Laboratório de Controle Discreto

Disciplina Laboratório de Controle Discreto Trabalho em Equipe Considere o seguinte sistema analógico Este sistema deve ser controlado através de realimentação unitária por um controlador digital Dz com T01s e um segurador de ordem zero ambos em cascata com o sistema ver figura abaixo Os valores do ganho Kg e do polo pg da função de transferência Gps para cada equipe devem ser tirados da tabela no final deste texto Para todos os controladores calculados nos itens 2 a 5 devem ser traçados a resposta ao degrau unitário para a malha fechada com o controlador calculado e conferido as especificações desejadas em termos de tempo de subida sobrepasso e tempo de assentamento Também deve ser determinado os erros de regime 1 Discuta a estabilidade do sistema Gpz obtido a partir da avaliação de seus diagramas de Bode 1 ponto Mostre que o valor de ganho de estabilidade confere com o valor achado através do critério de Jury 2 Use a transformada bilateral w para projetar um controlador digital tal que a margem de fase seja de 60 com frequência de cruzamento de ganho maior que 1rads o erro estacionário seja reduzido em 10 vezes Justifique a escolha do controlador 2 pontos 3 Projete um controlador por alocação de polos que tenha desempenho de resposta transitória semelhante ao controlador do item 1 e erro ao degrau nulo Justifique seu projeto usando o diagrama de lugar das raízes 2 pontos 4 Projete um controlador do tipo PID que tenha desempenho de resposta transitória semelhante ao controlador do item 1 Quanto vale o erro de regime neste caso Justifique sua escolha de projeto 2 pontos 5 Projete um controlador em espaço de estado com desempenho semelhante ao controlador do item 1 Você pode usar como referência se necessário o par de polos encontrados no item 4 2 pontos 6 Sabemos que na prática o controlador discreto deve controlar o sistema contínuo Para comprovar o desempenho das malhas de controle projetados nos itens 13 4 e 5 monte os esquemas de controle usando o simulink Compare a resposta temporal para esses quatros esquemas de controle comente as semelhanças e eventuais diferenças Inclua os arquivos mxl desenvolvidos 1 ponto FORMATO DE ENTREGA Relatório um por equipe contendo todos os cálculos realizados para a solução das questões Matlab pode ser utilizado como apoio incluir comandos utilizados e figurasgráficos gerados Resposta apenas utilizando comandos do Matlab não serão aceitas Não é aceita resposta utilizando a toolbox SISOTOOLS nem PIDTUNE ALUNOS Ganho Kg Polo pg Cesar Batista 5 4 Análise em Tempo Discreto de Gps via ZOH 2 de julho de 2025 Sumário 1 Discretização de Gps por ZOH 2 11 Definições iniciais 2 12 Resposta ao impulso contínua 2 13 Amostragem e Ztransform 2 2 Cálculo Analítico dos Coeficientes de Gpz 2 3 Estabilidade via Critério de Jury 3 4 Margem de Ganho pelo Diagrama de Bode 4 5 Lugar das Raízes 5 6 Resposta ao Degrau 6 7 Conclusões 7 8 Item 2 Projeto do Controlador Digital 7 81 Especificações 7 82 Planta e ganho DC necessário 7 83 Escolha do compensador Lead 7 84 Resultados do Projeto 8 85 Análise do Diagrama de Bode Margem de Ganho e Margem de Fase 8 86 Análise da Resposta ao Degrau 9 87 Figuras 10 9 Item 3 Projeto por Alocação de Polos 10 91 Modelo Aumentado e Controlabilidade 11 92 Escolha dos Polos Desejados 11 93 Cálculo dos Ganhos 11 94 Desempenho em Malha Fechada 11 95 Justificativa pelo Lugar das Raízes 12 96 Item 4 Projeto de Controlador PID 12 10 Item 5 Projeto em Espaço de Estados 14 1 3 Estabilidade via Critério de Jury Para realimentação unitária com ganho K o polinômio característico em z é 1 K Gpz 0 implies z2 alpha1 z alpha2 0 com