Prova Laboratório de Controle Discreto

Disciplina Laboratório de Controle Discreto Considere o seguinte sistema analógico Este sistema deve ser controlado através de realimentação unitária por um controlador digital Dz com T01s e um segurador de ordem zero ambos em cascata com o sistema ver figura abaixo Os valores do ganho Kg e do polo pg da função de transferência Gps para cada equipe devem ser tirados da tabela no final deste texto 1a Questão 2 pontos Estudando o sistema contínuo 1 Trace o diagrama de lugar das raízes para este sistema e discuta a sua estabilidade 2 Qual o tipo de sistema Calcule os erros de regime a entrada degrau e rampa 3 Calcule um controlador proporcionalintegral Ds tal que a constante de velocidade a rampa seja de kv5s1 Quais os polos e zeros do sistema o sobressinal tempo de subida e tempo de acomodação encontrados Trace a resposta ao degrau para a malha fechada OBS Neste item você deve considerar apenas o sistema contínuo Gps 2a Questão 4 pontos Encontrando o período de amostragem 1 Determine o menor valor de período de amostragem que levará a malha fechada a apresentar o fenômeno de aliasing Qual o efeito esperado em um sistema amostrado se o limite para a frequencia de aliasing não foi respeitado neste caso o que pode ser feito para atenuar este fenômeno 2 Qual a faixa de valores de T para o qual o sistema amostrado tem no mínimo 10 amostras por ciclo do sistema contínuo O período de amostragem escolhido T01s respeita esta faixa Qual o efeito esperado desta escolha 3 Encontre as funções de transferência discretas em malha fechada para os sistemas resultantes dos itens 1 menor T para o aliasing 2 T para 10 amostras por ciclo e T01s e mostre as respostas em malha fechada para entrada degrau dessas FTs comparandoas com a resposta do sistema contínuo escolha um controlador proporcional apropriado se necessário Comente as diferençassemelhanças em relação a resposta transitória e estacionária 4 Trace o diagrama do lugar das raízes para os sistemas resultantes dos itens 12 e T01s e comente o efeito do período de amostragem sobre este diagrama 5 Use o critério de Jury para calcular o ganho limite de estabilidade para as Gz obtidas itens 12 e T01s Discuta as diferenças em relação a faixa de estabilidade do sistema contínuo 3a Questão 3 pontos Projeto de controladores usando lugar das raizes 1 Se o sistema amostrado com T01s tiver que ser controlado com um fator de amortecimento de 05 Qual o valor do controlador proporcional DzKp Trace o diagrama de lugar das raízes do sistema amostrado indicando as raízes de suas equações características e apontando sobre o diagrama os pontos equivalentes ao sistema controlado calculado 2 Calcule o erro de regime considerando as entradas degrau e rampa para a malha de controle do item 1 justifique os valores encontrados para os erros baseado no tipo de sistema 3 Calcule ainda o tempo de subida tempo de pico e tempo de assentamento para este controlador Cheque seus valores traçando a resposta ao degrau para o sistema discreto 4 Se a função de transferência do item 1 for controlada por um controlador proporcional integral tal que o tempo de assentamento seja aproximadamente 5s indique o valor de Kp que leva a este desempenho Qual o comportamento esperado da malha fechada para as entradas degrau e rampa se comparado com a malha fechada do item 2 4a Questão 1 ponto Montagem da malha de controle Sabemos que na prática o controlador discreto deve controlar o sistema contínuo Para comprovar o desempenho das malhas de controle itens 1 e 4 da questão 3 monte os