Atividade Resmat1 Resolvida-2023 1

Determine a tensão normal média desenvolvida nos trechos AB, BC e CD, destacando se se trata de tensão de tração ou de compressão, e especifique o menor valor da resistência do material ao carregamento axial, considerando que o projeto exige um coeficiente de segurança CS = 2 para as tensões. Os diâmetros dos diferentes trechos são: d_AB = 8,0 mm; d_BC = 16,8 mm; d_CD = 14,6 mm. Escolha uma opção: a. σ_AB = 20 MPa; σ_BC = 23 MPa; σ_CD = 18 MPa; σ_tensão = 20 MPa b. σ_AB = 20 MPa; σ_BC = 18 MPa; σ_CD = 18 MPa; σ_tensão = 20 MPa c. σ_AB = 100 MPa; σ_BC = 23 MPa; σ_CD = 18 MPa; σ_tensão = 200 MPa d. σ_AB = 100 MPa; σ_BC = 23 MPa; σ_CD = 18 MPa; σ_tensão = 100 MPa e. σ_AB = 20 MPa; σ_BC = 18 MPa; σ_CD = 18 MPa; σ_tensão = 40 MPa Sua resposta está incorreta. A resposta correta é: σ_AB = 20 MPa; σ_BC = 18 MPa; σ_CD = 18 MPa; σ_tensão = 40 MPa A barra rígida AB tem peso desprezível e é suportada pelo cabo BC de diâmetro 6,35 mm. O cabo é feito do mesmo material q tem a curva tensão-deformação mostrada. (a) Determine o alongamento do cabo BC quando P = 14 kN. (b) Qual a deformação permanente do cabo BC quando a força P for removida? Sua resposta está incorreta. A resposta correta é: ΔL = 127,5 mm; ε_perm = 0,082 Uma peça cilíndrica feita de certo material possuía originalmente um trecho com comprimento de 0,5 m e diâmetro de 19,5 mm seguido de outro trecho com comprimento de 1,0 m e diâmetro de 12,8 mm. Durante certa operação a peça foi submetida a uma força de tração de 45 kN e em seguida a força foi retirada. É fornecida a curva tensão-deformação do material. Estime o comprimento total da peça no instante da aplicação da força (imediatamente antes do alívio da carga) e após o descarregamento. Sua resposta está incorreta. A resposta correta é: L_carga = 1.561 mm; L_final = 1.556 mm. A barra mostrada na figura tem diâmetro de 25,4 mm, é composta de aço e alumínio e está rigidamente fixada nos apoios A e B. Na temperatura ambiente (T_amb = 25°C) a posição da barra é perfeitamente ajustada (sem tensão) entre duas paredes rígidas. Dado: E_aço = 200 GPa; E_alumínio = 70 GPa; α_aço = 12 x 10^-6°C; α_alumínio = 23 x 10^-6°C. Calcule o esforço normal interno e as tensões nos materiais se a barra for aquecida até 90°C. Escolha