Geometria Analítica e Álgebra Linear

Capítulo 1\nMatrizes\nNotas de aula da disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear, baseadas principalmente nos livros de David Poole, Álgebra Linear e Paulo Winterle, Vetores e Geometria Analítica. Este texto está em construção, então pode conter erros de digitação.\n\nO nosso objetivo não será apenas considerar uma matriz como uma tabela, para gravar dados e informações, mas também, observar que ela associa certas matrizes a outras matrizes, ou seja, as matrizes podem ser pensadas como funções. Por exemplo, considere a matriz e note que ela pode ser multiplicada pela matriz que resulta na matriz . Observe ainda que, em geral, . Desta forma, podemos considerar a matriz A, como uma função que associa a cada matriz a matriz , originando uma função do conjunto de todas as matrizes neste mesmo conjunto.\n\n1 1.1 Tipos de Matrizes\nDefinição 1.1.1: Uma matriz é uma tabela retangular de números, chamados de elementos, termos ou ainda, entradas da matriz.\n\nObservação 1.1.2: As entradas das matrizes abordadas nestas notas serão números reais, mas convém ressaltar, que ela poderão ser tomadas de outras estruturas algébricas, tais como corpos (como o conjunto dos números complexos, os inteiros módulo , primo), ou ainda, anéis.\n\nExemplo 1.1.3: \nObserve que quando escrevemos uma matriz, dispomos seus elementos em linhas e colunas.\n\nDefinição 1.1.4: A ordem de uma matriz, descreve a número de linhas e colunas que ela tem. Uma matriz é chamada quando tem linhas e colunas. Caso , diremos que a matriz é de ordem .\n\nAssim, observe que no exemplo anterior, é uma matriz (pois possui duas linhas e duas colunas), a matriz possui ordem (pois tem 2 linhas e 1 coluna) e é uma matriz (com 2 linhas e 3 colunas).\n\nUma vez que as entradas de uma matriz são dispostas em linhas e colunas, quando quisermos nos referir aos elementos de uma matriz, de forma geral, usaremos letras minúsculas, com índices duplos. Ou seja, considere uma matriz de ordem . Assim denotaremos\n\n1 geral, denota o elemento da -ésima linha e -ésimo coluna.\nExemplo 1.1.5: Considere a matriz \n , , \n , , . Temos que\nAs vezes desconsideramos os índices, para não carregar a notação, e escreveremos simplesmente, para uma matriz genérica.\nAtenção! Uma matriz será denotada por letras maiúsculas, , , , enquanto que seus elementos serão denotados por letras minúsculas , , , . Além disso, poderemos escrever\nExemplo 1.1.6: Encontre uma matriz , com , Desta forma,\n onde (pois neste caso e ), , e . Desta\nforma\n\nExercício 1.1.7: Encontre as seguintes matrizes:\na) com \nb) com \nc) com \nNotação 1.1.8: Denotaremos por o conjunto de todas as matrizes\n\n3 com entradas em , ou seja,\n\nSe , então denotaremos .\n\nExemplo 1.1.9: é o conjunto\ndas matrizes de ordem 2, com entradas reais.\n\nAgora falaremos de tipos de matrizes. São matrizes que aparecerão frequentemente em nosso curso.\n\nDefinição 1.1.10: Uma matriz linha é uma matriz de ordem . E uma matriz coluna é uma matriz de ordem .\n\nOu seja, uma matriz linha é uma matriz com apenas 1 linha, enquanto que uma matriz coluna é uma matriz com apenas 1 coluna.\n\nExemplo 1.1.11: - é uma matriz linha (pois possui apenas uma linha), mas não é uma matriz coluna (pois tem mais de 1 coluna). Já a matriz - é uma matriz coluna, pois tem 1 coluna, e não é uma matriz linha.\n\nNote que a matriz de ordem 1, é uma matriz linha (possui 1 linha) e também uma matriz coluna (possui 1 coluna).\n\nDefinição 1.1.12: Uma matriz quadrada é uma matriz de ordem , com .\n\nExemplo 1.1.13: , , , . São exemplos de matrizes quadradas, onde o número de linhas coincide com o número de colunas. Note que não é quadrada, pois o número de linhas (1) é diferente do número de colunas (2). Definição 1.1.14: Os elementos da diagonal de uma matriz , são os elementos , com .