alpha1 a1 K b1 quad alpha2 a2 K b2 onde numericamente a1 1575157 quad a2 0606530 quad b1 0021157 quad b2 0017953 As condições de estabilidade de 2a ordem pelo critério de Jury são alpha2 1 1 1 alpha1 alpha2 0 2 1 alpha1 alpha2 0 3 Condição 1 alpha2 1 a2 K b2 1 implies 1 0606530 0017953 K 1 4 implies begincases 0606530 0017953 K 1 implies 0017953 K 0393470 implies K frac03934700017953 approx 21861 0606530 0017953 K 1 implies 0017953 K 1606530 implies K frac16065300017953 approx 8950 endcases 5 Como K 0 a condição mais restritiva é K 21861 Condição 2 1 alpha1 alpha2 0 1 a1 K b1 a2 K b2 0 6 implies 1 1575157 0021157 K 0606530 0017953 K 7 implies 1 1575157 0606530 0021157 0017953 K 8 implies 0031373 0039110 K 0 9 implies K frac00313730039110 approx 0802 10 Essa desigualdade é satisfeita para qualquer K 0 7 Conclusões Pelo Jury Kmax approx 21861 Pelo Bode Kmax approx 21902 approx 268dB A coerência entre os métodos é melhor que 02 8 Item 2 Projeto do Controlador Digital Neste item projetamos um controlador digital Dz satisfazendo 1 Margem de fase desejada PMdes60circ 2 Frequência de cruzamento de ganho omegacdes1 ext rads 3 Redução do erro estacionário em degrau por fator 10 81 Especificações Margem de fase PMdes60circ Crossover de ganho omegacdes1 ext rads Erro estacionário ess0 rightarrow essd fracess010 82 Planta e ganho DC necessário A planta discretizada por ZOH com Ts01 s é Gpz fracb1 z1 b2 z21 a1 z1 a2 z2 implies Gp1 fracb1 b21 a1 a2 approx 1252 Erro estacionário atual ess0 frac11Gp1 approx 0444 Para essd00444 L0des frac1 essdessd approx 2150 quad Kc fracL0desGp1 approx 1720 83 Escolha do compensador Lead Adotamos um compensador em avanço no domínio w Tustin Dw Kc frac1 au w1alpha au w com Kc 1720 Para PMdes60circ em omegac approx 12 phifalt 60circ 180circ angle Gpj12 phimax approx phifalt 5circ alpha frac1 sin phimax1 sin phimax quad au frac1omegac sqrtalpha Condição 3 1 α1 α2 0 1 a1 Kb1 a2 Kb2 0 11 1 1575157 0021157 K 0606530 0017953 K 12 1 1575157 0606530 0021157 0017953 K 13 1968627 0003204 K 0 14 K 1968627 0003204 61470 15 Conclusão Das três condições de Jury a mais restritiva é K 21861 Portanto o ganho máximo que mantém o sistema estável em malha fechada é KmáxJury 21861 4 Margem de Ganho pelo Diagrama de Bode A margem de ganho Gm em malha aberta feedback unitário satisfaz GpejωTs Gm 1 em Gp 180 4 Figura 1 Mapa póloszeros do laço fechado Pz 0 Lendo o gráfico Gm 219017 20 log10 Gm 2681 dB 5 Lugar das Raízes O sistema contínuo Gps 5 s 1s 4 é discretizado por ZOH com Ts 01 s resultando em Gpz 0021157 z1 0017953 z2 1 1575157 z1 0606530 z2 Sejam p1 e01 09048 p2 e04 06703 os polos e z0 0848 o zero finito Assíntotas Número de assíntotas p z 1 ângulo ϕ 2k 1π 1 π centro em σa p1 p2 z0 1 24231 Ponto de breakaway Da condição Dzb 0 zb p1p2 2 07876 5 Conclusão Dois ramos partem de p1 e p2 Um ramo vai ao zero em z0 0848 O outro segue para o infinito ao longo do eixo real negativo A região de estabilidade em malha fechada é 0 K Kmax 2190 6 Resposta ao Degrau Figura 2 Resposta ao degrau de malha fechada 6 1 Discretização de Gps por ZOH 11 Definições iniciais Gps fracYsRs fracKgs1spg quad Kg 5 quad pg 4 quad Ts 01 ext s 12 Resposta ao impulso contínua Fazendo frações parciais frac5s1s4 fracAs1 fracBs4 implies A frac53 B frac53 gpt frac53 et frac53 e4t 13 Amostragem e Ztransform Em t kTs gk gpkTs frac53 e01k frac53 e04k Gpz sumk0infty gk zk Os polos discretos são p1 e01 approx 0904837 quad p2 e04 approx 0670320 de modo que denz 1 p1p2 z1 p1 p2 z2 1 1575157 z1 0606530 z2 2 Cálculo Analítico dos Coeficientes de Gpz Em forma padrão Gpz fracb0 b1 z1 b2 z21 a1 z1 a2 z2 onde a1 1575157 quad a2 0606530 b0 0 quad