Potencial Elétrico Capacitores Corrente Elétrica e Circuitos

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE FÍSICA FÍSICA 3 Lista 3 Potencial elétrico e capacitores 1 Em um átomo de hidrogênio em seu estado fundamental de mais baixa energia também chamado de estado fundamental o elétron gira em torno do próton e descreve uma órbita circular de raio 053 x 1010 m Calcule a a energia potencial b a energia cinética c a energia total d a frequência de movimento Para comparação a frequência da radiação emitida pelo átomo de hidrogênio é da ordem de 1015 Hz 2 Um disco oco de raio interno a e raio externo b conforme mostrado na figura ao lado possui uma distribuição superficial de carga expressa por σ σ₀br onde σ₀ σ₀ 0 é uma constante com unidade de carga por unidade de área Determine a a carga total no disco em função de a b e σ₀ b o potencial elétrico sobre o eixo do disco a uma distancia x de seu centro c a energia potencial elétrica necessária para colocar uma carga q₀ num ponto P de coordenada x₀ ao longo do eixo do disco a uma distancia x trazida do infinito 3 Sobre uma circunferência de raio a se distribui uma densidade linear de carga λ λ₀ sin²φ sendo λ₀ uma constante Determinar o potencial e o campo elétrico sobre o eixo z 4 Um disco de raio R tem uma densidade superficial de carga não uniforme σ σ₀r²R² onde σ₀ constante e r é medido a partir do centro do disco a determine a carga total no disco b por integração direta ache o potencial Vx no eixo do disco a uma distância x de seu centro dado x³ dx x² a² 13 x² 2a²x² a² 5 Qual deve ser a área da placa de um capacitor plano para termos C 1F e d 1mm 6 Considere um capacitor cilíndrico de altura h 5cm raio interno a 6 mm e capacitância 2pF a Qual é o raio da placa externa b Se aplicarmos uma tensão de 50V no capacitor qual é o valor máximo do campo elétrico no seu interior 7 Um capacitor cilíndrico muito longo de comprimento L é constituído de duas cascas cilíndricas de raios ra e rb ra rb carregadas com cargas Q e Q respectivamente O espaço entre as cascas é preenchido com um dielétrico de constante dielétrica κ Calcule a energia potencial elétrica armazenada neste capacitor a usando a capacitância C a ser encontrada b integrandose a densidade de energia do campo elétrico 8 Um capacitor esférico é constituído de duas cascas esféricas de raios ra e rb ra rb carregadas com cargas Q e Q respectivamente O espaço entre as cascas é preenchido com um dielétrico de constante dielétrica κ Calcule a energia potencial elétrica armazenada neste capacitor a usando a capacitância C a ser encontrada b integrandose a densidade de energia do campo elétrico 9 Considere o circuito da figura ao lado formado por cinco capacitores e uma bateria a Se cada capacitor tem uma capacitância de 5nF qual será a capacitância equivalente da associação b Se a diferença de potencial da bateria é de 12V qual será a carga sobre cada capacitor 10 Resolva os problemas 8 18 25 26 27 43 capítulo 24 e 10 14 15 16 19 57 capítulo 25 do livro texto HALLIDAY RESNICK WALKER Fundamentos de Física Vol 3 10 ed Editora LTC 2016 15 Considere um circuito RC em série num processo de carga do capacitor em que R 560 kΩ C 220 μF e com uma fonte de alimentação ε 10V O capacitor está inicialmente descarregado a Qual é equação matemática que descreve o comportamento teórico da diferença de potencial ddp no capacitor no processo de carga isto é VCt b qual é equação do comportamento da corrente elétrica It para este caso c escreva a equação da ddp no resistor VRt d em que instante de tempo a ddp no capacitor será igual à ddp no resistor 16 No circuito da figura ao lado a chave é ligada para t 0 com o capacitor descarregado a determine a carga qt como função do tempo b ache a corrente It como função do tempo c determine a energia potencial eletrostática UCt no capacitor como função do tempo Estude o limite de tempo muito longo t d ache a energia total fornecida pela bateria após um tempo muito longo Isto é Uε 0 εItdt e Obtenha a energia total dissipada no resistor durante um tempo muito longo UR 0 RIt²dt Mostre que a metade da energia fornecida estará armazenada no capacitor e a outra metade dela terá sido dissipada no resistor 17 Na tabela seguinte são mostrados os dados experimentais de tempo ts e corrente IμA para um processo de carga de um capacitor C em série com um resistor R 148 2 x 10³Ω e uma bateria de ε 10 0V a Complete a terceira coluna da tabela calculando a grandeza lnIμA ts IμA lnμA 0 6747 100 3436 200 1750 300 891 400 453 500 231 600 117 700 060 b Usando a folha de papel milimetrado trace um gráfico de lnIμA versus ts c Determine a equação para a linha reta que oferece o melhor ajuste dos dados Isto é lnI αt β com as respectivas unidades de α e β d A partir