Lugar Geométrico das Raízes: Teoria e Aplicações

Lugar geométrico das raízes aula do dia 1811 Lugar geométrico das raízes O método do lugar das raízes é uma técnica que mostra a trajetória dos polos do sistema de malha fechada no plano s à medida que se varia algum parâmetro do sistema Na figura abaixo é mostrado um sistema que permite o ajuste do ganho que causa uma mudança no mapa de polos de malha fechada possibilitando configurar o comportamento desejado para o sistema Construção do LGR O LGR é construído tendo por base os polos e zeros de malha aberta e permite visualizar a trajetória dos polos de malha fechada de acordo com a variação de algum parâmetro do sistema frequentemente um ganho 𝐾𝑐 variando de 0 a A função de transferência de malha fechada é Construção do LGR O método de construção do LGR foi desenvolvido numa época em que não existiam os computadores digitais Com a popularização dos computadores foram desenvolvidos vários programas que fazem o desenho do LGR Características principais do LGR O LGR é traçado no plano complexo s o qual tem as seguintes características Os polos são marcados com o símbolo x e os zeros com o símbolo o Continuidade como os polinômios são funções contínuas o LGR também será formado por linhas contínuas no plano s Número ramos o número de ramos será o número de polos do sistema e igual à ordem do sistema Pontos de início considerando que o LGR inicia quando 𝐾𝑐 0 e 𝐾𝑐 é sempre positivo o LGR começa nos polos de malha aberta Pontos de término para 𝐾𝑐 os polos tendem aos zeros de malha aberta do sistema Utilização do Octave para traçar o LGR O Octave contém uma rotina para o traçado do LGR e esta rotina pede que a equação característica do sistema esteja representada na forma Ou seja requer que a função de transferência de malha aberta GsHs esteja representada na forma de uma razão de polinômios e que o parâmetro a ser variado 𝐾𝑐 apareça como fator multiplicativo Exemplo 1 Traçar o LGR para o sistema abaixo cuja função de transferência de malha aberta é Observando a FT número de polos n 3 três ramos número de zeros m 0 pontos de início para 𝐾𝑐 0 polos de malha aberta s 0 s 3 e s 8 pontos de término o módulo dos três polos tende a infinito num1 definindo o numerador denconv1 0conv1 31 8 definindo o denominador gtfnumden montando a FTMA Retorna Transfer function 1 s3 11 s2 24 s rlocusg traçando o LGR Script do Octave Exemplo 2 Traçar o LGR para o sistema abaixo cuja função de transferência de malha aberta é Observando a FT número de polos n 3 número de zeros m 1 excesso de polos 2 dois ramos pontos de início para 𝐾𝑐 0 polos de malha aberta s 0 s 3 e s 5 pontos de término um polo tende ao zero de malha aberta em s 8 dois polos tendem a infinito num1 8 definindo o numerador denconv1 0conv1 31 5 definindo o denominador gtfnumden montando a FTMA Retorna Transfer function s 8 s3 8 s2 15 s rlocusg Script do Octave Exemplo 3 Traçar o LGR para o sistema abaixo cuja função de transferência de malha aberta é Observando a FT número de polos n 3 número de zeros m 1 excesso de polos 2 dois ramos pontos de início para 𝐾𝑐 0 polos de malha aberta s 0 s 3 e s 8 pontos de término um polo tende ao zero de malha aberta em s 5 dois polos tendem a infinito num1 5 definindo o numerador denconv1 0conv1 31 8 definindo o denominador gtfnumden montando a FTMA Retorna Transfer function s 5 s3 11 s2 24 s rlocusg traçando o LGR Exemplo 4 Para o sistema anterior estime o ganho 𝐾𝑐 que proporcione polos dominantes com frequência natural de ωn 5 rads e coeficiente de amortecimento ζ 07 rlocusg sgrid075 Exemplo 4 Como o ponto não pertence ao LGR como exemplo será escolhido o ponto que resulta em ωn 5 rads Assim os polos desejados são 𝑠𝑥 𝑠1 24 𝑗44 𝑜𝑢 𝑠𝑥 𝑠2 24 𝑗44 Encontrando Kc sx2444j polo desejado spisx311sx224sx produtório dos polos szisx5 produtório dos zeros Kcabsspiszi determinando Kc Kc 3101 Exemplo 4 Verificação kc3101 num1 5 denconv1 0conv1 31 8 gtfnumden s 5 y1 s3 11 s2 24 s ftmffeedbackKcg1 3101 s 1551 y1 s3 11 s2 5501 s 1551 poleftmf ans 6 1552 0i 24224 43961i 24224 43961i stepftmf Exemplo 4 Resposta ao degrau utilizando o valor de Kc calculado