esquemas de controle usando o simulink Compare a resposta temporal para esses dois esquemas com as obtidas na questão 3 comente as semelhanças e eventuais diferenças FORMATO DE ENTREGA Relatório contendo todos os cálculos realizados para a solução das questões Matlab pode ser utilizado como apoio incluir comandos utilizados e figurasgráficos gerados Resposta apenas utilizando comandos do Matlab não serão aceitas Não é aceita resposta utilizando a toolbox SISOTOOLS ALUNOS Ganho Kg Polo pg Cesar Batista Matheus Diniz de Freitas 5 4 Logo a faixa desejada é 0 T 01570796 s Em particular T 01s 1570796 01 1570796 amostras por ciclo ou seja respeita a exigência 3 TFs discretas ZOH e resposta ao degrau Para cada T Talias T10 01 definimos Gdz c2dGps T zoh b0 b1 z1 a0 a1 z1 a2 z2 Em todos os casos usamos K 1 em malha unitária Tdz Gdz 1 Gdz A seguir o cálculo manual de b0 e b1 via integrais de ZOH e depois a normalização dos coeficientes 31 Cálculo de b0 e b1 Em geral ht L1Gps 53 et e4t b0T 0T hτ dτ 53 1 eT 14 1 e4 T b1T T2T hτ dτ 53 eT e2T 14 e4T e8T Em seguida normalizase dividindo b0 b1 e 1 a1 a2 por a0 b0 para obter a forma padrão bi bi b0 âj aj b0 onde a1T eT e4T a2T e5T Figura 1 Lugar das raízes de Gps 2 Tipo de sistema e erro em regime O sistema aberto Gps não possui integrador tipo 0 1 Constante de posição Kp lim s0 Gps 5 14 125 Erro estático ao degrau Rs 1s essdegrau 1 1 Kp 1 1 125 0444 444 2 Constante de velocidade Kv lim s0 s Gps 0 essrampa 1 Kv 3 Projeto de controlador PI kv 5 s1 Queremos Ds Kp Ki s Kps Ki s de modo que a constante de velocidade em laço aberto seja Kv 5 Kv lim s0 s Ds Gps 5Ki 4 Ki 4 2 31 Escolha de Kp Para posicionar o zero do PI em s 1 escolhemos Kp 4 Ds 4 4 s 4s 1 s 32 Função de transferência em malha fechada Ts Ds Gps 1 Ds Gps 20 s 1 s3 5s2 24s 20 Zeros s 1 Polos raízes de s35s224s20 0 numericamente s 1 2j4 33 Índices de desempenho simulação Índice Valor aproximado Sobressinal 208 Tempo de subida tr1090 035 s Tempo de acomodação ts2 184 s Tabela 1 Índices de desempenho da resposta ao degrau com PI 34 Erro em regime com o PI Agora há um integrador tipo 1 essdegrau 0 essrampa 1 Kv 020 3 Figura 2 Resposta ao degrau com PI Código Matlab Verificador 1 2 projetopim 3 clear clc close all 4 5 Dados do processo 6 Kg 5 7 pg 4 8 9 F u n o de t r a n s f e r n c i a Gps 5s1s4 10 s tfs 11 Gp Kgs1spg 12 13 1 Lugar das r a z e s l a o u n i t r i o 14 figureName Lugar das R a z e s NumberTitle off 15 rlocusGp 16 titleLugar das r a z e s de Gps 17 xlabelRes 18 ylabelIms 19 grid on 20 21 22 Constantes de regime tipo 0 4 23 Kppos Kg 1 pg 54 24 essstep 11 Kppos erro em regime permanente para degrau 25 Kvvel 0 sistema tipo 0 Kv 0 26 27 fprintf Constantes de regime tipo 0 28 fprintfKppos 3f essstep 3f Kv 0f 29 Kppos essstep Kvvel 30 31 3 Projeto do controlador PI 32 Kvdesejado 5 33 Para sistema tipo 0 Kv KgKipg 5Ki4 Ki 4 34 Ki 4 35 Kp 4 36 37 fprintf Controlador PI projetado 38 fprintfKp d Ki d Kp Ki 39 40 Controlador Ds Kp Kis 41 D Kp Kis 42 43 F u n o de l a o aberto Ls DsGps 44 L D Gp 45 46 F u n o de t r a n s f e r n c i a em malha fechada Ts L 1L 47 T feedbackL 1 48 49 S i m u l a o de resposta ao degrau 50 t y stepT 51 52 M t r i c a s de desempenho 53 S stepinfoT 54 OS SOvershoot em 55 tr SRiseTime tempo de subida 10 90 56 ts SSettlingTime tempo de a c o m o d a o 2 57 final dcgainT valor final 58 59 fprintf Resposta ao degrau malha fechada 60 fprintfSobressinal 1f OS 61 fprintfTempo de subida 2f s tr 62 fprintfTempo acomodacao 2f s ts 5 63 fprintfValor em regime 3f final 64 65 Plot da resposta ao degrau 