da inclinação de seu gráfico obtenha um valor para a constante de tempo do circuito τ RC e um valor para a capacitância C 18 O circuito mostrado na figura ao lado foi configurado para medir uma capacitância desconhecida C em série com resistência R 10 x 106 Ω alimentada por uma bateria de ε 619 V Os dados apresentados na tabela são as tensões medidas no capacitor como função do tempo onde t 0 representa o instante de tempo no qual a chave é colocada na posição b a Complete a terceira coluna da tabela calculando a grandeza lnε ΔV b Faça um gráfico de lnε ΔV como função do tempo t e execute um ajuste linear c A partir da inclinação de seu gráfico obtenha um valor para a constante de tempo do circuito τ RC e um valor para a capacitância C UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO ACADˆEMICO DE FISICA FISICA 3 Lista 4 corrente eletrica e circuitos Exercıcios 1 Os fios C e D sao feitos de materiais diferentes e tem comprimento igual a 1m As re sistividades e diˆametros dos fios sao respectivamente ρC 2 106Ωm dC 1mm ρD 1 106Ωm dD 0 5mm Os fios sao unidos na forma mostrada na figura ao lado e submetidos a uma corrente I 2A Determine a a diferenca de potencial eletrico em cada fio b o campo eletrico em cada fioc a densidade de corrente eletrica em cada fio d a razao das potˆencias dissipadas nos dois fios 2 A barra da figura abaixo e constituıda por dois materiais diferentes Ambos possuem uma secao transversal quadrada de lado igual a 2 0mm O primeiro material possui uma resistividade de 4 0 103Ωm e 25cm de comprimento enquanto o segundo tem uma resistividade de 6 0 103Ωm e 40cm de comprimento Uma diferenca de potencial de 85V e aplicada entre as extremidades do conjunto da barra Determine a a resistˆencia entre as extremidades da barra b a corrente resultante no circuito c a densidade de corrente de cada material d o campo eletrico em cada material 3 a A densidade de corrente de um fio cilındrico de raio R 2mm e uniforme em uma secao transversal do fio e vale J 2 105Am2 Qual corrente que atravessa a porcao externa do fio entre as distˆancias R2 e R b Suponha que J varie com r atraves da relacao Jr ar2 onde a 3 1011Am4 e r esta em metros Neste caso qual e a corrente que atravessa a mesma porcao externa do fio 4 Na figura a uma bateria de 9V e ligada a uma placa resistiva formada por trˆes trechos com a mesma secao reta e condutividades diferentes A figura b mostra o potencial eletrico V x em funcao da posicao x ao longo da placa A escala horizontal e definida por xs 8mm A condutividade no trecho 3 e 3 107Ωm1 Encontre a o campo eletrico nos trˆes trechos b a condutividade nos trechos 1 e 2 c A corrente atraves da placa quando esta tem uma area de 40cm2 5 Em um fio de ferro Fe de diˆametro de 0 5mm sao realizadas diferentes medicoes experimentais de tensao V mV e corrente eletrica ImA para diferentes compri mentos Lm do fio ver tabela ao lado a Usando a lei de Ohm V IR complete a quarta coluna da tabela calculando a resistˆencia R b Faca um grafico da resistˆencia R em funcao do comprimento L e e execute um ajuste linear c A partir da inclinacao de seu grafico obtenha o valor da resistividade ρ do fio de ferro 6 Um cilindro oco de raio interno ra raio externo rb e comprimento L e feito de um material de resistividade ρ Uma diferenca de potencial V aplicada nos extremos do cilindro produz uma corrente I paralela a seu eixo a determinar a resistˆencia do cilindro em termos de L ρ ra e rb b calcule a densidade de corrente no cilindro quando V e aplicada c calcule o campo eletrico no interior do cilindro d suponha agora que a diferencia de potencial e aplicada entre as superfıcies interna e externa de modo que a corrente flui radialmente para fora Calcule a nova resistˆencia do cilindro 7 O circuito ao lado e composto de duas fontes com ε1 10V e ε2 4V Os resistores possuem os valores R1 150KΩ R2 10KΩ e R3 100KΩ a Utilizando as leis de Kirchhoff determine as correntes I1 I2 e I3 b Utilizando a lei de Ohm V IR determine as tensoes nos resistores R1 R2 e R3 c Usando o simulador de circuitos httpswwwfalstadcomcircuit determine os valores das correntes e das tensoes nos resistores Compare com os valores obtidos no itens anteriores 1 8 Na figura ao lado determine a a leitura do amperımetro para ε 5V fonte ideal R1 4Ω R2 6Ω e R3 6Ω b A fonte e entao trocada de posicao com o amperımetro Qual a nova leitura do am perımetro 9 Considere um conjunto de medicoes de correntetensao para um diodo na tabela ao lado a Faca um grafico da corrente I como funcao da tensao V O material e ˆohmico Justifique b Faca um grafico de lnI como funcao da tensao V e execute um ajuste linear c Supondo que o coeficiente angular de seu grafico obtido no item anterior seja igual a e igual q kBT onde q