplicar o processo de desenvolvimento do modelo matemático Esse processo gera uma equação diferencial que quando linear e a derivadas ordinárias permitem obter uma relação algébrica entre a entrada e saída do sistema conhecida como Função de Transferência Para obtêla devemos aplicar a transformada de Laplace Estas ferramentas matemáticas serão apresentadas adiante Formas de obter um modelo matemático Existem duas formas para se determinar um modelo Modelos teóricos analíticos obtidos a partir das leis físicas e das relações constitutivas Modelos empíricos obtidos a partir de dados experimentais do sistema físico em escala Neste caso o modelo é desenvolvido por método de identificação de sistemas 12 Método de modelagem A partir de um sistema físico a ser estudado identificamse os componentes e efeitos importantes que deverão ser modelados Posteriormente aplicamse as leis físicas que regem o comportamento das variáveis analisadas e determinamse as equações matemáticas do modelo proposto 6 Vejamos um exemplo para obter um modelo matemático a composição de um trem A figura 12 ilustra uma composição com locomotiva e vagão Fonte httpswwwyoutubecomwatchvNOnkTwtVg74t163s Figura 12 Composição de um trem ferroviário Se quisermos estudar o deslocamento destes elementos devemos avaliar a fenomenologia da área da mecânica de translação chamada de dinâmica Podemos isolar a locomotiva e um vagão por exemplo A locomotiva com a sua força motriz movimenta o vagão devido ao engate existente entre os dois componentes da composição Este engate não pode ser rígido inclusive possui uma mola interna e elementos de amortecimento o que é possível notar na figura 13 7 Fontes httpvfcobraziliajorbr e httpvfcobraziliajorbr respectivamente Figura 13 Engate de trens com elementos internos e foto com o engate fixo Existem então os seguintes efeitos que devem ser considerados atrito nos mancais atrito do ar inércia massa da locomotiva e do vagão acoplamento dos vagões e força motriz da locomotiva Podemos considerar no engate um efeito de mola e um efeito de amortecimento garantindo assim a possibilidade de deslocamentos e velocidades diferenciados entre a locomotiva e o vagão Simplificando o sistema teríamos então duas massas acopladas conforme o esquema da figura 14 Fonte Autor Figura 14 Esquema com as massas da locomotiva m1 e do vagão m2 e o acoplamento Este esquema ao incluir a representação com as forças e deslocamentos dos corpos com o objetivo de aplicar as leis de Newton é chamada de Diagrama de Corpo Livre ou simplesmente DCL A figura 15 a seguir apresenta o DCL para as duas massas unidas O acoplamento é modelado com um efeito de mola em paralelo com um efeito de amortecimento m2 m1 v1 v2 8 Foram incluídos na representação os deslocamentos x1 e x2 a constante da mola k e a constante do amortecedor b e todas as forças presentes exceto as forças devidas ao acoplamento Fonte Autor Figura 15 DCL com os dois corpos unidos pela massa e amortecedor As figuras 16 e 17 apresentam os corpos isolados no DCL para aplicação da segunda lei de Newton Fonte Autor Figura 16 DCL para o corpo de massa m1 Aplicando a lei de Newton 𝐹𝑡 𝑚1 𝑎1𝑡 Substituindo as forças e lembrando que o sinal das forças na equação é definido em função do sentido de deslocamento e que 9 𝑎𝑡 𝑑2𝑥1𝑡 𝑑𝑡2 Teremos a seguinte equação 𝐹𝑡 𝐹𝑎𝑟𝑡 𝐹𝑎𝑡1𝑡 𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎𝑡 𝐹𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑡 𝑚1 𝑑2𝑥1𝑡 𝑑𝑡2 Utilizando as relações das forças com a variável de interesse neste caso deslocamento do corpo 1 x1t vem que 𝐹𝑎𝑟𝑡 𝑏𝑎𝑟𝑣1𝑡2 𝑛ã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝐹𝑎𝑡1𝑡 𝑏1𝑣1𝑡 𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎𝑡 𝑘𝑥1𝑡 𝑥2𝑡 𝐹𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑡 𝑏𝑣1𝑡 𝑣2𝑡 Observações 1 A velocidade deve ser expressa em função do deslocamento do corpo pois desejamos uma relação entre a entrada no caso a força motriz Ft e a saída que é o deslocamento do corpo x1t Lembrando que a velocidade é a derivada da posição isto é 𝑣𝑡 𝑑𝑥1𝑡 𝑑𝑡 Podemos expressar a correta equação matemática que fornece o comportamento dinâmico da composição de trens 2 No caso da mola e do amortecedor estas relações