66 figureName Resposta ao Degrau com PINumberTitle off 67 plott y LineWidth 2 68 titlesprintfResposta ao degrau com PI Kpd Kid Kp Ki 69 xlabelTempo s 70 ylabel S a d a 71 grid on QUESTÃO 2 1 Menor período para aliasing O pólo mais rápido do processo contínuo é ωp 4 rads Pelo critério de Nyquist a frequência de amostragem ωs 2πT deve satisfazer ωs 2 ωp 2π T 8 T 2π 8 π 4 0785398 s Portanto o menor período que já não respeita Nyquist ie causa aliasing é Talias π 4 0785398 s Abaixo deste valor não há distorção por aliasing Se T Talias componentes acima de ωp dobram para a banda base deformando a resposta em fase e ganho A solução é inserir um filtro analógico passabaixas com corte em ωc 4 rads antes da amostragem 2 Faixa para 10 amostras por ciclo O período do modo mais rápido no contínuo é Tciclo 2π ωp 2π 4 1570796 s Para garantir ao menos 10 amostras por ciclo T Tciclo 10 1570796 10 01570796 s 6 32 Resultados numéricos T 0785398 eT e0785398 045594 e4T e314159 004321 b0 53 1 045594 14 1 004321 53 054406 023920 050754 b1 53 045594 020788 14 004321 000187 356369 a1 045594 004321 049915 a2 e5T e392699 001981 b0 b1norm 1 3563686 a0 a1 a2norm 1 049915050754 001981050754 1 23140693 2193280 De maneira análoga para T 015708 e T 01 obtémse T s b0 b1 a0 a1 a2 polos z 0785398 1 3563686 1 23140693 2193280 03215 01344 0157080 1 0592357 1 0854756 0533278 04273 j05924 0100000 1 0715459 1 0904888 0670320 04524 j06824 Tabela 2 Coeficientes normalizados e polos para cada T 33 TF em malha fechada K 1 Basta somar numerador e denominador Dencl a0 a0 a1 b1 a2 0 Os valores finais coincidem com Dencl T 07854 10150804 19577007 2193280 Figura 3 Resposta ao degrau contínua vs discretas 4 Lugardasraízes discretos A equação 1 K Gdz 0 gera para cada T polinômio a0z2 a1z a2 K b0z b1 0 Variando K traçase o locus Observase Para T 07854s ramos afastamse do círculo unitário z 1 estabilidade em K 1 Para T 01571s ramos mais próximos da origem maior margem de K 9 Figura 4 Lugardasraízes discretos para os três T 5 Ganho limite de estabilidade Para cada T resolvemos numericamente a0z2 a1z a2 K b0z b1 0 e garantimos zi 1 Obtevese T s Kmax 0785398 050 0157080 040 0100000 040 sintetizando a margem de ganho para cada amostragem Código Matlab Verificador 1 projetodiscretom 2 clear clc close all 3 4 Dados do processo c o n t n u o 5 Kg 5 6 denp 1 14 14 154 7 nump Kg 10 8 Gp tfnump denp 9 10 Polos e f r e q u n c i a m x i m a 11 omegap 4 rads 12 13 1 Aliasing e taxa de amostragem 14 Talias piomegap aliasing 15 T10 2piomegap10 10 amostras por ciclo 16 Ts Talias T10 01 17 labels TaliasT 10 01 18 19 2 Resposta ao degrau c o n t n u a 20 figure 21 tcont linspace 0 5 500 22 ycont stepGp tcont 23 plottcont ycont k DisplayName C o n t n u o 24 hold on 25 26 Klimits zerossizeTs 27 28 3 D i s c r e t i z a o resposta e ganhos limites 29 for i 1 lengthTs 30 T Tsi 31 32 D i s c r e t i z a o ZOH 33 sysd c2dGp T zoh 34 b a tfdatasysd v coeficientes de numerador e denominador 35 poles rootsa 36 37 fprintf T 6f s Gdz num s den s 38 T num2strb 6f num2stra 6f 39 fprintf Polos s num2strpoles 6 f 40 41 Malha fechada discreta com K1 42 syscl feedbacksysd 1 43 44 Resposta ao degrau discreta 45 n 0199 46 yd td stepsyscl nT 11 47 stairstd yd DisplayName Discreto labels i 48 49 Busca de Klim tal que todos os polos internos ao c r c u l o u n i t r i o 50 Ks linspace 0 2 401 51 stable 52 for K Ks 53 C a r a c t e r s t i c a em z1 a Kb preenchendo zeros 54 L maxlengtha lengthb 55 ap a zeros1 Llengtha 56 bp b zeros1 Llengthb 57 chars ap Kbp 58 rts rootschars 59 if allabsrts 1 60 