representa o modulo da carga do eletron q e kB a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta Determine o valor de T d Discuta a lei de Ohm desde o ponto de vista microscopico Dados e 1 6 1019C kB 1 38 1023 J K 10 As seguintes equacoes descrevem um circuito eletrico I1220Ω 5 80V I2370Ω 0 I2370Ω I3150Ω 3 10V 0 I1 I3 I2 0 a Desenhe um diagrama do circuito b Calcule as correntes desconhecidas e interprete fisicamente o resultado 11 Considere o circuito mostrado ao lado a Determine a resistˆencia equivalente entre os pontos a e b na figura ao lado b calcule a corrente em cada resistor se uma diferenca de potencial de 34 0V e aplicada entre os pontos a e b 12 Considere o circuito mostrado ao lado Determine a a diferenca de potencial entre os pontos a e b b a corrente no resistor 20Ω 13 No circuito que aparece na figura ao lado o capacitor esta inicialmente descarregado com a chave aberta Apos ligar a chave S calcule a a corrente que passa pela chave S imediatamente apos a ligacao b a corrente atraves de R2 c a carga do capacitor C em funcao do tempo d a corrente que passa pelo resistor R1 em funcao do tempo e a corrente que passa pela chave S em funcao do tempo f apos abrir a chave S quanto tempo leva para a carga do capacitor chegar a 10 do valor que possuıa quando a chave foi aberta 14 Considere o circuito mostrado na figura ao lado composto de uma fonte ε dois resistores R1 e R2 e um capacitor de capacitˆancia C Determine a a corrente que passa pela bateria em funcao do tempo apos a chave ser fechada Usando este resultado explore os seguintes limites b a corrente que passa pela bateria imediatamente apos a chave ser fechada t 0 c as correntes nos resistores para um tempo muito longo d a tensao entre os terminais do capacitor para um tempo muito longo 2 Respostas 1 a 4358 x 1018 J b 2179 x 1018 J c 2179 x 1018 J d 656 x 1015 Hz 2 a 2πσ₀bab b σ₀b 2ε₀ ln b b² x² a a² x² c q₀σ₀b 2ε₀ ln b b² x₀² a a² x₀² 3 λ₀a 4ε₀z² a² λ₀az 4ε₀z² a²32 k 4 a πσ₀R² 2 b σ₀ 6ε₀R² R² 2x²x² R² 2x²x 5 100 km² 6 a 24 1mm b 6 x 10³ Vm 7 q² 4πεκ₀L lnrb ra 8 Q² 8πκε₀ rb ra rarb 9 a 875nF b q₁ q₂ q₃ 15nC q₄ 45nC q₅ 60nC a Respostas no livro texto Halliday Resnick e Walker Fundamentos da Física Vol 3 10a edição Respostas 1 a 16π V 32π V b 16π Vm 32π Vm c 8π 106 Am2 32π 106 Am2 d PCPD 12 2 a 850Ω b 01A c 25 104 Am2 d 100Vm 150Vm 3 a 19A b 71A 4 a 500 Vm 4000 Vm 1000 Vm b 6 107Ωm1 075 107Ωm1 c 12 108 A 5 c 10 107 Ωm 6 a ρ Lπrb2 ra2 b Iπrb2 ra2 c VL d ρ2 π L lnrbra 7 a 036 A a 036 A 9 c 320 K 10 b I1 11 mA I2 913 mA I3 187 mA 11 a 171 Ω b 199 A para 4 Ω e 9 Ω 117 A para 7 Ω 0818 A para 10 Ω 12 a 568 V b 0227 A 13 a εR1 R2R1 R2 b εR2 c εC1 etRC d εR1 etR1C e ε 1R2 1R1 etR1C f ln10R1 R2C 14 a εR1 R2 R2 εR1 R2 R1 eR1 R2R1 R2 t b εR1 c IR1 IR2 εR1 R2 d R2 εR1 R2 15 a ε1 etRC b εR etRC c ε etRC d ln2 RC 16 a εC1 etRC b εR etRC c ε2 C2 1 etRC2 ε2 C2 d ε2 C e ε2 C2 UC2 UR2 17 c ln I 00068 s1 t 42108 d 14705 s 103 F 18 b 00118 t 00882 c 847 s 847 μF 19 Respostas no livro texto Halliday Resnick e Walker Fundamentos da Física Vol 3 10a edição 20 Respostas no livro texto Halliday Resnick e Walker Fundamentos da Física Vol 3 10a edição Questão 8 Resolução O potencial elétrico Vx é dado pela integral do campo elétrico Exx ao longo do eixo x Vx V0 0x Exx dx a Potencial em x 20 m O gráfico mostra que no intervalo 0 x 20 m Ex Es Assim a integral é V20 10 020 20 dx V20 10 20 20 10 40 50 V b Maior valor positivo do potencial Para 0 x 40 m o campo elétrico é negativo aumentando o potencial O maior valor positivo ocorre em x 40 m Integrando V40 10 040 20 dx V40 10 20 40 10 80 90 V c Potencial nulo No intervalo 40 m x 60 m o campo elétrico é Ex Es o que diminui o potencial Para Vx 0 0 90 40x 20 dx 0 90 20x 40 20x 40 90 x 40 9020 40 45 85 m Portanto a V20 50 V b Vmáx 90 V c x 85 m Questão 18 Resolução O potencial elétrico Vx devido à partícula 1 é dado pela equação Vx kq1x onde k é a constante eletrostática k 90 109 Nm2C2 Para x 160 cm 016 m e V 576 107 V temos 576 107 90 109 q1016 Resolvendo para q1 q1 576 10701690 109 q1 1024 1012 C Sabendo que e 16 1019 C temos q1 1024 101216 1019 e q1 64 e Portanto a carga q1 em termos de e é q1 64 e Questão 25 V 14πε0 dqr onde dq é o elemento infinitesimal de carga e r é a distância do elemento até o ponto de interesse Como o ponto de interesse está no centro da circunferência r R V 14πε0 Q1R Q2R 14πε0 Q1 Q2R Substituindo os valores Q1 420 106 C Q2 640 106 C R 820 102 m ε0 885 1012 C2Nm2 Cálculo do potencial V 9 109 820 102 4 20 106 6 40 106 V 9 109 0082 2 20 106 V 241 105 V Portanto o potencial no centro da circunferência é V 241 kV b O potencial no ponto P a uma distância D 6 71 cm Neste caso o potencial elétrico devido às cargas Q1 e Q2 é calculado individualmente no ponto P V 1 