citadas são chamadas de relações constitutivas pois estão associadas aos componentes do sistema Já as forças de resistência do ar e do atrito nos mancais atrito dinâmico são efeitos que surgem devido às características físicas de elementos Futuramente apresentaremos os três elementos e esse processo de modelagem em detalhe para sistemas mecânicos translacionais e rotacionais A equação para o corpo de massa m1 fica igual a 10 𝑭𝒕 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟏𝒕𝟐 𝒃𝟏𝒗𝟏𝒕 𝒌𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒃𝒗𝟏𝒕 𝒗𝟐𝒕 𝒎𝟏 𝒅𝟐𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕𝟐 Substituindo 𝒗𝟏𝒕 por 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 vemos que 𝑭𝒕 𝒃𝒂𝒓 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝒃𝟏 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒎𝟏 𝒅𝟐𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕𝟐 Isolando no primeiro membro todos os termos de deslocamento 𝒎𝟏 𝒅𝟐𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒃𝒂𝒓 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝒃𝟏 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝑭𝒕 Como se verifica temos duas saídas 𝑥1𝑡 𝑒 𝑥2𝑡 Se quisermos analisar o comportamento destas variáveis será necessário obter uma segunda equação a partir da análise de forças do corpo de massa m2 Observando o DCL para o corpo m2 Fonte Autor Figura 17 DCL para o corpo de massa m2 Aplicando as leis de Newton e lembrando que o corpo m2 não está sujeito a força motriz Ft e a força de resistência do ar vemos que 11 𝑭𝒂𝒕𝟐𝒕 𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂𝒕 𝑭𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒕 𝒎𝟐 𝒅𝟐𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 Substituindo as forças pelas relações com o deslocamento dos corpos e as velocidades teremos 𝒃𝟐𝒗𝟐𝒕 𝒌𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒃𝒗𝟏𝒕 𝒗𝟐𝒕 𝒎𝟐 𝒅𝟐𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 Substituindo as velocidades pelas derivadas dos deslocamentos 𝒃𝟐 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒎𝟐 𝒅𝟐𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 Isolando no primeiro membro todos os termos de deslocamento 𝒎𝟐 𝒅𝟐𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃𝟐 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝟎 Esta equação juntamente com a equação do corpo um fornece o comportamento dos deslocamentos dos corpos em função das forças Se quisermos analisar o comportamento dinâmico deveremos em primeiro lugar fornecer os valores das constantes da mola do amortecedor das massas e a partir daí proceder pela solução do sistema de equações Neste momento podemos linearizar o termo quadrático e avaliar o comportamento dos deslocamentos em função da força Ft aplicada utilizando a solução analítica através por exemplo da transformada de Laplace ou então avaliar a resposta através da simulação do sistema por método numérico como por exemplo o método de Runge Kutta de ordem 4 Existem programas computacionais para realizar esta simulação como o Matlab o Octave o Scilab dentre outros O processo de simulação e a solução analítica para sistemas dinâmicos serão apresentadas nos próximos blocos 12 A seguir apresentamos algumas definições importantes da área de desenvolvimento de modelos matemáticos 13 Características e classificações de modelos de sistemas dinâmicos Modelos parâmetros distribuídos versus parâmetros concentrados Esta classificação diz respeito à forma da variação espacial das variáveis Os modelos de parâmetros concentrados são assim designados se as variáveis espaciais são desprezíveis e as propriedades não mudam com a posição Por outro lado os modelos de parâmetros distribuídos têm lugar quando as variações espaciais são relevantes Modelo de parâmetro distribuído Exemplo Estudo da temperatura em uma placa unidimensional em função de fluxos de calor de entrada e saída Neste estudo por se tratar de uma placa de espessura ínfima e de comprimento muito maior que a largura L aplicase a equação geral da condução de calor desenvolvida apenas em uma direção Assim se verifica pelo balanço de energia que a temperatura varia em função da posição linear no eixo x ou seja na largura L da