Lista de Diferenciabilidade

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Pato Branco Departamento de Matemática Lista Diferenciabilidade Análise Matemática Questão 01 Verifique se f é derivável em a a fx x 2 se x 4 x 6 se x 4 a 4 b fx 3 2x se x 2 3x 7 se x 2 a 2 c fx x 3 a 3 d fx 1 se x 0 x 1 se x 0 a 0 e fx x² se x 0 x² se x 0 a 0 f fx 1 x se x 1 1 x² se x 1 a 1 g fx 2x² 3 se x 2 8x 11 se x 2 a 2 h fx 3x² se x 2 x³ se x 2 a 2 Questão 02 Sejam f g X R R funções a X X e c R Mostre que f g e cf são funções deriváveis em a e que a f ga fa ga b cfa cfa Questão 03 Seja fx xⁿ onde n N e x R 0 Mostre que fx n xⁿ¹ Questão 04 Sejam f X R R uma função e a X X Mostre que a Se f é derivável à direita em a e fa 0 então existe δ 0 tal que fx fa para todo x X a a δ b Se f é derivável à direita em a e f possui um mínimo local em a então fa 0 Questão 05 Sejam f X R R uma função e a X X Mostre que a Se f é derivável à esquerda em a e fa 0 então existe δ 0 tal que fx fa para todo x X a δ a b Se f e derivavel a esquerda em a e f possui um mınimo local em a entao f a 0 Questao 06 Sejam f X R R uma funcao e a X X X Mostre que se f e derivavel em a e f possui um mınimo local em a entao f a 0 Questao 07 Sejam I R um intervalo e f I R uma funcao contınua em I Mostre que se f x 0 para todo x I entao f e constante em I Questao 08 Sejam I R um intervalo e f g I R funcoes contınuas em I e derivaveis em I Mostre que se f x gx para todo x I entao existe c R tal que gx fx c para todo x I Questao 09 Sejam I R um intervalo e f I R uma funcao derivavel em I Mostre que se existir c 0 tal que f x c para todo x I entao fy fx cy x para todos x y I Questao 010 Considere a funcao fx x3 5x2 3x Encontre todos os pontos c no intervalo 1 3 tais que f c f3f1 2 Bom trabalho Lista de Diferenciabilidade Renan Questão 01 Verificaremos a derivabilidade das funções dadas nos pontos indicados O processo consiste nos seguintes passos 1 Verificar a continuidade da função no ponto a 2 Calcular as derivadas laterais fa e fa 3 Confirmar que fa fa para garantir a diferenciabilidade a fx x 2 se x 4 x 6 se x 4 a 4 Continuidade em a 4 f4 4 2 2 limx4 fx 4 2 2 limx4 fx 4 6 2 Como os limites laterais são iguais e coincidem com f4 fx é contínua em x 4 Derivadas laterais em a 4 fx limh0 f4 h f4 h limh0 4 h 2 2 h 1 fx limh0 f4 h f4 h limh0 4 h 6 2 h 1 Como fa fa fx não é derivável em x 4 b fx 3 2x se x 2 3x 7 se x 2 a 2 Continuidade em a 2 f2 32 7 1 limx2 fx 3 22 1 limx2 fx 32 7 1 Como os limites laterais são iguais e coincidem com f2 fx é contínua em x 2 Derivadas laterais em a 2 fx limh0 f2 h f2 h 2 fx limh0 f2 h f2 h 3 Como fa fa fx não é derivável em x 2 c fx x 3 a 3 Continuidade em a 3 A função módulo é contínua em todos os pontos logo fx é contínua em x 3 Derivadas laterais em a 3 fx limh0 f3 h f3 h limh0 3 h 3 0 h 1 fx limh0 f3 h f3 h limh0 3 h 3 0 h 1 Como fa fa fx não é derivável em x 3 d fx 1 se x 0 x 1 se x 0 a 0 Continuidade em a 0 f0 0 1 1 limx0 fx 1 limx0 fx 0 1 1 Como os limites laterais são iguais e coincidem com f0 fx é contínua em x 0 Derivadas laterais em a 0 fx limh0 f0 h f0 h limh0 1 1 h 0 fx limh0 f0 h f0 h limh0 h 1 1 h 1 Como fa fa fx não é derivável em x 0 e fx x2 se x 0 x2 se x 0 a0 Continuidade em a0 f0 02 0 limx0 fx 02 0 limx0 fx 02 0 Como os limites laterais são iguais e coincidem com f0 fx é contínua em x0 Derivadas laterais em a0 fx limh0 f0 h f0h limh0 