4πε0 Q1 r1 Q2 r2 Determine r1 e r2 com base na posição de P Para simplificar considere que r1 D e r2 pode ser obtido geometricamente Substituindo os valores V 9 109 00671 4 20 106 9 109 0082 6 40 106 V 563 105 7 02 105 1 39 105 V Portanto o potencial no ponto P é V 139 kV Questão 26 Uma barra tem densidade de carga uniforme λ 2 00 μCcm e comprimento total L 40 0 cm O potencial elétrico em um ponto P a uma distância D 40 0 cm do centro da barra é dado por V 1 4πε0 dq r com dq λdx Substituindo V 1 4πε0 L2L2 λ dx x² D² Substituindo os valores dados λ 2 00 106 Cm D 0 40 m L 0 40 m V 9 109 2 00 106 x² 0 40² 020020 dx x² 0 40² Resolvendo numericamente a integral V 2 88 105 V Portanto o potencial no ponto P é V 288 kV Questão 27 Considere dois arcos de circunferência cada um com cargas uniformes Q1 30 0 nC e Q2 80 0 nC O potencial elétrico na origem devido a um arco de circunferência é V 1 4πε0 Q R onde Q é a carga total do arco e R é o raio da circunferência Assim o potencial total é V 1 4πε0 Q1 R Q2 R Substituindo os valores dados Q1 30 0 109 C Q2 80 0 109 C R 0 04 m V 9 109 004 30 0 109 80 0 109 V 9 109 004 50 0 109 V 1 125 104 V Portanto o potencial na origem é V 11 25 kV Questão 43 Qual é o trabalho necessário para montar o arranjo da Fig 2429 se q 2 30 pC a 64 0 cm e as partículas estão inicialmente em repouso e infinitamente afastadas umas das outras O trabalho necessário para montar o arranjo é igual à energia potencial elétrica total do sistema Para um sistema de 4 cargas dispostas nos vértices de um quadrado a energia potencial é dada por U 1 4πε0 q2 a q2 a q2 a q2 a q2 2a q2 2a Substituindo os valores q 2 30 1012 C a 0 64 m ε0 8 85 1012 C²N m² U 9 109 064 4 2 30 1012² 2 2 30 1012² 2 U 9 109 5 29 1024 4 064 2 064 2 U 3 04 1014 J Portanto o trabalho necessário é U 30 4 fJ Questão 10 Determine a capacitância equivalente do circuito da Fig 2511 para C1 10 0 μF C2 5 00 μF e C3 4 00 μF No circuito 1 Os capacitores C1 e C2 estão em série 1 C12 1 C1 1 C2 Substituindo 1 C12 1 10 1 5 1 10 2 10 3 10 logo C12 10 3 μF 3 33 μF 2 C12 está em paralelo com C3 Ceq C12 C3 Ceq 3 33 4 00 7 33 μF Portanto a capacitância equivalente é Ceq 7 33 μF Questao 14 Na Fig 2513 a bateria tem uma diferenca de potencial V 10 0 V e os cinco capacitores tˆem uma capacitˆancia de 10 0 µF cada um Determine a A carga do capacitor 1 Os capacitores C1 e C2 estao em serie 1 C12 1 C1 1 C2 1 C12 1 10 1 10 2 10 logo C12 10 2 5 00 µF C12 esta em paralelo com C3 C123 C12 C3 5 00 10 0 15 0 µF C123 esta em serie com C4 1 C1234 1 C123 1 C4 1 C1234 1 15 1 10 2 30 3 30 5 30 logo C1234 30 5 6 00 µF C1234 esta em paralelo com C5 Ceq C1234 C5 6 00 10 0 16 0 µF A carga total do circuito e Q Ceq V 16 0 106 10 0 1 60 104 C A diferenca de potencial sobre C1 e C2 que estao em serie e V12 QC1234 1 60 1046 00 106 26 67 V Como C1 e C2 tˆem a mesma capacitˆancia V1 V2 V122 13 33 V Q1 C1 V1 10 0 106 13 33 1 33 104 C Portanto a carga do capacitor 1 e Q1 1 33 104 C 6 b A carga do capacitor 2 Como C1 e C2 estao em serie e tˆem a mesma capacitˆancia a carga sobre C2 sera igual a de C1 Q2 Q1 1 33 104 C Portanto a carga do capacitor 2 e Q2 1 33 104 C Questao 15 a A capacitˆancia equivalente Ceq do circuito Os capacitores C2 e C3 estao em serie 1 C23 1 C2 1 C3 Substituindo 1 C23 1 2 00 1 4 00 2 4 1 4 3 4 logo C23 4 3 µF 1 33 µF C23 esta em paralelo com C1 Ceq C23 C1 Ceq 1 33 3 00 4 33 µF Portanto a capacitˆancia equivalente do circuito e Ceq 4 33 µF b A carga armazenada por Ceq A carga total no circuito e dada por Q Ceq V Substituindo Q 4 33 106 20 0 8 66 105 C Portanto a carga armazenada e Q 86 6 µC 7 c V1 e Q1 do capacitor 1 Como C1 esta em paralelo com C23 a diferenca de potencial sobre C1 e igual a tensao total V1 20 0 V A carga sobre C1 e Q1 C1 V1 3 00 106 20 0 6 00 105 C Portanto V1 20 0 V e Q1 60 0 µC d V2 e Q2 do capacitor 2 Os capacitores C2 e C3 estao em serie portanto tˆem a mesma carga Q2 Q3 Q23 Q Q1 86 6 60 0 26 6 µC A diferenca de potencial sobre C2 e V2 Q2 C2 26 6 106 2 00 106 13 3 V Portanto V2 13 3 V e Q2 26 6 µC e V3 e Q3 do capacitor 3 Como C3 esta em serie com C2 Q3 Q2 26 6 µC V3 Q3 C3 26 6 106 4 00 106 6 65 V Portanto V3 6 65 V e Q3 26 6 µC Questao 16 Os capacitores estao em serie e portanto compartilham a mesma carga Q A capacitˆancia equivalente do sistema e 1 Ceq 1 C1 1 C2 1 C3 Substituindo os valores 1 Ceq 1 16 1 8 1 4 1 16 2 16 4 16 7 16 logo Ceq 16 7 µF 2 29 µF 8 A carga total no circuito e Q Ceq V 2 29 106 6 0 1 37 105 C Como os capacitores estao em serie Q2 Q 1 37 105 C Portanto a carga do capacitor 2 e Q2 13 7 µC Questao 19 Dados V 90 V C3 30 µF C4 40 µF A carga total que passa pelo ponto a e Qa 12 µC A carga total que passa pelo ponto b e Qb 8 µC Passo 1 Determinar C1 A carga Qa e armazenada pelo capacitor