placa e também em função do tempo t Desta forma ao montar o modelo matemático inicial do sistema dinâmico proposto verificaremos que a análise deve ser feita com derivadas parciais já que a temperatura é dada em função da posição x A figura 18 ilustra o esquema do fluxo através da placa de largura L Os parâmetros massa M densidade ρ calor específico da placa cp e o coeficiente de condutividade térmica da placa k 13 Fonte Autor Figura 118 Variação da temperatura em uma placa unidimensional em função dos fluxos de calor de entrada e saída A equação obtida a partir da equação geral de condução de calor é dada por 𝒄𝒑𝝆 𝜹𝑻 𝜹𝒕 𝒌 𝜹𝟐𝑻 𝜹𝒙𝟐 𝟎 Com condições de contorno 𝒒𝒙 𝟎 𝒒𝒊𝒏 𝒒𝒙 𝑳 𝒒𝒐𝒖𝒕 Com condições iniciais 𝑻𝒙 𝑻𝟎 Onde q representa o fluxo de calor por unidade de área Este modelo calcula a temperatura da placa em qualquer posição x e em qualquer instante de tempo t Modelo de parâmetros concentrados No estudo da temperatura média em uma placa unidimensional em função de fluxos de calor de entrada e saída avaliase a temperatura apenas ao longo do tempo assumindo um modelo simplificado onde a temperatura ao longo de x tem um único valor médio ou 𝑻 14 Neste caso o equacionamento será dado por 𝑴𝒄𝒑 𝒅𝑻 𝒅𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕𝑨 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝑨 Onde A representa a área da placa unidimensional Como condição inicial temos que 𝑻𝒕 𝟎 𝑻𝟎 Modelos determinísticos e estocásticos Um modelo é determinístico quando tem um conjunto de entradas conhecido e do qual resultará um único conjunto de saídas Assim associam a cada experimento um resultado bem definido enquanto os modelos estocásticos incorporam elementos probabilísticos e os resultados são expressos em termos de probabilidade Exemplos de modelo determinístico a variação da temperatura da água quando se aplica uma taxa de calor conhecida em uma panela ou um movimento de deslocamento vertical de uma suspensão quando o carro passa por uma lombada na pista Exemplos de modelo estocástico o crescimento populacional de um país ou o modelo matemático para representar uma fila de um banco Modelos lineares e modelos nãolineares Os modelos são ditos lineares quando apresentam relações lineares entre as variáveis consideradas no problema e quando satisfazem as propriedades de linearidade caso contrário são classificados como não lineares Estes modelos podem ainda ser considerados explícitos ou implícitos conforme a possibilidade de resolução direta ou a necessidade de aplicação de métodos numéricos 15 Exemplo de modelo nãolinear movimento de um pêndulo A figura 19 apresenta o esquema de um pêndulo e das variáveis de análise do comportamento da posição angular do pêndulo θ em função de um torque externo aplicado τe Para obter o deslocamento angular da massa m em função do torque aplicado deve ser utilizada a segunda lei de Newton para movimentos oscilatórios Obtémse então a equação descrita a seguir Fonte Autor Figura 19 Esquema de um pêndulo com indicação das variáveis de interesse 𝛕𝒕 𝑰 𝜶𝒕 Onde I é o momento de inércia α é a aceleração angular e τ são os torques atuantes no sistema No caso do pêndulo o momento de inércia é dado por 𝑰 𝒎𝒍𝟐 Lembrando que 𝜶𝒕 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 16 Ao aplicar o torque externo criase o torque devido a massa na direção oposta ao movimento do corpo Assim a segunda lei de Newton resulta em 𝝉𝒆𝒕 𝒎𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕 𝑳 𝒎𝑳𝟐 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 Com simples manipulação de variáveis isolase a variável de saída no primeiro membro da equação e chegase a seguinte equação 𝒎𝑳𝟐 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒎𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕 𝑳 𝝉𝒆𝒕 Esta equação não é linear pois a variável de saída θ está associa a um seno Trata se de uma equação diferencial de segunda ordem com o termo em θ associado a uma função trigonométrica Podemos até trabalhar com a equação nãolinear mas para a análise analítica do movimento angular do pêndulo com a aplicação da transformada de Laplace e determinação da função de transferência é necessário linearizar tal equação e obter um modelo matemático