Lista de Exercícios 4 Cônicas e Quadraticas com Gabarito-2022 2

Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a Campus Apucarana Disciplina: Geometria Anal´ıtica e ´Algebra Linear Professor: Alisson C. Reinol Lista de exerc´ıcios 4 - Cˆonicas e qu´adricas 1) Esboce o gr´afico, determine os focos e a excentricidade das elipses abaixo. a) 25x2 + 4y2 = 100 b) 9x2 + 16y2 − 144 = 0 2) Esboce o gr´afico, determine os focos e a excentricidade das hip´erboles abaixo. a) 16x2 − 25y2 − 400 = 0 b) 2y2 − 4x2 = 1 3) Esboce o gr´afico, determine o foco e uma equa¸c˜ao da diretriz das par´abolas abaixo a) y2 = −8x b) x2 − 10y = 0 4) Obtenha a equa¸c˜ao reduzida das cˆonicas abaixo. a) Circunferˆencia centrada no ponto C(1, 1) e que passa pela origem. b) Elipse de focos F(0, ±3) e excentricidade √ 3 2 . c) Hip´erbole de focos F(±5, 0) e eixo imagin´ario medindo 4. d) Par´abola de v´ertice na origem e foco F(0, −3). 5) Identifique as cˆonicas abaixo e determine a sua equa¸c˜ao reduzida. a) x2 − 3y2 + 8x + 12y − 13 = 0 b) y2 − 2x − 6y + 5 = 0 c) x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0 1 6) Obtenha a equa¸c˜ao geral das superf´ıcies esf´ericas nas condi¸c˜oes dadas. a) Centro C(4, −1, −2) e passando pelo ponto P(2, 3, −1). b) Centro C(−2, 3, 4) e tangente ao eixo-z. 7) Identifique e descreva as qu´adricas dadas pelas equa¸c˜oes abaixo. (Dica: obtenha a forma canˆonica de cada qu´adrica) a) x2 + y2 + z2 − 6x + 4y + 9 = 0 b) x2 + 4y2 + 8x − 8y − 4z + 28 = 0 c) 4x2 − 2y2 + z2 − 24x − 4y + 8z + 42 = 0 d) 2x2 + y2 − 4z2 + 2y + 5 = 0 e) 6x2 + 3y2 + 2z2 + 24x − 6y − 12z + 39 = 0 2 Gabarito 21 7 l-a) F(0,+V21), e = va b) F(+V7,0), e= vt Al 3 6 2-a) F(£VH, 0), e = vi b) F [.2) e= vb 5 3-a) F(—2,0), 7 =2 b) F(0.5).v+5=0 ey? 4- —1) —1)=2 b) —~4+2=2=1 a) (@ 1+ (y=) ye44 ey? a | 2 c) oI d) x 12y 4 2 —2 2 5-a) hipérbole, @+4y" _ (y= 2) =1 17 17/3 b) parabola, (y — 3)? = 2 (x 4+ 2) c) circunferéncia, (x — 1)? + (y+ 2)? =9 6-a) 2? + y? + 2? — 82 + 2y +42 =0 b) a? + y? + 27 + 4x — 6y — 82 +16 = 0 7-a) superficie esférica de centro C(3, —2,0) e raio r = 2 b) paraboloide eliptico ao longo do eixo z de vértice V(—4, 1,2) ecoma=2eb=1 c) hiperboloide de uma folha ao longo do eixo y de centro C(3, —1, —4) e coma = V2, b=2ec=2vV2 d) hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo z de centro C(0,—1,0) e com a= V2, b=2ec=1 e) elipsoide de centro C(—2,1,3) ecoma=1,b= V2 ec= V3. 3