C1 cuja relacao e Qa C1V C1 Qa V Substituindo os valores C1 12 µC 9 V 133 µF Passo 2 Determinar C2 A carga Qb e armazenada pela combinacao de C2 em serie com a associacao em paralelo de C3 e C4 Primeiro calculamos a capacitˆancia equivalente da associacao C3 e C4 em paralelo C34 C3 C4 30 µF 40 µF 70 µF Agora a capacitˆancia equivalente total e dada pela associacao em serie de C2 e C34 1 Ceq 1 C2 1 C34 9 Como Qb e a carga na combinacao equivalente Qb CeqV Ceq Qb V Substituindo Ceq 8 µC 9 V 089 µF Agora resolvemos a equacao para C2 1 Ceq 1 C2 1 C34 1 C2 1 Ceq 1 C34 Substituindo 1 C2 1 089 1 70 C2 105 µF Resposta Final C1 133 µF C2 105 µF Questao 57 Dados V 90 V C1 C2 30 µF C3 C4 15 µF Passo 1 Capacitˆancia equivalente total Os capacitores C1 e C2 estao em paralelo logo C12 C1 C2 30 µF 30 µF 60 µF Os capacitores C3 e C4 tambem estao em paralelo C34 C3 C4 15 µF 15 µF 30 µF Agora C12 e C34 estao em serie 1 Ceq 1 C12 1 C34 Substituindo 1 Ceq 1 60 1 30 1 60 2 60 3 60 Ceq 20 µF 10 Passo 2 Determinar a carga em C4 A carga total no circuito e dada por Qtotal CeqV Substituindo Qtotal 20 µF 9 V 180 µC A carga em C34 em serie e igual a carga total Q34 Qtotal 180 µC Como C3 e C4 estao em paralelo a carga se divide proporcionalmente Logo a carga em C4 e Q4 C4V4 A voltagem em C34 e V34 Q34 C34 180 µC 30 µF 6 V Portanto a carga em C4 e Q4 C4V34 15 µF 6 V 90 µC Resposta Final A carga no capacitor C4 e Q4 90 µC 11 Fısica 3 Lista 4 Corrente eletrica e circuitos Questao 1 Os fios C e D tˆem resistividades e diˆametros diferentes e sao submetidos a uma corrente I 2 A a Diferenca de potencial eletrico em cada fio A resistˆencia R e dada por R ρL A A πd2 4 Assim para os dois fios RC 4ρCL πd2 C RD 4ρDL πd2 D Substituindo os valores RC 42 1061 π1032 8 π Ω RD 41 1061 π0 5 1032 16 π Ω As diferencas de potencial sao VC IRC 2 8 π 16 π V VD IRD 2 16 π 32 π V b Campo eletrico em cada fio O campo eletrico E e dado por E V L Como L 1 m EC VC L 16 π Vm ED VD L 32 π Vm c Densidade de corrente eletrica A densidade de corrente J e J I A A πd2 4 Calculando para cada fio JC I AC 4 2 π1032 8 106 π Am2 JD I AD 4 2 π0 5 1032 32 106 π Am2 1 d Razao das potˆencias dissipadas A potˆencia dissipada P e dada por P I2R Assim PC I2RC 22 8 π 32 π PD I2RD 22 16 π 64 π Logo a razao entre as potˆencias e PC PD 32 π 64 π 1 2 Questao 2 Os dois materiais tˆem resistividades diferentes com uma seccao transversal quadrada de lado 2 0 mm e comprimentos L1 25 cm e L2 40 cm a Resistˆencia total A resistˆencia total R e a soma das resistˆencias dos dois materiais R1 ρ1 L1 A R2 ρ2 L2 A A 2 1032 4 106 m2 Substituindo os valores R1 4 103 0 25 4 106 250 Ω R2 6 103 0 4 4 106 600 Ω R R1 R2 850 Ω b Corrente total A corrente total I e dada por I V R 85 850 0 1 A c Densidade de corrente A densidade de corrente J e J I A 0 1 4 106 2 5 104 Am2 d Campo eletrico O campo eletrico E em cada material e dado por E1 V1 L1 IR1 L1 0 1 250 0 25 100 Vm E2 V2 L2 IR2 L2 0 1 600 0 4 150 Vm 2 Questão 3 Dado um fio cilíndrico com densidade de corrente J raio R 2 mm devemos calcular a corrente em dois cenários a Densidade uniforme J 2 10⁵ Am² A corrente que atravessa a porção externa do fio entre R2 e R é I J Aanel A área do anel é Aanel πR² π R2² πR² 1 14 3πR²4 Substituindo R 2 10³ m I J 3πR²4 2 10⁵ 3π2 10³²4 19 A b Densidade variável Jr ar² A corrente é obtida por integração I from R2 to R Jr 2πr dr from R2 to R ar² 2πr dr I 2πa from R2 to R r³ dr 2πa r⁴4 from R2 to R Substituindo a 3 10¹¹ Am⁴ I 3π 10¹¹2 2 10³⁴ 1 10³⁴ 71 A Questão 4 Uma placa resistiva possui três trechos com diferentes condutividades Com os dados fornecidos resolvemos a Campo elétrico nos três trechos O campo elétrico E é E ΔVΔx Usando os valores da figura e a escala horizontal xs 8 mm Trecho 1 ΔV 4 V Δx 2xs 16 mm 16 10² m E₁ 4 16 10² 500 Vm Trecho 2 V 32 V x 8xs 64 mm 6 4 102 m E2 32 6 4 102 4000 Vm Trecho 3 V 8 V x 8xs 64 mm 6 4 102 m E3 8 6 4 102 1000 Vm b Condutividade nos trechos 1 e 2 Usando a relacao J σE σ J E I A E I A E Sabendo que σ3 3 107 Ω m1 e J3 σ3E3 J3 3 107 1000 3 1010 Am2 Logo a corrente I e I J3 A 3 1010 4 103 1 2 108 A Calculando σ1 e σ2 σ1 I A E1 1 2 108 4 103 500 6 107 Ω m1 σ2 I A E2 1 2 108 4 103 4000 0 75 107 Ω m1 c Corrente atraves da placa A corrente total e I 1 2 108 A Questao 5 Um fio de ferro possui diˆametro d 0 5 mm e foi analisado para diferentes comprimentos L a Resistˆencia R A resistˆencia R e R V I 4 Para cada par V I calculamos R L 0 1 m R 1 0 mV 2 0 mA 0 5 Ω L 0 2 m R 2 0 mV 2 0 mA 1 0 Ω L 0 3 m R 3 0 mV 2 0 mA 1 5 Ω L 0 4 m R 4 0 mV 2 0 mA 2 0 Ω L 0 5 m R 5 0 mV 2 0 mA 2 5 Ω b Grafico R vs L A relacao entre R e L e linear e descrita por R ρL A A inclinacao do grafico fornece ρ A Sabendo A πd2 4 A π0 5 1032 4 1 963 107 m2 A resistividade ρ pode ser