uma opção: a. N = -39 kN; σ_aço = -77 MPa; σ_alumínio = -77 MPa b. N = -44 kN; σ_aço = -87 MPa; σ_alumínio = -87 MPa c. N = -59 kN; σ_aço = -116 MPa; σ_alumínio = -116 MPa d. N = 78 kN; σ_aço = 154 MPa; σ_alumínio = 154 MPa e. N = 69 kN; σ_aço = 136 MPa; σ_alumínio = 136 MPa Sua resposta está incorreta. A resposta correta é: N = -59 kN; σ_aço = -116 MPa; σ_alumínio = -116 MPa Uma barra metálica composta é feita de um segmento de latão AB, com comprimento de 400 mm e área da seção transversal de 200 mm², e um segmento de aço BC, com 300 mm de comprimento e área da seção transversal de 100 mm². A barra é rigidamente fixada no apoio rígido em A. A 20°C há uma folga de 0,5 mm entre a extremidade livre C da barra e o apoio rígido D. Determine qual o fator (ou coeficiente) de segurança (CS) contra a tensão de escoamento dos materiais quando a barra for aquecida a 150°C. Dados: E_latão=100 GPa; α_latão=21x10⁻6/°C; σ_y(latão)=350 MPa; E_aço=200 GPa; α_aço=12x10⁻6/°C; σ_y(aço)=400 MPa. Sua resposta está incorreta. A resposta correta é: FS_latão=1,3; FS_aço=2,3 O eixo de aço (G=83 GPa) é formado pela união de dois segmentos: o segmento AB é vazado, com diâmetro interno de 70 mm e diâmetro externo de 100 mm, com 2 m de comprimento; o segmento BC é maciço, com diâmetro de 70 mm e comprimento de 1,5 m. Determine a maior intensidade do torque T aplicado nas extremidades A e C, de forma a tensão de cisalhamento de 70 MPa e o ângulo de torção de 2,5º entre as extremidades A e C não sejam excedidos. A resposta correta é: Tmax=4,0 kN.m Questão 1 As forças nestes trechos são dadas por: 𝐹𝑎𝑏 = 1 𝑘𝑁 𝐹𝑏𝑐 = 1 − 5 = −4 𝑘𝑁 𝐹𝑐𝑑 = 1 − 5 + 1 = −3 𝑘𝑁 Logo, as tensões são (tensão negativa indica compressão e vice-versa): 𝜎𝑎𝑏 = 1000 𝜋 4 82 = 20 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑏𝑐 = −4000 𝜋 4 16,82 = −18 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑐𝑑 = −3000 𝜋 4 14,62 = −18 𝑀𝑃𝑎 Logo, a maior tensão aplicada vale 20Mpa Assim, para um coeficiente de segurança de 2, o limite de resistência deverá ser 20*2=40 MPa Questão 2 Somando os momentos em relação ao ponto A, temos: 𝑃 ∗ 1,5 − 𝑇 ∗ 1,5 tan 40 = 0 Logo: 𝑇 = 𝑃 tan 40 𝑇 = 14 ∗ tan 40 𝑇 = 11,75 𝑘𝑁 Calculando a tensão, temos: 𝜎 = 𝑇 𝐴 𝜎 = 11750 𝜋 4 6,352 𝜎 = 371 𝑀𝑃𝑎 Olhando para o gráfico, vemos