Atividade Resmat1 Resolvida-2023 1

a) Calcule as reações nos apoios, resolvendo a indeterminação estática pelo método da integração; b) Desenhe os diagramas de força cortante e momento fletor c) Calcule a máxima tensão normal na viga d) Calcule a máxima (absoluta) tensão de cisalhamento e a tensão de cisalhamento na seção a-a. e) Obtenha as equações para a deflexão e a inclinação da elástica pelo método da integração f) Calcule a deflexão no centro da viga Dados: H = 400 mm; b = 180 mm; t(alma) = 8 mm; t(flange) = 13 mm. Material: aço (E = 200 GPa) 14 kN/m A B C 5 m 3 m a) Começando com um esboço do problema Por se tratar de cargas descontínuas, precisamos dividir a viga em duas seções. Por conveniência, a viga será dividida de 0 a 3m, depois de 3 a 8m, ou seja, da direita para esquerda. Primeira seção, 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟑 𝑀 = 0 ↻+ 𝑀1 𝑥 − 𝑅𝑐𝑥 = 0 𝑀1 𝑥 = 𝑅𝑐𝑥 Uma vez conhecida a equação do momento, obtemos a equação da deflexão: 𝑑2𝑥 𝑑𝑦2 𝑥 1 = 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑥 1 = 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼 𝑑𝑦 𝑑𝑥(𝑥)1 = 𝑅𝑐 2 𝑥2 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 𝑥 1 = 𝑅𝑐 6 𝑥3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 Segunda seção 𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟖 𝑀 = 0 ↻+ 𝑀2 𝑥 − 𝑅𝑐𝑥 + 14 𝑥 − 3 ( 𝑥−3 2 ) = 0 𝑀2 𝑥 = 𝑅𝑐𝑥 − 7(𝑥 − 3)2 Equação da deflexão: 𝑑2𝑥 𝑑𝑦2 𝑥 2 = 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑥 2 = 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼 𝑑𝑦 𝑑𝑥(𝑥)2 = 𝑅𝑐 2 𝑥2 − 7 3 𝑥 − 3 3 + 𝐶3 𝐸𝐼𝑦 𝑥 2 = 𝑅𝑐 6 𝑥3 − 7 12 𝑥 − 3 4 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4 As constantes são obtidas pelas condições de contorno do problema. Para o caso da questão, as seguintes condições precisam ser atendidas: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 8 = 0, 𝑦 0 = 0 e 𝑦 8 = 0. Além disso, o problema foi dividido em duas seções no ponto 𝑥 = 3, portanto as seguintes condições também precisam ser atendidas: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3 1 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥(3)2 e 𝑦 3 1 = 𝑦 3 2. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3 1 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥(3)2 𝑅𝑐 2 ∗ 32 + 𝐶1 = 𝑅𝑐 2 ∗ 32 − 7 3 3 − 3 3 + 𝐶3 𝐶1 = 𝐶3 𝑦 3 1 = 𝑦 3 2 𝑅𝑐 6 ∗ 33 + 𝐶1 ∗ 8 + 𝐶2 = 𝑅𝑐 6 ∗ 33 − 7 12 3 − 3 4 + 𝐶3 ∗ 3 + 𝐶4 𝐶2 = 𝐶4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 8 = 0 𝑅𝑐 2 82 − 7 3 8 − 3 3 + 𝐶3 = 0 𝐶3 = 875 3 − 32𝑅𝑐 𝑦 8 = 0 𝑅𝑐 6 83 − 7 12 8 − 3 4 + ( 875 3 − 32𝑅𝑐) ∗ 8 + 𝐶4 = 0 𝐶4 =− 1968,75 + 512 3 𝑅𝑐 𝑦 0 = 0 𝑅𝑐 6 ∗ 03 + 875 3 − 32𝑅𝑐 ∗ 0 − 1968,75 + 512 3 𝑅𝑐 = 0 𝑹𝒄 = 𝟏𝟏,𝟓𝟑𝟓 𝒌𝑵 Agora que a reação de apoio no ponto C foi descoberta, as outras reações podem ser calculadas a partir das equações da estática 𝐹𝑦 = 0 ↑+ 𝑅𝑐 + 𝑅𝑎 − 14 ∗ 5 = 0 𝑅𝑎 = 70 − 11.535 𝑹𝒂 = 𝟓𝟖,𝟒𝟔𝟓 𝒌𝑵 𝑀𝑐 = 0 ↻+ 𝑅𝑎 ∗ 8 − 14 ∗ 5 ∗ 5,5 + 𝑀𝑎 = 0 𝑴𝒂 =− 𝟖𝟐,𝟕𝟐 𝒌𝑵𝒎 b) Agora que as reações de apoio são conhecidas, para calcular os diagramas de momento fletor a viga será separada em duas seções, da esquerda para direita Primeira seção, 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟓 𝐹𝑦 = 0 ↑+ 𝑅𝑎 − 14 ∗ 𝑥 − 𝑉 𝑥 1 = 0 𝑉 𝑥 1 = − 14𝑥 + 58,465 𝑀𝑐 = 0 ↺+ 𝑀 𝑥 1 + 𝑀𝑎 − 𝑅𝑎 ∗ 𝑥 + 14 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 2 = 0 𝑀 𝑥 1 =− 7𝑥2 + 𝑅𝑎𝑥 − 𝑀𝑎 𝑀 𝑥 1 =− 7𝑥2 + 58,465𝑥 − 82,72 Segunda seção, 𝟓 ≤ 𝒙 < 𝟖 𝐹𝑦 = 0 ↑+ 𝑅𝑎 − 14 ∗ 5 − 𝑉(𝑥)2 = 0 𝑉(𝑥)2 = − 11,535 𝑀𝑐 = 0 ↺+ 𝑀 𝑥 2 + 𝑀𝑎 − 𝑅𝑎 ∗ 𝑥 + 14 ∗ 5 ∗ (𝑥 − 2,5) = 0 𝑀 𝑥 2 =+ 𝑅𝑎𝑥 − 70 𝑥 − 2,5 − 𝑀𝑎 𝑀 𝑥 2 = 58,465𝑥 − 70 𝑥 − 2,5 − 82,72 𝑀 𝑥 2 =− 11,535𝑥 + 92,28 Com as funções de força cortante e momento fletor, os gráfico são plotados c) Pelo gráfico do momento, fica claro que a região onde há a maior tensão é no engaste, pois é lá que está o maior momento de inércia. O valor do momento no ponto é dado por 𝑀 0 1 =− 7 ∗ 02 + 58,465 ∗ 0 − 82,72 𝑀 0 1 = − 82,72 𝑘𝑁𝑚 Calculando o momento de inércia da viga 𝐼 = 0,008 ∗ (0,4 − 2 ∗ 0,013)3 12 + 2 ∗ (0,013 ∗ 0,18 ∗ 0,2 − 0,0065 2 + 0,18 ∗ 0,0133 12 ) 𝐼 = 2,102 ∗ 10−4 𝑚4 Pela fórmula da flexão 