Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV e Método das Forças - Análise de Estruturas

δ e Nn EA dx e Vv GA χ dx e Mm EI dx e Tt GJ dx ① Problema Virtual 1 ΣFx0 Xe 0 kN ΣMz0 Ye 5 1 25 0 Ye 05 kN ΣFy0 Ya Ye 1 0 Ya 05 kN ② Problema real Problema Zero ΣFx0 Xe 4 0 Xe 4 kN ΣMz0 Ye 5 3 4 10 25 5 5 25 0 Ye 199 kN ΣFy0 Ya Ye 10 5 5 0 Ya 151 kN Ma 4 3 12 M Ye 25 1Xe 1 3 5 25 1 25 22125 kNm Análise com a tabela δ① 0 δ④ 0 δ② 22125 125 11125 δ③ 2742 EI δ③ 2087 EI Estruturas Hiperestáticas PRINCIPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS PTV 12108 O cálculo de deslocamentos em determinados pontos da estrutura podem ser avaliados pela expressão δ e Nn EA dx e Vv GA χ dx e Mm EI dx e Tt GJ dx EXEMPLO 1 Determinar o deslocamento vertical e a rotação do ponto B da viga abaixo Considere EI 10000 kNm² q10 kNm l 2m A B Real q1 10 kNm Xα ΣFy 0 YA 10 2 0 YA 20 kN ΣMA 0 MA 10 2 1 0 MA 20 kNm Virtual ΣFy 0 YA 1 0 YA 1 ΣMZ 0 má 1 2 má 2 MA 20 20X 40x X2 mx 2 1 x MA YA Mx 5x² 20x 20 mx x 2 PTV δvb e Nn EA dx e Vv GA χ dx e Mm EI dx e Tt GJ dx δvb e 5x² 20x 20 x2 dx EI 0 5x³ 20x² 10x² 20x 40x 40 dx 1 EI 0 30x² 60 x 1EI 5x⁴ 4 30x³ 3 60x² 2 40x 0 1EI 54 43 10 2³ 30 2² 40 2 20 EI 00002m 10 kNm A δ 00002 m 02 mm EXEMPLO 2 PTV com tabela Determine o deslocamento vertical do ponto C Considere E 205 GPa e barra quadradas 20 x 20 cm Tendo em vista a validade da hipótese do comportamento elástico linear apenas dizer pelo princípio da superposição que Conto para garantirmos que os problemas sejam equivalentes precisamos que o deslocamento δB e δC sejam iguais aqueles observados nas condições de compatibilidade Ou seja δB 0 e δC 0 Para determinar δB e δC usamos o princípio dos trabalhos virtuais SISTEMÁTICA DO MÉTODO DAS FORÇAS 1 Definir o grau de estaticidade da estrutura g R v 3 b n 2 2D 2 3 1º n de nós na estrutura 1º n de barras na estrutura 1º n de equações associados às rótulas r Σ ri Σ bi 4 Momento de reações 2 Problema isostático equivalente Sistema Principal Nesta etapa procedemos removendo vínculos excedentes ou adicionando rótulas para tornar a estrutura isostática MUITO cuidado esta etapa é a maior fonte de erro pois é comum deixar sem querer a estrutura hipostática Esta etapa tem varias soluções possíveis 3 Usar o princípio da superelevação para separar o problema Aqui vemos separar o sistema principal nos problemas da estrutura O problema zero tem todas as forças conhecidas originarias da estrutura hiperestática Os demais problemas problema i tem apenas 1 força incógnita decorrente da transformação em um problema isostático Essas forças são chamadas de hiperestáticas 4 Uso do PTV para calculo do deslocamento nos vínculos removidos ou rótulas introduze Obs Para cada um dos problemas separados Precisamos calcular os deslocamentos na posição dos vínculos removidos ou rótulas introduzidas No nosso exemplo precisamos aplicar o PTV 6 vezes N g² g 41 Reações e solicitações Para aplicar o PTV precisamos calcular reações e solicitações de todos os problemas No nosso caso 3 problemas 42 Tabela de KurtBayer Como precisamos calcular varios PTVs O uso da tabela de KurtBayer se torna fundamental para acelerar o procedimento 5 Condições de compatibilidade Uma vez que calculamos todos os deslocamentos precisamos garantir que a solução suposta tenha o mesmo deslocamento da estrutura comum UB δ10 δ11 δ12 0 Sistema de equações