\n\nExemplo 1.1.15: Considere a matriz - e - são os elementos da diagonal. Já - é o elemento da diagonal da matriz - .\n\nNote que, conforme os exemplos anteriores, a matriz não precisa ser diagonal, para ter elementos da diagonal. A coleção dos elementos da diagonal é a diagonal da matriz.\n\nDefinição 1.1.16: Seja . Dizemos que a matriz é diagonal se , para todo .\n\nAssim uma matriz é diagonal se for quadrada e os elementos fora da diagonal são todos nulos. Por exemplo, a matriz é diagonal, pois satisfaz a definição, já que não existe elemento fora da diagonal. A matriz é diagonal, pois os elementos . Enquanto que a matriz não é -\n\nDefinição 1.1.17: Uma matriz é uma matriz escalar se for diagonal e todos os elementos da diagonal são iguais.\n\nExemplo 1.1.18: A matriz é escalar, pois . A matriz - não é escalar, pois . Definição 1.1.19: Diremos que é uma matriz identidade se for uma matriz escalar e o escalar na diagonal for 1.\n\nNotação 1.1.20: Denotaremos a matriz identidade de ordem por .\n\nAssim , , são as matrizes identidade, de ordens 1, 2 e 3, respectivamente.\n\nDefinição 1.1.21: Considere uma matriz . Diremos que a matriz é a matriz nula se , para todo , , e para todo , .\n\nNotação 1.1.22: Denotaremos a matriz nula por .\n\nExemplo 1.1.23: As matrizes , , , , são matrizes nulas, pois todas as suas entradas são nulas.\n\n1.2 Igualdade de Matrizes\n\nFalaremos agora de um conceito que, embora seja muito simples, será empregado inúmeras vezes até o término do curso.\n\nDefinição 1.2.1: Sejam e que se , e , para todo , , e para todo , Em palavras, duas matrizes são iguais se têm a mesma ordem e as entradas correspondentes são iguais. Assim, as matrizes são iguais, se , e . Note que temos um sistema de equações lineares Da segunda equação segue que e da terceira equação resulta que . Por outro lado, somando as duas equações , temos , de onde . Logo Exercício 1.2.2: Encontre os valores de e para que as matrizes e sejam iguais, ou 1.3 Operações com Matrizes 1.3.1 Adição de Matrizes Definiremos agora a soma de duas matrizes, que não é apenas uma fórmula para somar duas tabelas de números, mas sim introduzir uma operação no conjunto. Veremos na sequência que esta operação é muito boa, no sentido de gozar de várias propriedades que nos permitirão, por exemplo, operar matrizes e formar equações matriciais. Sejam . A soma é definida por Assim, a soma das matrizes e será obtida somando-se os elementos correspon Exemplo 1.3.4: Considere a matriz Para , temos que Para , temos que Para , temos que pois , , , ( se, e somente se, , ou seja, a função arctg é a função inversa da tg), Para , temos que Note que, no exemplo anterior , ou seja, multiplicando o escalar (número) 0 pela matriz obtivemos a matriz nula. Será que isto é verdadeiro para qualquer matriz que você considere? Da mesma forma, Será que isto continua válido se considerarmos outra matriz ? A resposta para as duas perguntas é sim! Você consegue explicar o porquê? Exercício 1.3.5: Sejam e . Calcule Com a operação multiplicação por escalar, conseguimos definir o conceito de matriz oposta.\n\nDefinição 1.3.6: Seja . A matriz oposta de , denotada por , é definida por \n\nObserve que a matriz oposta de é a multiplicação do escalar pela matriz , isto é,\n\nExemplo 1.3.7: Considere a matriz nula de ordem 2, a saber, . A matriz oposta de 0 é a própria matriz 0, pois\n\nExemplo 1.3.8: Seja - Então\n\nCom o conceito de matriz oposta (definida a partir da multiplicação da matriz por escalar) e a operação de soma de matrizes, conseguimos definir mais uma operação no conjunto das matrizes, a saber a diferença de duas matrizes.\n\nSejam , . A diferença é definida por