Avaliação - 2024-1

1) (1 ponto) Um sinal de entrada x[n] com 4 amostras foi apresentado à entrada do sistema linear invariante no tempo (S.L.I.T) abaixo e apresentou, em sua saída, o sinal y[n] com 6 amostras. Encontrar sua resposta ao impulso h[n]. x[n] = { 1, A, -2, A } y[n] = { A, (2+A), (-1+2.A), (-4+2.A), (-2+2A), A } 2) (1 ponto) Pela integral da convolução, encontrar o resultado causal de x(t) convoluído com g(t), dados: x(t) = t.u(t) e g(t) = t^A . u(t). ( leia-se “t elevado a A vezes o degrau unitário) . 3) (1 ponto) Fazendo uso das propriedades de Fourier , encontre: → y(t) = sinc(t/A) * sen(A.π.t) 4) (1 ponto) Encontrar a transformada de Fourier X(jω), com: x(t) = δ(t-A) − δ(t+A) → leia-se: “impulso em t menos A segundo menos o impulso em t mais A segundo” 5) (1 ponto) Dado o sinal de referência w(t) (não periódico), definido pela figura abaixo, e a(t) como: a(t) = w(D.t+E)+w(F.t+G)+w(H.t+I)+w(J.t+K), achar D, E, F, G, H, I, J, e K. 2- x(t) = tu(t) g(t) = t^Au(t) = (tβ)u(t) X(τ) = x f<0 => X(τ)g(β-τ) = 0 => x(t) * g(t) = ∫0^t τA. (t-τ)^β d τ = ∫0^t (t-u).u.(-du) = ∫0^t u.Θ (t-u)du = ∫0^t (t.u - Θ - u.ϑ)du = [t.u/10 - u^2/10]|0^t = t^2/10 - βt^2/10 = -βt^2/10 u(t) 3- y(t) = sinc(t/A) * sm(9πt) Y(jω) = f (sinc(θ)) . f (sen(9πωt)) = Θ * rect(w/W) ... = ∮ g∏ (δ (ω - 9π) - δ(ω-9π)) => Y(t) = g sin(9πt) 4. x(t) = δ(t-9) - δ(t+9) X(jω) = ∫_{-∞}^{∞} x(t) e^{-jωt} dt = ∫_{-∞}^{∞} [δ(t-9) - δ(t+9)] e^{-jωt} dt = ∫_{-∞}^{∞} δ(t-9) e^{-jωt} dt - ∫_{-∞}^{∞} δ(t+9) e^{-jωt} dt = e^{jω⋅9} - e^{-jω⋅(-9)} = - (e^{jω⋅9} - e^{-jω⋅9}) = -2jsen(9ω) 5. W(a) = ∫_{-1}^{1} xe^{-a|x|} dx = {-1, se 0 < x < 0,5 1, se 0,5 < x < 1 0, caso contrario Primeiro ciclo de w(t): {-1, se 0 < x < 0,25 1, se 0,25 < x < 0,5 0, caso contrario 0,5 < x < 0,75 => 0<2x<0,5. => W(2x+0) 0 < 2x <0,95 Segundo ciclo ∫_{1}^{1} xe^{-a|x|} dx {-1, se 0 < x < 0,75 1, se 0,75 < x < 1 0, caso contrario 0,75 < x < 0,95 0 < 2 < 2x < 5 => 0 < 2-8-1 < 0,95 => W(2x-1) Terceiro ciclo: ∫_{-1}^{1} xe^{-a|x|} dx {-1, se 1 < x < 1,25 1, se 1,25 < x < 1,5 0, caso contrario 1 < x < 1,25 => 2 < 2x < 2,5 => 0 < 2-8-2 < 0,95 => W(2x+2) Quarto ciclo: ∫_{-1}^{1} xe^{-a|x|} dx {-1, se 1,5 < x < 1,75 1, se 1,75 < x < 2 0, caso contrario 1,5 < x < 1,75 => 3 < 2x < 3,5 => 0 < 2-8-3 < 0,95 => W(2x-3) D = 2, E = 0, F = 2, G = -1, H = 2, I = -2, J = 2, K = -3 6. Y = ∫_{-∞}^{∞} cos(9t) δ(9t-π) dt 9t - π = 0 => t = π/9 => Y = cos(9 ⋅ π/9) = cos(π) = -1