UC δ20 δ21 δ22 0 51 Resolução do problema A resolução do sistema de equações tem como resultado os hiperestáticas que nada mais são do que as reações da estrutura original este problema costuma ser resolvido matricialmente EXEMPLO 1 210825 1tƒ m 1 Grau de Estaticidade g R v 3 b n 5 0 3 3 4 2 2 Sistema Principal δB 0 δ1 δ10 δ11 δ12 δC 0 δ2 δ20 δ21 δ22 3 Problemas Principais CB3 CB1 CB2 δC δ ① δ ② δ ③ δ ④ 47982 EI E 205 GPa 205106 KPa I bh³12 20 cm 02 02³12 δC 47982 205106 0202³12 0001755 m 1755 mm HIPÓTESES BÁSICAS Estruturas Hiperestaticas são muito mais sensíveis as hipóteses adotadas do que as estruturas Isostaticas o que exige uma rigidez muito maior para a resolução Primeiramente assumimos que o material da estrutura é elastico linear Hipótese de Hooke com comportamento rigido por σ E ε Este comportamento apenas se mostra verdadeiro em regime de pequenas deformações o que por só exclui a possibilidade de calcular com materia poliméricos Outras hipóteses fundamentais são Teoria de vigas de Euler Bernoulli Estrutura não apresenta colapso MÉTODO DAS FORÇAS O método das forças tem como objetivo a determinação das reações de estruturas hiperestáticas Como as equações de equilíbrio não são suficientes precisamos recorrer as condições de compatibilidade Tais condições definem os deslocamentos dos vínculos da estrutura ① Equações de Equilíbrio ΣFx 0 ΣFy 0 ΣMz 0 ② Condições de compatibilidade Vínculo A UA 0 θA 0 Vínculo B UB 0 Vínculo C UC 0 Condições que descrevem os possíveis deslocamentos dos nós 41 Solicitações ΣMáb0 yDB30120100 yDB 667 tf ΣFy0 yDAyDB1200 yDA 1333 tf Para a tabela C 2qℓ² 8 125 Para a tabela Para a tabela 42 Tabela de KurtBayer δ10 103EI 833 667 103EI 667 125 106EI 833 2 667 333 667 667 2 333 103EI 125 667 333 103EI 667 333 δ10 70833 EI δ20 δ10 666667 EI δ11 103EI 667667 203EI 667667 δ11 444490 EI δ11 δ11 F1 δ22 444490 EI m1 m2 δ12 δ21 103EI 667333 103EI 333667 106EI 667 2 333 667 333 333 21 667 δ12 38889 EI δ21 5 Condição de Compatibilidade δB 0 δ1 δ10 δ11 δ12 Σi δ11F1 δ12F2 δC 0 δ2 δ20 δ21 δ22 δ21F1 δ22F2 51 Resolução do problema 70833 EI 444490 EI F1 38889 EI F2 0 666667 EI 38889 EI F1 44449 EI F2 0 444490 38889 F1 0 70833 F2 0 66667 F1 12 tf F2 45 tf EXERCÍCIO 2 Determine as reações da viga abaixo Use apenas rótulos para construir o sistema Principal 1tƒm 10 m 10 m 10 m 1 Grau de estaticidade g R r 3bn 5 0 334 2 2 Sistema principal 1tƒm 10 m 10 m 10m 3 Casos básicos 1tƒm CB2 CB1 CBZ 41 Solicitações ΣMRé 0 10 yD 0 ΣMRB 0 20 yC 1 0 yc 1 10 ΣMA 0 30 yD 20 yc 10 yD 1 1 0 γë 2 10 ΣFx 0 yA yB yC yD 0 yA 1 10 42 PTV Tabela de KurtBeyer δ10 0 δ10 833 EI 103EI 1 125 1 103EI 125 1 δ20 0 0 δ20 417 EI 103EI 125 1 δ11 0 δ11 20 3EI 103EI 114 103EI 14 δ12 δ21 0 0 δ12 δ21 10 6EI 106EI 11 δ22 20 3EI 5 Compatibilização 0 δ8 δ1 δ10 δ11F1 δ12F2 0 δC δ2 δ20 δ21F1 δ22F2 Problema Sistema Casos básicos Original Principal F1 1167 tƒm F2 333 tƒm 6 Reações YA yA yAF1 yAF2 383 tf YB yB yBF1 yBF2 12 tf YC yC yCF1 yCF2 45 tf YD yD yDF1 yDF2 333 tf EXERCÍCIO 3 Determine as reações 1tƒm 10 m 10 m 10 m E 210 GPa I 37000 cm4 3 Casos básicos 41 Solicitações 42 PTV Tabela de KurtBeyer δB 003m δC 001m Exatamente igual ao exemplo 1 1 Grau de estaticidade g Rr 3 bn 5 0 334 2 2 Sistema principal 1tƒm YA YD 10 m 10 m 10 m YA YA0 YA1F1 YA2F2 YB YC YD ② SP 1 tγm ③ Casos básicos 0005 por semelhança de triângulos CBZF CB1 δ11 CBZD