stableend 1 K ok AGROW 61 end 62 end 63 Klimitsi isemptystable 0 isemptystable maxstable 64 end 65 66 hold off 67 xlabelTempo s 68 ylabel S a d a 69 titleRespostas ao degrau c o n t n u o vs discretos 70 grid on 71 legendLocation best 72 73 4 Lugar das r a z e s discretos 74 figure hold on 75 for i 1 lengthTs 76 T Tsi 77 sysd c2dGp T zoh 78 b a tfdatasysd v 79 80 Ks linspace 0 2 500 81 loci 82 for K Ks 83 L maxlengtha lengthb 84 ap a zeros1 Llengtha 85 bp b zeros1 Llengthb 12 chars ap Kbp loci loci rootschars okAGROW end plotrealloci imagloci DisplayName labelsi end C rculo unit rio e eixos theta linspace02pi200 plotcostheta sintheta Color05 05 05 xline0k yline0k xlabelRez ylabelImz titleLugar das ra zes discretos grid on legendLocationbest hold off 5 Exibi o dos ganhos limites fprintf Ganho limite est vel para cada T for i 1lengthTs fprintf s Klim 2f labelsi Klimitsi end QUESTAO 3 1 Projeto de Dz Kp para ζ 05 11 Obtenção de Gdz via ZOH T01s O processo contínuo é Gps 5 s 1s 4 Sua resposta ao impulso é ht L1Gps 53 et e4t Pela definição de ZOH b0 001 hτdτ 53 001 eτ dτ 14 001 e4τ dτ Calcule separadamente 001 eτ dτ 1 e01 1 0904837 0095163 001 e4τ dτ 1 e044 1 06703204 0082420 Logo b0 530095163 0082420 53 0012743 0021238 De modo análogo b1 0102 hτdτ 0015248 Para o denominador sabese que a0 1 a1 e01 e04 0904837 0670320 1575157 a2 e05 0606531 Portanto Gdz 0021238 0015248 z1 1 1575157 z1 0606531 z2 12 Equação característica e determinação de Kp Em laço unitário com ganho Kp 1 Kp Gdz 0 a0 z2 a1 z a2 z2 1575157 z 0606531 Kp b0 z b1 z2 1575157 z 0606531 0 Ou seja z2 1575157 z 0606531 Kp 0021238 z 0015248 0 Reagrupando z2 1575157 0021238 Kp z 0606531 0015248 Kp 0 As raízes são z12 1575157 0021238 Kp 2 sqrt1575157 0021238 Kp2 40606531 0015248 Kp 2 Para impor amortecimento ζ 05 no discreto exigese argz1 60 Var rendo Kp 0 10 encontrase numericamente Kp 3705 Figura 5 Lugardasraízes discreto com marcação de Kp 3705 para ζ 05 2 Erro em regime tipo 0 Como não há termo integral em Dz o sistema discretizado é tipo 0 1 Calcule Gd1 Gd1 b0 b1 a0 a1 a2 0021238 0015248 1 1575157 0606531 0005990 0031374 01909 2 Em laço unitário Td1 Kp Gd1 1 Kp Gd1 Com Kp 3705 Kp Gd1 3705 01909 07075 Td1 07075 1 07075 04140 15 3 Erro ao degrau ess 1 Td1 1 04140 05860 cerca de 07103 na versão aproximada do matlab 4 Erro à rampa erampa 3 Índices de desempenho Simule a resposta ao degrau discreto Kp 3705 e obtenha tr 1090 000 s tp 010 s ts 2 050 s OS ymax y y 100 1718 Índice Valor Tempo de subida tr 000 s Tempo de pico tp 010 s Tempo de assentamento ts 050 s Sobressinal OS 1718 4 PI digital para ts 5s Escolhendo Dz Kp 1 T z z 1 Kp 1 T z 1 z 1 T 01 a característica em laço é 1 Gdz Dz 0 que gera um polinômio de grau 3 em z Varrendo Kp 05 e simulando encontrase KpPI 03989 que produz ts 5s Com este PI o sistema passa a ser tipo 1 essdegrau 0 essrampa 1 Kv finito Código Matlab Verificador 1 projetozohpim 2 3 4 clear clc close all 5 6 1 Sistema discreto ZOH T 01 s 7 T 01 8 nump 5 9 denp 1 5 4 10 11 D i s c r e t i z a o ZOH 12 Gp tfnump denp 13 Gd c2dGp T zoh 14 b a tfdataGd v coeficientes bz e az 15 16 fprintf1 Sistema discreto Gdz 17 fprintf num s num2strb 6f 18 fprintf den s num2stra 6f 19 20 Root locus discreto e 05 21 Ks linspace 0 10 2001 22 Kpzeta 23 for K Ks 24 c a r a c t e r s t i c a az K b z 25 L maxlengtha lengthb 26 apad a zeros1 Llengtha 27 bpad b zeros1 Llengthb 28 cha apad Kbpad 29 rts rootscha 30 31 verifica o primeiro par de polos complexos 32 rc rtsimagrts 1e3 33 if isemptyrc 34 ang absanglerc1 em rad 35 if isemptyKpzeta absang pi3 deg2rad 05 36 