que esta tensão corresponde a, aproximadamente: 𝜀 = 0,085 Assim o alongamento é dado por: ∆𝐿 = 𝜀𝐿 ∆𝐿 = 0,085 ∗ 1500 ∆𝐿 = 127,5 𝑚𝑚 Mas, pelo gráfico, vemos que a deformação elástica total do material é de apenas: 𝜀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 = 0,003 Logo, a deformação permanente será: 𝜀𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝜀 − 𝜀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝜀𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 0,085 − 0,003 𝜀𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 0,082 Questão 3 Calculando a tensão, temos: 𝜎1 = 𝑃 𝐴1 = 45000 𝜋 4 19,52 = 151 𝑀𝑃𝑎 𝜎2 = 𝑃 𝐴2 = 45000 𝜋 4 12,82 = 350 𝑀𝑃𝑎 Pelo gráfico, temos, aproximadamente: 𝐸 = 200 0,0023 = 87000 𝑀𝑃𝑎 Logo: 𝜀1 = 𝜎1 𝐸 = 151 87000 = 0,00173 Olhando para o gráfico, vemos que 𝜎2 corresponde a, aproximadamente: 𝜀2 = 0,060 Assim o comprimento final é dado por: 𝐿𝑓 = 𝐿1(1 + 𝜀1) + 𝐿2(1 + 𝜀2) 𝐿𝑓 = 500(1 + 0,00173) + 1000(1 + 0,060) 𝑳𝒇 = 𝟏𝟓𝟔𝟏 𝒎𝒎 Mas, pelo gráfico, vemos que a deformação elástica total do material é de apenas: 𝜀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 = 0,0023 Logo, a deformação permanente (na parte 2) será: 𝜀𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝜀2 − 𝜀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝜀𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 0,060 − 0,0023 𝜀𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 0,0577 Assim, o comprimento final após ser removida a carga será: 𝐿𝑓 = 𝐿1 + 𝐿2(1 + 𝜀𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒) 𝐿𝑓 = 500 + 1000(1 + 0,0577) 𝑳𝒇 = 𝟏𝟓𝟓𝟔 𝒎𝒎 Questão 4 Note que a força é a mesma em todos os materiais, assim temos: 𝐹 = 𝜎𝑎𝑙𝐴𝑎𝑙 = 𝜎𝑎ç𝑜𝐴𝑎ç𝑜 𝜎𝑎𝑙𝐷𝑎𝑙 2 = 𝜎𝑎ç𝑜𝐷𝑎ç𝑜 2 Agora, note que, se não houvesse restrições, o conjunto teria o seguinte comprimento final: 𝐿𝑓 = 𝐿𝑓,𝑎𝑙 + 𝐿𝑓,𝑎ç𝑜 𝐿𝑓 = (1 + 𝛼𝑎𝑙∆𝑇)𝐿0,𝑎𝑙 + (1 + 𝛼𝑎ç𝑜∆𝑇)𝐿0,𝑎ç𝑜 Mas, devido à restrição, os materiais devem permanecer com o comprimento total inicial: 𝐿0 = 𝐿0,𝑎𝑙 + 𝐿0,𝑎ç𝑜 Logo, o deslocamento sofrido é dado por: ∆𝐿 = 𝐿𝑓 − 𝐿0 = ((1 + 𝛼𝑎𝑙∆𝑇)𝐿0,𝑎𝑙 + (1 + 𝛼𝑎ç𝑜∆𝑇)𝐿0,𝑎ç𝑜) − (𝐿0,𝑎𝑙 + 𝐿0,𝑎ç𝑜) ∆𝐿 = (𝛼𝑎𝑙∆𝑇𝐿0,𝑎𝑙 + 𝛼𝑎ç𝑜∆𝑇𝐿0,𝑎ç𝑜) ∆𝐿 = ∆𝑇(𝛼𝑎𝑙𝐿0,𝑎𝑙 + 𝛼𝑎ç𝑜𝐿0,𝑎ç𝑜) Mas, este deslocamento é dado por ∆𝐿 = ∑ 𝐿0,𝑖𝜀𝑖 ∆𝐿 = ∑ 𝐿0,𝑖𝜎𝑖 𝐸𝑖 ∆𝐿 = 𝐿0,𝑎𝑙𝜎𝑎𝑙 𝐸𝑎𝑙 + 𝐿0,𝑎ç𝑜𝜎𝑎ç𝑜 𝐸𝑎ç𝑜 Juntando as