linearizado Exemplo de modelo linear movimento de um pêndulo linearizado O processo de linearização sempre deve ser feito em torno de um ponto de operação Existe um método geral que utiliza a expansão em série de Taylor DORF2018 e será apresentado a seguir Aqui podemos utilizar como exemplo de modelo matemático linear o mesmo exemplo do pêndulo em torno do ponto de operação dado por 𝜽 𝟎 Neste valor podemos afirmar que 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝜽 isto é para valores de 𝜽 em torno de 𝟎 o seno é aproximadamente igual ao arco confira calculando o seno de um ângulo por exemplo de π400078 A equação do modelo do movimento do pêndulo passa a ser linear e dado por 𝒎𝑳𝟐 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒎𝒈𝑳𝜽𝒕 𝝉𝒆𝒕 17 Modelos estacionários ou estáticos e modelos dinâmicos Os modelos estacionários são aqueles onde as variáveis de interesse não se alteram em função do tempo Os modelos dinâmicos são chamados assim pois as variáveis de interesse se alteram com o tempo Estes últimos representam sistemas físicos onde existe um transitório para as variáveis de interesse até que o sistema entra em regime permanente ou estado estacionário caso seja estável Tais sistemas são representados por modelos matemáticos com equações diferenciais conforme vimos nos exemplos anteriores Modelos com variáveis discretas ou modelo discreto e modelos com variáveis contínuas ou modelo contínuo Os modelos com variáveis discretas são aqueles em que as variáveis têm um número contável entre quaisquer dois valores Já os modelos com variáveis contínuas são aqueles em que as variáveis numéricas têm um número infinito de valores entre dois valores quaisquer Como exemplo de modelo discreto é o modelo para representar o fluxo de carros em uma via Já o exemplo de modelo contínuo é o modelo do fluxo de água em uma tubulação Modelos de sistemas invariantes no tempo contínuo ou discreto e modelos de sistemas variantes no tempo Considere um sistema representado pela sua relação entradasaída isto é uma entrada ut leva a uma saída yt em tempo contínuo Pode ser uma relação dada por uma função linear ou até por uma equação diferencial Um sistema é dito invariante no tempo quando com a evolução do período ainda que as variáveis evoluam a relação entre elas se mantém constante Em contrapartida quando não existe a invariância no tempo além de as variáveis 18 evoluírem as relações entre elas não se mantêm as mesmas à medida que o tempo passa Esta invariância independe da natureza do tempo ou seja do modelo ser em tempo contínuo ou em tempo discreto A característica de variância pode ocorrer em um sistema normalmente invariante no tempo como por exemplo no sistema de suspensão de um veículo ilustrado na figura 110 dada a seguir Se a constante da mola variar com o tempo ou a constante do amortecedor variar com tempo teremos um sistema variante no tempo Embora o sistema continue funcionando razoavelmente bem ele terá um comportamento diferente a cada momento uma vez que as características de força dos componentes além de variarem com o deslocamento do corpo para a mola e com a velocidade para o amortecedor irão variar em função destes parâmetros No nosso dia a dia as variações destes parâmetros são muito pequenas a não ser quando o amortecedor ou a mola apresentam algum problema defeito ou estão no fim da sua vida útil Conclusão Vimos neste bloco as definições sobre o desenvolvimento de modelos matemáticos sistemas físicos e a metodologia utilizada para este desenvolvimento Em seguida foram apresentadas algumas características de modelos e de sistemas físicos É importante que você faça todos os exercícios recomendados no material de apoio ou no fórum e que ao perceber dificuldades na solução busque ajuda do tutor do professor ou dos livros recomendados em cada bloco deste elemento textual 19 Bibliografia Consultada e Recomendada DORF R C Sistemas de controle modernos 13ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 KLUEVER C A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 NISE S Engenharia de sistemas de Controle 7ª ed Rio de Janeiro LTC 2017 OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5a ed São Paulo Pearson 2010