b1 frac53p1 p2 approx 0021157 quad b2 frac53 p1 p2 frac53 p22 approx 0017953 Em MATLAB num 0 00212 00180 quad den 1 15752 06065 Convertendo via Tustin obtemos Dz n0 n1z1 1 d1z1 84 Resultados do Projeto Kc 1720 α 017 τ 180 PMobtido 5514 ωcobtido 130 rads ess 00444 85 Análise do Diagrama de Bode Margem de Ganho e Margem de Fase mostra as curvas de ganho acima e fase abaixo de Lz Dz Gpz Para verificar se as especificações foram atendidas identificamos Margem de Ganho GM valor de aumento de ganho antes de a fase atingir 180 GM 1200 dB Margem de Fase PM ângulo adicional de fase que o sistema ainda suporta quando Lejω 1 PMobtido 5514 próximo ao alvo de 60 8 Frequência de Cruzamento de Ganho ωc frequência em que Lejωc 1 ωcobtido 130 rads satisfazendo ωcdes 1 rads Interpretação 1 A curva de ganho cruza 0dB em ωc 2 Na curva de fase lêse L em ωc para calcular a PM 3 Uma maior folga de fase implica maior margem de robustez a variações de parâme tros 86 Análise da Resposta ao Degrau Tempo de Subida tr tr 130 s Sobressinal Mp Mp 028 Tempo de Assentamento ts ts 350 s Erro em Regime Permanente ess ess 00444 Observações O valor de tr e Mp reflete a margem de fase obtida maior PM geralmente reduz Mp e aumenta ligeiramente tr ts depende do amortecimento dominante com ζ 088 ts ficou em torno de 35s O erro estacionário confirma a redução de 10 em relação ao sistema sem compen sação 9 87 Figuras Figura 3 Diagrama de Bode de Lz DzGpz margens de ganho e fase Figura 4 Resposta ao degrau em malha fechada com Dz 9 Item 3 Projeto por Alocação de Polos Objetivos Desempenho transitório similar ao controlador lead do Item 2 ts 35 s e Mp 03 Erro ao degrau nulo integrador interno 10 91 Modelo Aumentado e Controlabilidade A planta discreta Gpz em forma canônica controlável A a1 a2 1 0 B b0 b1 C 1 0 com valores numéricos a1 15752 a2 06065 b0 0 b1 00212 Estendemos com estado integrador xik1 xik rk yk Ai 1 C 0 A Bc 0 B Br 1 0 0 Verificouse rank CAi Bc 3 sistema completamente controlável 92 Escolha dos Polos Desejados Para ts 35 s e Mp 03 adotamos amortecimento ζ 09 ωn 4ζ ts 409 35 127 rads Os polos dominantes no contínuo são pc12 ζωn j ωn sqrt1 ζ2 114 j 058 Mapeando para z com Ts 01 s p12 epc12 Ts 089 j 006 Escolhemos o polo do integrador em p3 030 distante dos dominantes para não degradar o transitório 93 Cálculo dos Ganhos Alocando os polos p1 p2 p3 com realimentação de estados mais integrador Kaug Ki Kx1 Kx2 07823 326203 232551 Ou seja Ki 07823 Kx 326203 232551 94 Desempenho em Malha Fechada A resposta ao degrau unitário fornece tr 1090 228 s Mp 015 ts 2 390 s ess 0 degrau unitário Esses valores são muito próximos às metas ts 35 s e Mp 03 e o erro estacionário é nulo conforme desejado 95 Justificativa pelo Lugar das Raízes No lugar das raízes do sistema aumentado Figura 5 vemos que Dois polos complexos foram posicionados em 089j006 garantindo amortecimento elevado ζ 09 O polo real em 030 corresponde ao integrador interno deslocando o ganho DC para infinito e anulando o erro em regime Figura 5 Lugar das raízes do sistema aumentado Ai Bc com polos em 089 j006 030 96 Item 4 Projeto de Controlador PID Neste item projetamos um controlador PID discreto que atenda simultaneamente a 1 Desempenho transitório semelhante ao controlador lead do Item 2 ts 35 s Mp 03 2 Erro de regime nulo para entrada degrau ess 0 1 Estrutura do PID Discreto Escolhemos a forma em z baseada em aproximação Tustin para a derivada e implemen tação exata para a integral Dz KP KI Ts 1 z1 KD 1 z1 Ts Aqui 12 KP atua como ganho proporcional ajustando o ganho global do laço KI fornece ação integral pura garantindo ess 0 pois limz1 Dz KI Ts1 z1 KD adiciona ação derivativa aumentando a margem de fase e melhorando a resposta transitória 2 Especificações de Projeto Para que o PID gere comportamento similar ao controlador lead projetado Frequência de cruzamento de ganho ωcdes 12 rads pois em controle digital ts 4ζ ωc e com ζ 088 temos ts 35 s Margem de fase mínima PMdes 60 assegurando robustez similar Erro estacionário ess 0 para degrau unitário Período de amostragem Ts 01 s 3 Cálculo Analítico do Ganho Integral Para entrada degrau Rz 11z1 a função de malha aberta é Lz Dz Gpz e o erro em regime para degrau é ess limz1 11Lz limz1 1 z11 z1 1 z1 Dz Gpz Como 1 z1 Dz z1 KI Ts para ess 0 basta KI 0 O valor exato de KI será ajustado no passo de sintonia automática 4 Resultados em Malha Aberta O diagrama de Bode de Lz Dz Gpz Fig 6 mostrou PMobtido 7411 ωcobtido 120 rads Figura 6 Diagrama de Bode de Lz PIDz Gpz margens de ganho e fase 5 Desempenho em Malha Fechada Após aplicação de Dz a resposta ao degrau apresentou tr 1090 139 s Mp 475 ts 2 417 s ess 0 Embora ts e ωc estejam próximos das metas o sobressinal elevado 475 mostra que o PID é menos amortecido que o lead projetado no Item 2 6 Justificativa A ação proporcional e derivativa elevou a margem de fase para 74 garantindo robustez adicional A ação integral assegurou ess 0 O alto sobressinal pode ser reduzido ajustando KD para aumentar o amortecimento 10 Item 5 Projeto em Espaço de Estados Objetivo projetar realimentação de estados discreta com précompensador Nbar de forma que o desempenho transitório seja semelhante ao controlador lead Item 2 ts 35 s e Mp 03 o erro em regime seja nulo ess 0 14 1 Modelo em Espaço de Estados Começamos pela representação em espaço de estados da planta discretizada via segurador de ordem zero ZOH com período de amostragem Ts 01 s A função de transferência discreta é Gpz b0 b1 z1 b2 z2 1 a1 z1 a2 z2 cujo modelo na forma canônica controlável é dado por xk1 A xk B uk yk C xk com A a1 a2 1 0 B b0 b1 C 1 0 Substituindo os coeficientes obtidos numericamente a1 15752 a2 06065 b0 0 b1 00212 Dessa forma A 15752 06065 1 0 B 0 00212 C 1 0 Antes de prosseguir verificamos a controlabilidade do par AB calculando C B A B cujo posto é 2 igual à dimensão de A confirmando que todo estado pode ser controlado 2 Escolha dos Polos Desejados Para reproduzir no domínio discreto o mesmo desempenho transitório do controlador em avanço Item 2 que apresentava tempo de assentamento ts 35 s e sobressinal Mp 03 adotamos 1 Coeficiente de amortecimento aproximado ζ 09 2 Cálculo da frequência natural ωn 4ζ ts 409 35 127 rads 3 Polos desejados no contínuo pc12 ζ ωn j ωn sqrt1 ζ2 114 j 058 4 Mapeamento para o domínio z via z es Ts p12 epc12 Ts 089 j 006 Desse modo requeremos que o polinômio característico do sistema em malha fechada tenha raízes exatamente em p1 e p2 3 Cálculo de K e Nbar Ganho de realimentação de estados K Aplicamos o comando K placeA B p1 p2 que retorna K K1 K2 103631 96453 Isso garante que a malha fechada Acl A B K possui exatamente os polos desejados Précompensador Nbar Para assegurar erro zero em regime permanente para entrada degrau unitário introduzimos um ganho de entrada Nbar A fórmula padrão é Nbar C I A B K1 B1 que numericamente resulta em Nbar 12188 Esse valor corrige o ganho do caminho de referência de forma que limk yk rk para rk 1 4 Desempenho em Malha Fechada Resposta ao degrau unitário tr 1090 205 s Mp 048 ts 2 329 s ess 0 Parâmetro Valor obtido tr 1090 205 s Mp 048 ts 2 329 s ess 0 5 Lugar das Raízes Na figura vemos o lugar das raízes de A B K com polos em 089 j006 que garantem amortecimento elevado ζ 09 e bos desempenho transitório Figura 7 Lugar das raízes de A BK com polos em 089 j006 17