CB2 δ22 δ12 δ20 θC θC 001 δD10 δ20 θC θC² ⑤ Compatibilidade de deslocamentos D θB δ1 δD10 δ11F1 δ12F2 D θB δ2 δD20 δ20 δ21F1 δ22F2 EXERCÍCIO 4 Determine as reações ao portico abaixo Considere ΣEIp EI V 42000 KIVm² 10 kN 2 kNm 3 m 4 m ① Grau de elasticidade g R v 3 b n 5 0 3 34 2 ② Sistema principal 2 kNm 10 kN g 5 2 8 34 0 δD 005 m CB2F CB2D ② Casos Básicos δD 005 m CB1 CB2 δD 005 m 6 Reações XA XA0 XA1F1 XA2F2 2422 kN YA YA0 YA1F1 YA2F2 3104 kN XD XD0 XD1F1 XD2F2 3422 kN YD YD0 YD1F1 YD2F2 2304 kN MD MD0 MD1F1 MD2F2 13814 kNm APOIOS ELÁSTICOS Em estruturas isostáticas apoios elásticos não precisam de tratamento especial tendo suas reações calculados como se fossem apoios rígidos Em estruturas hiperestáticas por outro lado há componentes importantes devido se deslocamento o que altera a express são do PTU Contribuição de modos lineares δne Nne EA Vne GA x Mxme EI TkTe GJ dx Fnkfnke Kn MJkmJm ke Kn Contribuição de molas de deflexão Na situação que uma destas molas é removida da estrutura original l para compor o sistema principal aquela mola apenas provoca contribuição no caso básico em que sua respectiva hiperestática se encontra Neste caso FnkF1 vem do caso κ e fn11 Por outro lado se a mola não ficou removida sua contribuição devevá ser adicionada em todos os deslocamentos sendo Fnk a reação em um caso básico κ e FnJ a reação no problema virtual J caso básico com FJ1 EXERCÍCIO 5 Determine as reações Considere EI81000 kNm2 K12000 kNm e K25000 kNm 1 Grav de Estaticidade gRr 3bn 50 3 12 2 2 Sistema Principal 3 Casos Básicos 41 Solicitações o ΣM2 0 5 Y8 205 25 0 Y8 50 kN o ΣFY 0 YA Y8 205 0 YA50 kN Diagramas 1 ΣM20 0 5 Y8 1 0 Y8 02 kN M0 kNm 9Q28 8 625 ΣFY 0 YA Y8 0 YA 02 kV M1 0 2 ΣM21 0 5 Y82 1 0 Y28 02 kN M2 m 0 2 ΣFY 0 YA2 Y82 YA2 02 kN 42 Deslocamentos PTU δ10 Y8 Y8 5 625 1 50 02 δ10 629 103 Rad K2 3EI K1 K2 δ20 Y8 Y8 5 625 1 50 02 δ20 371 103 Rad K2 3EI K1 K2 Y8 Y8 5 1 1 02 02 δ 406 105 Rad δ120 δ218 Y8 Y8 5 1 1 02 02 δ12 δ21 971 10 Rad K1 6EI K2 δ222 Y8 Y8 1 K2 5 1 1 02 02 1 K2 δ22 244 10 Rad K1 3EI K2 5 Condição de Compatibilidade 0 Oa δ10 δ11F1 δ12F2 0 Ob δ20 δ21F1 δ22F2 406 105 97 16 F1 F2 0 629 103 97 106 244 104 F1 F2 F2 0 371 103 F1 15268 kNm F2 9275 kNm 6 Reações YA YA0 YA1F1 YA2F2 50 02F1 02F2 824 kN XA 0 Ma F1 1528 kNm YB Y80 Y81F1 Y82F2 50 02 F1 02 F2 176 kN MB F2 9275 kNm EXERCÍCIO EI 1600 kNm2 K1 8000 kNm K2 1200 kNm 32 kNm 4m 3m 2m δx 001 m δy 0005 m 1 Grav de Estaticidade g Rr 3 bn 50 3 34 2 2 Sistema Principal 3 Casos Básicos 41 Solicitações ΣMR0 0 2 YC 322 1 0 YC 32 kN ΣMR0 0 3YA 323 15 0 YA 48 kN ΣFX 0 XB 0 ΣFY 0 YA YB YC 325 0 YB 80 kN ΣM12 0 M8 2YC 322 1 3YA 3231 15 0 M8 0 42 Deslocamentos PTU δ10F YAYA YC YC δ10 000425 Rad 48 1033 32 0 K1 K2 F 3EI 3EI 1 250 3EI 32 05 δ20F 0002 Rad YAYA YC YC 3EI F 3EI 3EI YAYA YC YC2 δ11F 0000326 Rad 3EI 3EI 1 2533 K1 K2 K1 K2 05 05 δ22F 00003125 Rad 2 2 3EI 1 1 4 1 1 0 0 05 05 3EI EI EI 1 2533 K1 K2 K1 K2 3EI 1 2533 K1 K2 K1 K2 3EI 1 2533 K1 K2 K1 K2 3EI 1 2533 K1 K2 K1 K2 3EI 0 0 δx 001 m δy 0005 m δ12 δ21 4 EI 11 0330 k2 10 05 k2 δ12 δ21 000025 Rad1 ⑤ Compatibilização de Deslocamentos 0 θ0 δ1 δ10F1 δ12F2 δ θ 0 F δ θ δ2 δ20 δ2 δ1F1 δ2F2 ᶠ ᵈ 0000326 000025 000025 00003125 F1 F2 0 0 000425 000167 0002 00025 F1 173 kNm F2 1224 kNm 6 Reações YA YA0 YAF1 YAF2 422 kN YB YB0 YBF1 YBF2 919 kN XA XA0 XAF1 XAF2 0 MB MB0 MBF1 MBF2 51 kNm YC YC0 YCF1 YCF2 259 kN