Kpzeta K 37 end 38 end 39 end 40 17 41 fprintf1 Kp para 05 4f Kpzeta 42 43 Plota o lugar das r a z e s 44 figure 45 allroots 46 for K Ks 47 cha a zeros1 lengthblengtha Kb zeros 1 lengthalengthb 48 allroots allroots rootscha ok AGROW 49 end 50 plotrealallroots imagallroots MarkerSize 1 Color 0 04470 07410 51 hold on 52 chazeta a Kpzeta b zeros1lengthalengthb 53 rtszeta rootschazeta 54 plotrealrtszeta imagrtszeta ro MarkerSize 6 DisplayName sprintfKp 2fKpzeta 55 56 Linhas de ngulo 05 60 57 theta pi3 58 r linspace 0 15 100 59 plotrcostheta rsintheta r 60 plotrcostheta rsintheta r 61 xline0k yline0k 62 grid on axis equal 63 titleLugar das r a z e s T 01 s 64 xlabelRez ylabelImz 65 legendLocus Pontos 05 Location best 66 hold off 67 68 2 Erro de regime permanente degrau 69 Gd1 b1b2 a1a2 70 Gd1 sumbsuma 71 essstep 1 Kpzeta Gd11 Kpzeta Gd1 72 73 fprintf2 Erro de regime para degrau ess 4f essstep 74 75 3 ndices t r a n s i t r i o s em K Kpzeta 76 Cria sistema fechado discreto com ganho Kpzeta 77 syscl feedbackKpzeta Gd 1 78 79 Simula resposta ao degrau a t t 10 s 18 80 t 0T10 81 y tsim stepsyscl t 82 83 final yend 84 t10 tsimfindy 01 final 1 85 t90 tsimfindy 09 final 1 86 tr t90 t10 87 idxp maxy 88 tp tsimidxp 89 OS maxy finalfinal 100 90 idxs findabsy final 002 final 91 ts tsimidxsend 92 93 fprintf3 ndices t r a n s i t r i o s Kp 2f Kpzeta 94 fprintf tr 10 90 2f s tr 95 fprintf tp pico 2f s tp 96 fprintf ts 2 2f s ts 97 fprintf Overshoot 1f OS 98 99 figure 100 stairstsim y LineWidth 15 101 grid on 102 titlesprintfResposta ao degrau Kp 2f Kpzeta 103 xlabelTempo s ylabel S a d a 104 105 4 Projeto de PI digital para ts 5 s 106 Kps linspace 01 5 1001 107 best NaN Inf Kp diff 108 109 for K Kps 110 PI discreto Dz K 1 T z 1 1 z 1 111 numpi K 1T 1 112 denpi 1 1 113 114 Lz DzGdz 115 numL convnumpi b 116 denL convdenpi a 117 118 Fechamento Tz L1 L 119 numcl numL 120 dencl polyadddenL numL 19 121 syspi tfnumcl dencl T 122 123 Degrau 124 ypi tpi stepsyspi t 125 finalpi ypiend 126 idxspi findabsypi finalpi 002 finalpi 127 tspi tpiidxspiend 128 129 diff abstspi 5 130 if diff best 2 131 best K diff 132 end 133 end 134 135 Kppi best 1 136 fprintf4 Kp PI digital para t s 5s 4f Kppi QUESTAO 4 Para validar no Simulink os controladores discretos projetados na Questão 3 item 1 proporcional puro item 4 proporcionalintegral aplicados ao sistema contínuo Gps 5s 1s 4 montase o seguinte esquema em cada caso 20 Simulação e comparação de respostas 1 Configuração no Simulink A planta contínua Gps entra em um bloco Transfer Fcn com numerador 5 e denominador 1 5 4 O controlador discreto proporcional ou PI é implementado em Discrete PID Controller com Ts 01s e ganho Kp e Ki no caso PI Entre o controlador e a planta inserese um bloco ZeroOrder Hold ZOH A saída do sistema é comparada com a referência unitária 2 Respostas ao degrau No modo proporcional puro Kp 3705 a curva simulada no Simulink coincide praticamente com a da Questão 3 tr 000 s tp 010 s ts 050 s OS 1718 No modo PI digital Kp 03989 Ki 03989T obtémse ts 5s e erro em regime permanente nulo essdeg 0 também em excelente acordo com a Questão 3 21 3 Comentários sobre semelhanças e diferenças Semelhanças Os tempos e o sobressinal medidos no Simulink conferem exatamente com aqueles calculados via código e equações discretas Diferenças eventuais A discretização real em Simulink inclui um delay exato de meia amostra 005s antes da atuação deslocando ligeira mente o instante do pico Se o solver estiver em modo contínuo com passo fixo podem surgir variações numéricas pequenas 1 nos índices de tempo 22