calculada a partir do ajuste linear Questao 6 Um cilindro oco possui raio interno ra raio externo rb comprimento L e resistividade ρ Devemos determinar a Resistˆencia do cilindro em termos de L ρ ra e rb A resistˆencia eletrica e dada por R ρL A onde A e a area da secao transversal Para o cilindro oco A πr2 b r2 a Substituindo R ρL πr2 b r2 a b Densidade de corrente no cilindro A densidade de corrente J e J I A Substituindo A πr2 b r2 a J I πr2 b r2 a 5 c Campo elétrico no interior do cilindro O campo elétrico E é dado por E VL d Resistência para corrente radial Se a corrente flui radialmente para fora a resistência é R ρ 2πL ln rb ra Questão 7 O circuito contém Fontes ε₁ 10 V ε₂ 4 V Resistores R₁ 150 kΩ R₂ 10 kΩ R₃ 100 kΩ Devemos determinar as correntes I₁ I₂ e I₃ além das tensões nos resistores a Determinar as correntes usando as Leis de Kirchhoff Aplicando a Lei das Malhas ε₁ I₁R₁ I₃R₃ 0 ε₂ I₂R₂ I₃R₃ 0 Pela Lei dos Nós I₁ I₃ I₂ Resolvendo o sistema I₁ 0036 mA I₂ 00913 mA I₃ 00187 mA b Determinar as tensões nos resistores Usando V IR VR₁ I₁R₁ 54 V VR₂ I₂R₂ 0913 V VR₃ I₃R₃ 187 V a Leitura do amperímetro Usamos a combinação de resistores para encontrar a resistência equivalente Req R₁ 1R₂ 1R₃¹ Substituindo Req 4 16 16¹ 7 Ω A corrente total no circuito é I ε Req 57 0714 A b Nova leitura do amperímetro Quando a fonte e o amperímetro trocam de posição a corrente permanece a mesma I 0714 A Questão 9 a Gráfico correntetensão Para os dados fornecidos traçamos o gráfico I versus ΔV Se a relação for linear o material é ôhmico b Gráfico de lnI versus ΔV Para verificar a natureza da relação calculamos lnI lncorrente em μA Traçamos o gráfico lnI versus ΔV para análise c Determinar a temperatura A inclinação do gráfico de lnI é Inclinação q kB T onde q 16 10¹⁹ C kB 138 10²³ JK Isolando T T q Inclinação kB Questão 10 O circuito possui as equações I₁220 Ω 580 V I₂370 Ω 0 I₂370 Ω I₃150 Ω 310 V 0 I₁ I₃ I₂ 0 a Diagrama do circuito Desenhar o circuito com os resistores 220 Ω 370 Ω 150 Ω e as fontes 5 80 V e 3 10 V b Determinar as correntes Resolvemos o sistema de equacoes simultˆaneas para I1 I2 e I3 I1 11 mA I2 9 13 mA I3 1 87 mA Interpretacao Fısica A corrente negativa I3 indica que seu sentido real e oposto ao escolhido inicialmente Questao 11 Enunciado Determine a resistˆencia equivalente entre os pontos a e b na figura ao lado e calcule a corrente em cada resistor se uma diferenca de potencial de 34 0 V e aplicada entre os pontos a e b Solucao a Para calcular a resistˆencia equivalente aplicamos as regras de associacao em serie e paralelo dos resistores Considerando a configuracao do circuito incluir figura se disponıvel Req detalhes das associacoes para obter o valor final Substituindo os valores dos resistores Req 17 1 Ω b Usando a Lei de Ohm a corrente total e I V Req 34 0 17 1 1 99 A A corrente em cada resistor e calculada com base nas regras de divisao de corrente e tensao Para os resistores de 4 Ω e 9 Ω I4 Ω 1 99 A I9 Ω 1 99 A Para o resistor de 7 Ω I7 Ω 1 17 A Para o resistor de 10 Ω I10 Ω 0 818 A 8 Questão 12 Enunciado Determine a diferença de potencial entre os pontos a e b e a corrente no resistor 20Ω no circuito dado Solução a Aplicando a Lei de Ohm e as regras de associação de resistores calculamos Vab 568 V b A corrente no resistor de 20Ω é I Vab R 56820 0227 A Questão 13 Questão 13 Enunciado No circuito dado o capacitor está inicialmente descarregado com a chave aberta Após ligar a chave S calcule a A corrente que passa pela chave S imediatamente após a ligação b A corrente através de R2 c A carga do capacitor C em função do tempo d A corrente através do resistor R1 em função do tempo e A corrente que passa pela chave S em função do tempo f Após abrir a chave S quanto tempo leva para a carga do capacitor chegar a 10 do valor inicial Solução a Imediatamente após ligar a chave o capacitor se comporta como um curtocircuito portanto a corrente inicial é determinada por IS εR1 R2 b A corrente através de R2 é IR2 εR2 c A carga no capacitor varia com o tempo segundo qt Cε 1 etτ onde τ R1 R2C d A corrente através do resistor R1 é IR1t ε R1 etτ 9 e A corrente total que passa pela chave S é ISt εR1 R2 ε R1 etτ f Para que a carga do capacitor seja 10 do valor inicial após a chave ser aberta usamos qt 01 qmax Cε 1 etτ Resolvendo para t t τ ln01 ln10R1 R2C Questão 14 Enunciado Para o circuito com uma fonte ε dois resistores R1 e R2 e um capacitor de capacitância C determine a A corrente que passa pela bateria em função do tempo após a chave ser fechada b A corrente pela bateria imediatamente após a chave ser fechada t 0 c As correntes nos resistores para t d A tensão entre os terminais do capacitor para t Solução a Após a chave ser fechada a corrente na bateria é dada por It ε R1 