equações, temos: 𝐿0,𝑎𝑙𝜎𝑎𝑙 𝐸𝑎𝑙 + 𝐿0,𝑎ç𝑜𝜎𝑎ç𝑜 𝐸𝑎ç𝑜 = ∆𝑇(𝛼𝑎𝑙𝐿0,𝑎𝑙 + 𝛼𝑎ç𝑜𝐿0,𝑎ç𝑜) 𝐿0,𝑎𝑙𝜎𝑎𝑙 𝐸𝑎𝑙 + 𝐿0,𝑎ç𝑜 𝐸𝑎ç𝑜 𝜎𝑎𝑙 𝐷𝑎𝑙 2 𝐷𝑎ç𝑜 2 = ∆𝑇(𝛼𝑎𝑙𝐿0,𝑎𝑙 + 𝛼𝑎ç𝑜𝐿0,𝑎ç𝑜) 𝜎𝑎𝑙 = ∆𝑇 𝛼𝑎𝑙𝐿0,𝑎𝑙 + 𝛼𝑎ç𝑜𝐿0,𝑎ç𝑜 𝐿0,𝑎𝑙 𝐸𝑎𝑙 + 𝐿0,𝑎ç𝑜 𝐸𝑎ç𝑜 𝐷𝑎𝑙 2 𝐷𝑎ç𝑜 2 Substituindo valores, temos: 𝜎𝑎𝑙 = (90 − 25) 23 ∗ 400 + 12 ∗ 350 400 70000 + 350 200000 ⋅ 10−6 𝝈𝒂𝒍 = −𝟏𝟏𝟔,𝟕 𝑴𝑷𝒂 (Sinal negativo, pois há´compressão) Logo, temos: 𝜎𝑎ç𝑜 = 𝜎𝑎𝑙 𝐷𝑎𝑙 2 𝐷𝑎ç𝑜 2 𝜎𝑎ç𝑜 = 𝜎𝑎𝑙 𝝈𝒂ç𝒐 = −𝟏𝟏𝟔,𝟕 𝑴𝑷𝒂 E a força é dada por: 𝑁 = 𝜎𝐴 𝑁 = −116,7 ∗ 𝜋 4 25,42 𝑁 = −59133 𝑁 𝑵 = −𝟓𝟗 𝒌𝑵 Questão 5 Note que a força é a mesma em todos os materiais, assim temos: 𝐹 = 𝜎𝑙𝑎𝑡𝐴𝑙𝑎𝑡 = 𝜎𝑎ç𝑜𝐴𝑎ç𝑜 𝜎𝑙𝑎𝑡𝐷𝑙𝑎𝑡 2 = 𝜎𝑎ç𝑜𝐷𝑎ç𝑜 2 Agora, note que, se não houvesse restrições, o conjunto teria o seguinte comprimento final: 𝐿𝑓 = 𝐿𝑓,𝑙𝑎𝑡 + 𝐿𝑓,𝑎ç𝑜 𝐿𝑓 = (1 + 𝛼𝑙𝑎𝑡∆𝑇)𝐿0,𝑙𝑎𝑡 + (1 + 𝛼𝑎ç𝑜∆𝑇)𝐿0,𝑎ç𝑜 Mas, devido à restrição, os materiais devem permanecer com o comprimento total final igual ao comprimento inicial mais a folga: 𝐿𝑓,𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 = 𝐿0 + 𝛿 = 𝐿0,𝑙𝑎𝑡 + 𝐿0,𝑎ç𝑜 + 𝛿 Logo, o deslocamento sofrido é dado por: ∆𝐿 = 𝐿𝑓 − 𝐿𝑓,𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 = ((1 + 𝛼𝑙𝑎𝑡∆𝑇)𝐿0,𝑙𝑎𝑡 + (1 + 𝛼𝑎ç𝑜∆𝑇)𝐿0,𝑎ç𝑜) − (𝐿0,𝑙𝑎𝑡 + 𝐿0,𝑎ç𝑜 + 𝛿) ∆𝐿 = (𝛼𝑙𝑎𝑡∆𝑇𝐿0,𝑙𝑎𝑡 + 𝛼𝑎ç𝑜∆𝑇𝐿0,𝑎ç𝑜) − 𝛿 ∆𝐿 = ∆𝑇(𝛼𝑙𝑎𝑡𝐿0,𝑙𝑎𝑡 + 𝛼𝑎ç𝑜𝐿0,𝑎ç𝑜) − 𝛿 Mas, este deslocamento é dado por ∆𝐿 = ∑ 𝐿0,𝑖𝜀𝑖 ∆𝐿 = ∑ 𝐿0,𝑖𝜎𝑖 𝐸𝑖 ∆𝐿 = 𝐿0,𝑙𝑎𝑡𝜎𝑙𝑎𝑡 𝐸𝑙𝑎𝑡 + 𝐿0,𝑎ç𝑜𝜎𝑎ç𝑜 𝐸𝑎ç𝑜 Juntando as equações, temos: 𝐿0,𝑙𝑎𝑡𝜎𝑙𝑎𝑡 𝐸𝑙𝑎𝑡 + 𝐿0,𝑎ç𝑜𝜎𝑎ç𝑜 𝐸𝑎ç𝑜 = ∆𝑇(𝛼𝑙𝑎𝑡𝐿0,𝑙𝑎𝑡 + 𝛼𝑎ç𝑜𝐿0,𝑎ç𝑜) − 𝛿 𝜎𝑙𝑎𝑡 = ∆𝑇(𝛼𝑙𝑎𝑡𝐿0,𝑙𝑎𝑡 + 𝛼𝑎ç𝑜𝐿0,𝑎ç𝑜) − 𝛿 𝐿0,𝑙𝑎𝑡 𝐸𝑙𝑎𝑡 + 𝐿0,𝑎ç𝑜 𝐸𝑎ç𝑜 𝐷𝑙𝑎𝑡 2 𝐷𝑎ç𝑜 2 Substituindo valores, temos: 𝜎𝑙𝑎𝑡 = (150 − 20)(21 ∗ 400 + 12 ∗ 300) ⋅ 10−6 − 0,5 400 100000 + 300 200000 200 100 𝜎𝑙𝑎𝑡 = 151 𝑀𝑃𝑎 Logo: 𝐹𝑆𝑙𝑎𝑡 = 350 𝜎𝑙𝑎𝑡 = 2,3 E para o aço: 𝜎𝑎ç𝑜 = 𝜎𝑙𝑎𝑡 ∗ 200 100 𝜎𝑎ç𝑜 = 302 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑆𝑎ç𝑜 = 400 𝜎𝑎ç𝑜 = 1,3 Questão 6 A tensão é dada por: 𝜏 = 𝑇 ∗ 𝑟 𝐽 Logo, o torque máximo para tensão em cada seção é dado por: 𝑇1 = 𝜏𝐽 𝑟 = 70 𝜋 2 (504 − 354) 50 = 10444421 𝑁. 𝑚𝑚 𝑇2 = 𝜏𝐽 𝑟 = 70 𝜋 2 (354) 35 = 4714352 𝑁. 𝑚𝑚 Pela equação da torção, o ângulo é dado por: 𝜃 = 𝑇𝐿 𝐺𝐽 O ângulo total vale: 𝜃 = 𝑇𝐿1 𝐺𝐽1 + 𝑇𝐿2 𝐺𝐽2 Logo, o torque máximo para ângulo em cada seção é dado por: 𝑇 = 𝜃𝐺 𝐿1 𝐽1 + 𝐿2 𝐽2 𝑇 = ( 𝜋 180 ∗ 2,5) ∗ 83000 2000 𝜋 2 (504 − 354) + 1500 𝜋 2 (354) 𝑇 = 4004198 𝑁. 𝑚𝑚 𝑻 = 𝟒, 𝟎 𝒌𝑵.𝒎