Avaliação Gaal Ead 2021 2

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Departamento Acadêmico de Matemática GAAL EaD 2021-1 - Prof. Ronie Avaliação GAAL EaD 21/08/2021 Atenção: Todas as respostas deverão ser justificadas. Questões copiadas serão zeradas em todas as provas! [Questão 1 - 1.0 pt] Mostre que se uma matriz simétrica é inversível, então sua inversa também é simétrica [Questão 2 - 1.5 pts] Utilizando escalonamento, resolva o sistema linear:      x − y − z + 2w = 1 2x − 2y − z + 3w = 3 −x + y − z = −3 [Questão 3 - 1.5 pt] Determine a equação do plano que passa pelo ponto P0 = (1, 2, 1) e é paralelo aos vetores u = 2i + j − k e v = i + j − 2k. [Questão 4 - 2 pts] Sabendo que T : R3 → R3 a transformação linear T(x, y, z) = (x + 2y + z, y + z, −x + 3y + 4z). Determine uma base para o núcleo de T e uma base para a imagem de T. [Questão 5 - 1.5 pts] Achar uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tal que A = PDP T, onde A é a matriz A =    1 2 0 2 1 0 0 0 3    [Questão 6 - 1.5 pts] Identifique a quádrica x2 + y2 + 3z2 + 4xy = 3 [Questão 7 - 1.0 pt] Sejam A e B matrizes n × n tais que det(A) = √ 3 e det(B) = −1/ √ 3. Seja AT é a transposta de A. Calcule det(ATB−1).