R2 ε R2 R1 R2 R1 etR1 R2 CR1 R2 b No instante t 0 a corrente na bateria é I0 ε R1 c Para t o capacitor está totalmente carregado e as correntes nos resistores são IR1 IR2 ε R1 R2 d A tensão nos terminais do capacitor para t é VC R2 ε R1 R2 Questão 15 Considere um circuito RC em série num processo de carga do capacitor onde R 560 C 220 e a fonte de alimentação ε 10 O capacitor está inicialmente descarregado 10 a Equação para VCt A diferença de potencial no capacitor durante o processo de carga é dada por VCt ε 1 etRC 1 Substituindo os valores de R e C VCt 10 1 et560103220106 2 resultando em VCt 10 1 et1232 V 3 b Equação para It A corrente elétrica no circuito é It ε R etRC 4 Substituindo os valores It 10 560 103 et1232 5 resultando em It 1786 106 et1232 A 6 c Equação para VRt A diferença de potencial no resistor é VRt ε etRC 7 Substituindo VRt 10 et1232 V 8 d Tempo para VC VR Quando VCt VRt ε 1 etRC ε etRC 9 Simplificando 1 etRC etRC 10 Somando etRC dos dois lados 1 2 etRC 11 Isolando t t RC ln2 12 Substituindo os valores t 1232 ln2 854 s 13 11 Questão 16 Para o circuito dado ε fonte de tensão R resistência C capacitância a Carga qt A carga no capacitor é qt εC 1 etRC 14 b Corrente I t A corrente no circuito é I t εR etRC 15 c Energia potencial eletrostática UCt A energia armazenada no capacitor é UCt 12 C VCt2 16 d Energia fornecida pela bateria Uε A energia total fornecida pela bateria é Uε 0 ε I t dt 17 e Energia dissipada no resistor UR A energia dissipada é UR 0 R I t2 dt 18 Verificase que Uε UC UR Questão 17 a Completar a coluna lnI Usamos a fórmula lnI lnI μA Substituindo os valores da tabela t s I µA lnI µA 0 67 47 4 2108 100 34 36 3 5381 200 17 50 2 8622 300 8 91 2 1896 400 4 53 1 5109 500 2 31 0 8365 600 1 17 0 1568 700 0 60 0 5108 b Como fazer o grafico O grafico de lnI versus ts e uma linha reta pois a corrente em um circuito RC decresce exponencialmente It I0etRC Portanto lnI lnI0 t RC Neste grafico O eixo y e lnI O eixo x e t A inclinacao da reta e α 1 RC e a intersecao no eixo y e lnI0 c Determinar a equacao da reta A equacao geral da reta e lnI αt β Com os calculos α 0 0068 s1 β 4 2108 Logo lnI 0 0068t 4 2108 d Determinar τ e C A constante de tempo τ e dada por τ 1 α Substituindo τ 1 0 0068 147 05 s A capacitˆancia C e C τ R Sabendo que R 148 2 103 Ω C 147 05 148 2 103 103 F 1 0 mF 13 Questão 18 a Completar a coluna ln εΔV Usamos a fórmula ln εΔV lnε lnΔV onde ε 619 V Substituímos os valores da tabela t s ΔV V ln εΔV 0 100 18221 50 200 11314 100 300 07178 150 400 04364 200 500 02218 250 600 00318 b Como fazer o gráfico O gráfico de ln εΔV versus ts é uma linha reta devido à equação exponencial da carga ΔV ε 1 etRC o que implica ln εΔV tRC Neste gráfico O eixo y é ln εΔV O eixo x é t A inclinação é α 1RC c Determinar τ e C A inclinação α da reta é α 00118 s1 Logo τ 1α 100118 847 s A capacitância C é C τR Sabendo que R 10 106 Ω C 847 10 106 847 μF Exercícios Halliday Lista 3 Questão 1 Em um átomo de hidrogênio em seu estado fundamental a Energia potencial A energia potencial é dada por U kee2r 1 onde ke é a constante de Coulomb e é a carga do elétron e r053 1010 m Substituindo os valores U 899 10916 10192 053 1010 436 1018 J 2 b Energia cinética A energia cinética é K U2 3 onde K 218 1018 J c Energia total A energia total é E U K 436 1018 218 1018 218 1018 J 4 d Frequência do movimento A frequência é dada por f v2πr 5 onde v sqrtkee2mer Substituindo os valores f 656 1015 Hz 6 Questão 2 Um disco oco com distribuição superficial de carga σ σ0 br a Carga total no disco A carga total é Q ab σ 2πr dr 2πσ0 b ab 1r dr 7 Resolvendo a integral Q 2πσ0 b lnrab 2πσ0 b lnba 8 b Potencial elétrico no eixo do disco O potencial elétrico a uma distância x é dado por Vx 14πε0 ab σ 2πr sqrtr2 x2 dr 9 Substituindo σ σ0 b r Vx σ0 b ε0 ab 1 sqrtr2 x2 dr 10 Resolvendo a integral Sabemos que 1 sqrtr2 x2 dr lnr sqrtr2 x2 C Substituímos essa solução no intervalo de integração ab I lnr sqrtr2 x2ab Substituímos rb e ra I lnb sqrtb2 x2 lna sqrta2 x2 Utilizamos a propriedade dos logaritmos lnA lnB lnAB I lnb sqrtb2 x2 a sqrta2 x2 Agora substituímos o resultado de I na expressão para Vx Vx σ0 b ε0 lnb sqrtb2 x2 a sqrta2 x2 Portanto o potencial Vx é dado por Vx σ0 b ε0 lnb sqrtb2 x2 a sqrta2 x2 Vx σ0 b ε0 lnr sqrtr2 x2ab σ0 b ε0 lnb sqrtb2 x2 a sqrta2 x2 11 c Energia potencial elétrica A energia potencial para uma carga q0 colocada a uma distância x0 é U q0 Vx0 q0 σ0 b ε0 lnb sqrtb2 x02 a sqrta2 x02 12 Questão 3 Uma circunferência com densidade de carga linear λ λ0 sin2 φ a Potencial elétrico no eixo z O potencial elétrico no eixo z é dado por Vz 14πε0 02π λ a sqrta2 z2 dφ 13 Substituindo λ λ0 sin2 φ Vz λ0 a 4πε0 sqrta2 z2 02π sin2 φ dφ 14 Usando a identidade sin2 φ 1 cos2φ2 temos 02π sin2 φ dφ 02π 12 dφ π 15 Logo Vz λ0 a 4ε0 sqrta2 z2 16 b Campo elétrico no eixo z O campo elétrico é dado por Ez Vz 17 Derivando Vz em relação a z Ez λ0 a z 4ε0 a2 z232 18 Questão 4 Um disco de raio R tem uma densidade superficial de carga não uniforme σ σ0 r2R2 onde σ0 é uma constante This page contains only one line of text at the top a Determinar a carga total no disco A carga total Q é dada pela integral da densidade superficial de carga sobre a área do disco Q σ dA Como dA 2πr dr Q ₀ᴿ σ₀ r²R² 2πr dr Resolvendo Q 2πσ₀R² Q 2πσ₀R² ₀ᴿ r³ dr A integral de r³ é dada por r³ dr r⁴4 Substituindo os limites de integração Q 2πσ₀R² r⁴4₀ᴿ Q 2πσ₀R² R⁴4 Q πσ₀R²2 Portanto a carga total no disco é Q πσ₀R²2 b Determinar o potencial Vx no eixo do disco a uma distância x do centro O potencial Vx é dado pela soma de contribuições infinitesimais de cargas no disco Para um elemento de carga dq dq σ dA σ₀ r²R² 2πr dr O potencial devido a dq é dV dq4πε₀r² x² Substituindo dq dV σ₀ r²R² 2πr dr 4πε₀r² x² Simplificando dV σ₀ r³ 2ε₀ R² r² x² dr O potencial total é obtido integrando de r 0 até r R Vx ₀ᴿ σ₀ r³ 2ε₀ R² r² x² dr Usamos o dado fornecido para a integral r³r² x² dr 13r² 2x²r² x² Aplicando os limites de integração Vx σ₀ 2ε₀ R² 13 r² 2x²r² x²₀ᴿ Após resolver o resultado é Vx σ₀ 6ε₀ R² R² 2x²R² x² 2x²x Questão 5 Um capacitor plano tem capacitância C 1 F e distância entre as placas d 1 mm A capacitância de um capacitor plano é dada por C ε₀ A d Substituindo os valores 1 ε₀ A 0001 A 1 0001 ε₀ Sabendo que ε₀ 885 10¹² Fm A 0001 885 10¹² A 113 10⁸ m² Portanto a área necessária é A 113 10⁸ m² 113 km² Questao 6 Um capacitor cilındrico de altura h 5 cm raio interno a 6 mm e capacitˆancia C 2 pF a Determinar o raio externo b A capacitˆancia de um capacitor cilındrico e dada por C 2πε0h lnba Isolando lnba lnba 2πε0h C Substituindo os valores lnb6 103 2π885 1012005 2 1012 lnb6 103 1392 Tomando o exponencial dos dois lados b 6 103 e1392 b 241 mm Portanto o raio externo e b 241 mm b Campo eletrico maximo O campo eletrico maximo ocorre na superfıcie interna r a E V lnba r Substituindo os valores E 50 ln2416 6 103 E 6 103 Vm Portanto o campo eletrico maximo e E 6 103 Vm 6 Questão 7 Um capacitor cilíndrico muito longo com comprimento L raios rₐ e rb e um dielétrico com constante κ a Energia potencial usando C A capacitância é dada por C 2πε₀ κ L lnrbrₐ A energia potencial armazenada é U Q² 2C Substituindo C U Q² lnrbrₐ 4πε₀ κ L b Integração da densidade de energia A densidade de energia é u ε₀ κ E² 2 O campo elétrico é E Q 2πε₀ κ r L Substituindo u ε₀ κ 2 Q 2πε₀ κ r L ² Integrando o volume cilíndrico U rₐʳᵦ u 2πr L dr Após resolver o resultado coincide com U Q² lnrbrₐ 4πε₀ κ L Questão 8 Um capacitor esférico é constituído de duas cascas esféricas de raios rₐ e rb rₐ rb carregadas com cargas Q e Q respectivamente O espaço entre as cascas é preenchido com um dielétrico de constante κ a Energia potencial usando a capacitância C A capacitância de um capacitor esférico é dada por C 4πε0κrarb rb ra A energia potencial armazenada é U Q² 2C Substituímos C U Q²rb ra 8πε0κrarb Portanto a energia potencial é U Q²rb ra 8πε0κrarb b Integrando a densidade de energia do campo elétrico A densidade de energia é dada por u ε0κE² 2 O campo elétrico E entre as cascas esféricas é E Q 4πε0κr² Substituímos E em u u ε0κ2 Q 4πε0κr²² u Q² 32π²ε0κr⁴ A energia total é obtida integrando u sobre o volume esférico entre ra e rb U rarb u 4πr² dr Substituímos u U rarb Q² 32π²ε0κr⁴ 4πr² dr Simplificamos U Q² 8πε0κ rarb 1 r² dr A integral de 1 r² é 1 r U Q² 8πε0κ 1 rrarb Substituímos os limites U Q² 8πε0κ 1 ra 1 rb Colocando em uma forma equivalente U Q²rb ra 8πε0κrarb Portanto o resultado obtido coincide com o método anterior Questão 9 Considere o circuito da figura formado por cinco capacitores de capacitância C 5 nF e uma bateria com diferença de potencial V 12 V a Capacitância equivalente da associação O circuito apresenta uma combinação de capacitores em série e em paralelo Para capacitâncias em série temos 1 Ceq série 1 C1 1 C2 Para capacitâncias em paralelo temos Ceq paralelo C1 C2 Analisando o circuito 1 Os três capacitores à esquerda estão em série A capacitância equivalente é 1 C1 1 C 1 C 1 C 1 C1 3 C C1 C 3 2 Os dois capacitores restantes estão em paralelo com C1 A capacitância equivalente total é Ceq C1 C C Ceq C 3 2C Ceq 7C 3 Substituímos C 5 nF Ceq 7 5 3 nF Ceq 875 nF b Carga sobre cada capacitor A carga total no circuito e Qtotal Ceq V Qtotal 875 nF 12 V Qtotal 105 nC Para os capacitores em serie a carga e a mesma Q1 Q2 Q3 Qtotal Para os capacitores em paralelo a carga e proporcional a capacitˆancia Q4 C V Q5 C V Substituımos Q4 Q5 5 nF 12 V Q4 Q5 60 nC Portanto as cargas sobre os capacitores sao Q1 Q2 Q3 15 nC Q4 Q5 60 nC 10