Provas 2 do Primeiro e Segundo Período Sinais e Sistemas-2016

Sinais e Sistemas 1 - S21 Nome: 9 de novembro de 2016 Prova 2 Prof. Thiago Passarin - DAELT 1. (3,00) Considere o sinal x(t) = 100 sinc2(10πt) e responda `as quest˜oes a seguir. (a) (1,00) Trace o espectro de magnitude de x(t). (Dica: propriedade da convolu¸c˜ao na frequˆencia.) (b) (1,00) Trace o espectro de magnitude do sinal y(t) = x(t) ∗ h(t), sendo h(t) = sen(5πt) πt (c) (1,00) Calcule a energia do sinal x(t). 2. (2,50) O filtro passa-baixas representado na figura abaixo ´e ideal, ou seja, n˜ao causa distor¸c˜oes nas componentes em frequˆencias menores do que a frequˆencia de corte ωc e anula as componentes com frequˆencias maiores ou iguais a ωc. O sinal aplicado `a entrada do filtro ´e x(t) = e−3tu(t). O sinal y(t) obtido na sa´ıda do filtro tem seu espectro de magnitude |Y (ω)| representado na figura abaixo. Determine a frequˆencia de corte ωc [rad/s] do filtro. 3. (3,00) Um SLIT possui a seguinte resposta ao impulso: h(t) = 100 e−100tu(t) Sinais e Sistemas 1 - S21 Prova 2 - P´agina 2 de 4 (a) (0,75) Determine uma express˜ao para a resposta em frequˆencia H(ω) do SLIT. (b) (0,75) Trace o diagrama de Bode de magnitude e fase do SLIT. (c) (0,75) Determine, aproximadamente, o sinal y(t) obtido na sa´ıda quando o sinal aplicado `a entrada ´e x(t) = cos(100t). (d) (0,75) Determine, aproximadamente, o sinal y(t) obtido na sa´ıda quando o sinal aplicado `a entrada ´e x(t) = cos(10000t). 4. (2,50) A figura a seguir representa o processo de modula¸c˜ao AM DSB-SC aplicado ao sinal x(t) cujo espectro de amplitude |X(ω)| ´e mostrado. O bloco FPB representa um filtro passa-baixas com frequˆencia de corte ωc = 50π[rad/s] e o bloco modulador realiza a multiplica¸c˜ao dos dois sinais aplicados `as suas entradas. Trace o espectro de amplitude |M(ω)| do sinal m(t) obtido na sa´ıda do modulador. Sinais e Sistemas 1 - S21 Prova 2 - P´agina 3 de 4 Sinais ¢ Sistemas 1-521 Prova2-Paginadde4 Tabela 7.2 Operacées da transformada de Fourier Operacao x(t) X(@) Multiplicagdo escalar kx(t) kX (w) Adicao X(t) + x2(t) X\(@) + X2(@) Conjugado x*(t) X*(—@) Dualidade X(t) 21 x(—w) 1 Escalonamento (a real) x(at) la” (<) a a Deslocamento no tempo x(t — to) X (w)e Jo Deslocamento na frequéncia (@ 9 real) x(t)eio! X (w — @0) Convoluc4o no tempo x, (t) * X2(t) X\(w)X2(@) 1 Convolugao na frequéncia x1 (t)x2(t) on X}(w) * X2(@) d"x Diferenciacgéo no tempo aa (ja)"X (w) . X(o) Integracdo no tempo x(u) du —— +21X(0)d(a) —00 Jw I le(t) Pat = — I LX (w)Pdw —oo 20 —oo X(w) * H(w) = / X(7T)A(w —7)dt = / H(r)X(w — 7)dr ret(t/T) | t -t/2 t/2 Sinais e Sistemas 1 - S21 Nome: 18 de maio de 2016 Prova 2 Prof. Thiago Passarin - DAELT 1. (2,50) O filtro passa-baixas representado na figura abaixo ´e ideal, ou seja, n˜ao causa distor¸c˜oes nas componentes em frequˆencias menores do que a frequˆencia de corte ωc e anula as componentes com frequˆencias maiores ou iguais a ωc. O sinal aplicado `a entrada do filtro ´e x(t) = ret(t/0, 02). O sinal y(t) que se deseja obter na sa´ıda do filtro ´e tal que o seu espectro de magnitude |Y (ω)| possua exatamente 5 lobos completos, conforme esbo¸cado na figura abaixo. Determine qual deve ser a frequˆencia de corte ωc [rad/s] do filtro. 2. (3,00) Um SLIT possui a seguinte fun¸c˜ao de resposta em frequˆencia: H(ω) = 106 + 103jω 106 + jω (a) (1,00) Trace o diagrama de Bode de magnitude e fase do SLIT. (b) (1,00) Determine, aproximadamente, o sinal y(t) obtido na sa´ıda quando o sinal aplicado `a entrada ´e x(t) = cos(1010t). (c) (1,00) Determine, aproximadamente, o sinal y(t) obtido na sa´ıda quando o sinal aplicado `a entrada ´e x(t) = cos(106t). Sinais e Sistemas 1 - S21 Prova 2 - Page 2 of 4 3. (3,00) Considere o sinal x(t) = sen(15t) 3t (a) (1,00) Determine a express˜ao X(ω) que representa o sinal x(t) no dom´ınio da frequˆencia. (b) (1,00) Trace o gr´afico de |X(ω)| (c) (1,00) O sinal x(t) possui energia finita, embora sua dura¸c˜ao seja infinita. Calcule a energia Ex do sinal x(t). Sinais e Sistemas 1 - S21 Prova 2 - Page 3 of 4 4. (2,50) A figura a seguir representa a multiplexa¸c˜ao em frequˆencia dos sinais m1(t) e m2(t), cujos espectros M1(ω) e M2(ω) est˜ao representados `a esquerda. O bloco circular dentro do Modulador realiza a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao. Com base nessas informa¸c˜oes, responda: (a) (1,25) Qual ´e a diferen¸ca m´ınima que deve existir entre as frequˆencias ω1 e ω2 de modo que n˜ao haja sobreposi¸c˜ao dos espectros M1(ω) e M2(ω)? (b) (1,25) Trace o gr´afico do sinal MΣ(ω), que corresponde ao espectro do sinal mΣ(t). Considere ω1 = 1000π [rad/s] e ω2 = 1300π [rad/s]. Sinais e Sistemas 1- S21 Prova2-Pagedofd Tabela 7.2 Operacées da transformada de Fourier Operacao x(t) X(@) Multiplicagdo escalar kx(t) kX (w) Adicao X(t) + x2(t) X\(@) + X2(@) Conjugado x*(t) X*(—@) Dualidade X(t) 21 x(—w) 1 Escalonamento (a real) x(at) ial X (<) a a Deslocamento no tempo x(t — to) X (w)e Jo Deslocamento na frequéncia (@ 9 real) x(t)e/ro! X (@ — wo) Convoluc4o no tempo x, (t) * X2(t) X\(w)X2(@) 1 Convolugao na frequéncia x1 (t)x2(t) > X}(w) * X2(@) ue d"x Diferenciacgéo no tempo aa (ja)"X (w) . X(w) Integracdo no tempo x(u) du —— +21X(0)d(a) —00 Jw I In(t)Pdt = — I LX (w)Pdw —oo 20 —oo ret(t/T) | t -t/2 t/2