𝜎 = 𝑀𝑐 𝐼 𝜎 = 82,72 ∗ 1000 ∗ 0,2 2,102 ∗ 10−4 𝜎 = 78705994 𝑃𝑎 𝝈 = 𝟕𝟖,𝟕 𝑴𝑷𝒂 d) Pelo gráfico da força cortante, o ponto de maior esforço cortante é o engaste. Portanto, pela equação da força cortante 𝑉 0 1 = − 14 ∗ 0 + 58,465 𝑉 0 1 = 58,465 𝑘𝑁 Pela fórmula do cisalhamento 𝜏 = 𝑉𝑄 𝐼𝑡 Começando pela tensão absoluta, que ocorre no centro da viga. Calculando Q 𝑄 = 𝐴′𝑦𝑐 𝑄 = 0,2 − 0,013 ∗ 0,008 ∗ 0,0935 + 0,18 ∗ 0,013 ∗ 0,1935 𝑄 = 5,9266 ∗ 10−4 𝑚3 Calculando 𝜏 𝑚𝑎𝑥 𝜏 𝑚𝑎𝑥 = 58465 ∗ 5,9266 ∗ 10−4 2,102 ∗ 10−4 ∗ 0,008 𝜏 𝑚𝑎𝑥 = 20605296 𝑃𝑎 𝝉 𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝟎,𝟔 𝑴𝑷𝒂 Tensão na seção a-a 𝑄 = 𝐴′𝑦𝑐 𝑄 = 0,18 ∗ 0,013 ∗ 0,1935 𝑄 = 4,5279 ∗ 10−4 𝜏𝑎−𝑎 = 𝑉𝑄 𝐼𝑡 𝜏𝑎−𝑎 = 58465 ∗ 4,5279 ∗ 10−4 2,102 ∗ 10−4 ∗ 0,18 𝜏𝑎−𝑎 = 699660 𝑃𝑎 𝝉𝒂−𝒂 = 𝟎,𝟕 𝑴𝑷𝒂 e) As equações de deflexão e inclinação já foram calculadas no item a). Primeira seção, 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟑 𝐸𝐼 𝑑𝑦 𝑑𝑥(𝑥)1 = 𝑅𝑐 2 𝑥2 + 𝐶1 𝐸𝐼 𝑑𝑦 𝑑𝑥(𝑥)1 = 𝑅𝑐 2 𝑥2 + 875 3 − 32𝑅𝑐 𝑑𝑦 𝑑𝑥(𝑥)1 = 1 𝐸𝐼( 11,535 2 𝑥2 + 875 3 − 32 ∗ 11,535) 𝒅𝒚 𝒅𝒙(𝒙)𝟏 = 𝟏 𝑬𝑰(𝟓,𝟕𝟔𝟕𝒙𝟐 − 𝟕𝟕,𝟒𝟓) 𝐸𝐼𝑦 𝑥 1 = 𝑅𝑐 6 𝑥3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 𝐸𝐼𝑦 𝑥 1 = 𝑅𝑐 6 𝑥3 + ( 875 3 − 32𝑅𝑐)𝑥 − 1968,75 + 512 3 𝑅𝑐 𝑦 𝑥 1 = 1 𝐸𝐼 11,535 6 𝑥3 + 875 3 − 32 ∗ 11,535 𝑥 − 1968,75 + 512 3 ∗ 11,535 𝒚 𝒙 𝟏 = 𝟏 𝑬𝑰 𝟏,𝟗𝟐𝟐𝟓𝒙𝟑 − 𝟕𝟕,𝟒𝟓𝒙 Segunda seção 𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟖 𝐸𝐼 𝑑𝑦 𝑑𝑥(𝑥)2 = 𝑅𝑐 2 𝑥2 − 7 3 𝑥 − 3 3 + 𝐶3 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 = 𝟏 𝑬𝑰(𝟓,𝟕𝟔𝟕𝒙𝟐 − 𝟕 𝟑 𝒙 − 𝟑 𝟑 − 𝟕𝟕,𝟒𝟓) 𝐸𝐼𝑦 𝑥 2 = 𝑅𝑐 6 𝑥3 − 7 12 𝑥 − 3 4 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4 𝒚 𝒙 𝟐 = 𝟏 𝑬𝑰(𝟏,𝟗𝟐𝟐𝟓𝒙𝟑 − 𝟕 𝟏𝟐 𝒙 − 𝟑 𝟒 − 𝟕𝟕,𝟒𝟓𝒙) Obs: como as unidades foram passados em kilo (kN e kNm), a deflexão é dada em milímetros. e) O centro da viga fica no ponto 𝑥 = 4, que está na segunda seção. Portanto, usando a equação da deflexão 𝑦 𝑥 2 = 1 𝐸𝐼(1,9225𝑥3 − 7 12 𝑥 − 3 4 − 77,45𝑥) 𝑦 4 2 = 1 200 ∗ 109 ∗ 2,102 ∗ 10−4 (1,9225∗ 43 − 7 12 4 − 3 4 − 77,45 ∗ 4) 𝒚 𝟒 𝟐 =− 𝟒,𝟒𝟓𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝒎𝒎