Exercício Onda Eletromagnética Resolvido-2022 2

b) Uma onda eletromagnética é formada por um campo elétrico e um campo magnético que oscilam, mantendo-se sempre perpendiculares entre si (ver figura). O transporte de energia de uma onda eletromagnética é descrito pelo vetor de Poynting, \( \vec{S} \), definido por: \[ \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}. \] Sabendo que os módulos dos campos, em uma onda eletromagnética, satisfazem a relação \( E = cB \) em todos os pontos, onde \( c \) corresponde à velocidade constante \( c = 1/\mu_0 \varepsilon_0 \), mostre que o vetor de Poynting, de fato, é proporcional à densidade total de energia eletromagnética em cada ponto da onda. Lembrando que a força de Lorentz é dada por \[ \vec{F} = Q \vec{E} + Q \vec{v} \times \vec{B} \] O trabalho realizado por essa força durante um deslocamento \( d\vec{l} = \vec{v} dt \) é \[ \delta W = \vec{F} \cdot d\vec{l} = (Q \vec{E} + Q \vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l} \] ou ainda \[ \delta W = (Q \vec{E} + Q \vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{v} dt \] Lembrando que \( \vec{v} \times \vec{B} \) é perpendicular a \( \vec{v} \), logo, \[ \delta W = Q \vec{E} \cdot \vec{v} dt \] ou ainda \[ \frac{\delta W}{dt} = Q \vec{E} \cdot \vec{v} \] taxa de realização do trabalho ou potência dissipada. Ao invés de ter uma única carga \( Q \), consideramos uma densidade volumétrica de carga \( \rho \) e uma distribuição de corrente com densidade \[ \vec{J} = \rho \ \vec{v} \] Assim a potência dissipada será \[ P = \int_V \vec{J} \cdot \vec{E} \ dV \] Lembrando da Lei de Ampère-Maxwell, para eliminar \( \vec{v} \): \[ \vec{J} = \nabla \times \vec{H} - \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \] \[ \therefore \ \vec{J} \cdot \vec{E} = \vec{E} \cdot (\nabla \times \vec{H}) - \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \] Lembrando da identidade \[ \nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = (\nabla \times \vec{A}) \cdot \vec{B} - (\nabla \times \vec{B}) \cdot \vec{A} \] temos: \[ \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) = (\nabla \times \vec{E}) \cdot \vec{H} - (\nabla \times \vec{H}) \cdot \vec{E} \] \[ \therefore \ \vec{E} \cdot (\nabla \times \vec{H}) = (\nabla \times \vec{E}) \cdot \vec{H} - \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) \] \( [1] \) Utilizando agora a Lei de Faraday, chegamos em \[ \vec{E} \cdot (\nabla \times \vec{H}) = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \vec{H} - \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{B}) \] Logo, \[ \vec{J} \cdot \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \vec{H} - \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) - \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot \vec{E} \] \( [1] \) Agora, temos que \[ \vec{D} = \varepsilon \vec{E} \quad \text{e} \quad \vec{B} = \mu \vec{H} \] Se o meio for linear, podemos escrever \[ \frac{\partial}{\partial t} (\vec{E} \cdot \vec{D}) = \varepsilon \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot \vec{E} + \varepsilon \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \] ou ainda \[ \frac{\partial}{\partial t} (\vec{E} \cdot \vec{D}) = 2 \varepsilon \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot \vec{E} \] \[ \varepsilon \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot \vec{E} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (\vec{E} \cdot \vec{D}) \] \( [2] \) Analogamente para o campo magnético, temos no final \[ \vec{H} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (\vec{B} \cdot \vec{H}) \] \( [3] \) Substituindo as equações (2) e (3) em (1), temos \( \vec{J} \cdot \vec{E} = -\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (\vec{B} \cdot \vec{A}) - \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) - \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (\vec{E} \cdot \vec{D}) \) ou ainda \( \vec{J} \cdot \vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{1}{2} (\vec{E} \cdot \vec{D} + \vec{B} \cdot \vec{H}) \right] - \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) \) (4) Os três termos do lado direito da igualdade têm dimensão de energia por unidade de volume por unidade de tempo. Assim, chamamos \( U = \frac{1}{2} \vec{E} \cdot \vec{D} \) e \( U = \frac{1}{2} \vec{B} \cdot \vec{H} \) que são as chamadas densidades volumétricas de energia elétrica e magnética armazenadas nos campos, respectivamente. Assim, a soma destas duas densidades será a densidade volumétrica total de energia eletromagnética armazenada nos campos, ou seja, \( U_{e.t} = \frac{1}{2} (\vec{E} \cdot \vec{D} + \vec{B} \cdot \vec{H}) \). O terceiro termo da equação (4) é chamado vetor de Poynting \( \vec{S} \), onde \( \vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} \) Logo, \( \vec{J} \cdot \vec{E} = \frac{\partial U_{e.t}}{\partial t} - \nabla \cdot \vec{S} \) ou \( \frac{\partial U_{e.t}}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{S} - \vec{J} \cdot \vec{E} \) como \( \vec{D} = \varepsilon \cdot \vec{E} \) e \( \vec{B} = \mu \vec{H} \) as densidades de energia serão \( U = \frac{1}{2} \cdot \vec{E} \cdot \varepsilon \cdot \vec{E} \) \( U = \frac{\varepsilon}{2} \cdot \vec{E}^2 \) \( U = \frac{1}{2} \cdot \vec{B} \cdot \vec{B} / \mu \) \( U = \frac{1 \cdot B^2}{2 \mu} \)