h2 0h limh0 h 0 fx limh0 f0 h f0h limh0 h2 0h limh0 h 0 Como fa fa 0 fx é derivável em x0 e f0 0 f fx sqrt1 x se x 1 1 x2 se x 1 a1 Continuidade em a1 f1 1 12 0 limx1 fx sqrt1 1 0 limx1 fx 1 12 0 Como os limites laterais são iguais e coincidem com f1 fx é contínua em x1 Derivadas laterais em a1 Para x 1 f1 limh0 sqrt1 1 h f1h limh0 sqrthh Note que sqrth não é real para h 0 Logo f1 não existe Como f1 não existe fx não é derivável em x1 g fx 2x2 3 se x 2 8x 11 se x 2 a2 Continuidade em a2 f2 222 3 8 3 5 limx2 fx 222 3 5 limx2 fx 82 11 16 11 5 Como os limites laterais são iguais e coincidem com f2 fx é contínua em x2 Derivadas laterais em a2 Para x 2 fx 2x2 3 f2 ddx 2x2 3 4x em x2 f2 42 8 Para x 2 fx 8x 11 f2 ddx 8x 11 8 Como f2 f2 8 fx é derivável em x2 e f2 8 h fx 3x2 se x 2 x3 se x 2 a2 Continuidade em a2 f2 322 12 limx2 fx 322 12 limx2 fx 23 8 Como limx2 fx limx2 fx fx não é contínua em x2 Derivabilidade em a2 Como fx não é contínua em x2 ela também não é derivável nesse ponto Questão 02 a f ga fa ga b cfa cfa Resolução a Seja hx fx gx O coeficiente de derivada e dado por ha lim xa hx ha x a lim xa fx gx fa ga x a Separando os termos ha lim xa fx fa x a lim xa gx ga x a Como f e g sao derivaveis em a segue que ha f a ga b Seja hx cfx A derivada e dada por ha lim xa hx ha x a lim xa cfx cfa x a Fatorando c ha c lim xa fx fa x a Como fx e derivavel em a segue que ha cf a Questao 03 Seja fx xn onde n N e x 0 Mostre que f x nxn1 Resolucao Utilizamos a definicao de derivada f x lim h0 fx h fx h Substituımos fx xn f x lim h0 x hn xn h 5 an bn bn anan bn Portanto x hn xn xn x hn xn x hn Substituímos na fórmula da derivada fx limh0 xn x hn xn x hn h Simplificando fx limh0 xn x hn h xn x hn Expandimos x hn usando o Teorema do Binômio x hn xn nxn1h nn12 xn2 h2 hn Substituímos em xn x hn xn x hn xn xn nxn1h nn12 xn2 h2 hn Simplificando xn x hn nxn1h nn12 xn2 h2 hn Substituímos o resultado obtido na expressão para fx fx limh0 nxn1 nn12 xn2 h hn1 xn x hn Fatoramos h no numerador fx limh0 hnxn1 nn12 xn2 h hn1 h xn x hn Cancelamos h no numerador e no denominador para h 0 fx limh0 nxn1 nn12 xn2 h hn1 xn x hn Quando h 0 todos os termos que contˆem h no numerador tendem a zero Assim restamos com o primeiro termo f x nxn1 xn xn Simplificamos a expressao f x n xn1 Portanto f x nxn1 Questao 04 a Se f e derivavel a direita em a e f a 0 entao existe δ 0 tal que fx fa para todo x X a a δ Demonstracao Como f a 0 temos f a lim h0 fa h fa h 0 Logo existe um δ 0 tal que para todo 0 h δ fa h fa h 0 fa h fa 0 Portanto fa h fa x a a δ b Se f e derivavel a direita em a e f possui um mınimo local em a entao f a 0 Demonstracao Se f possui um mınimo local em a entao fx fa para todo x X a a δ Assim a diferenca fx fa e sempre 0 e temos fa h fa h 0 h 0 Tomando o limite quando h 0 f a lim h0 fa h fa h 0 7 Questao 05 Seja f X R R uma funcao e a X X Mostre que a Se f e derivavel a esquerda em a e f a 0 entao existe δ 0 tal que fx fa para todo x X a δ a Demonstracao Se f a 0 temos f a lim h0 fa h fa h 0 Logo para δ h 0 a diferenca fahfa e positiva e o denominador h 0 o que implica fa h fa h 0 fa h fa 0 Portanto fa h fa x a δ a b Se f e derivavel a esquerda em a e f possui um mınimo local em a entao f a 0 Demonstracao Se f possui um mınimo local em a entao fx fa para todo x X a δ a Assim a diferenca fx fa e sempre 0 Logo para h 0 fa h fa h 0 Tomando o limite quando h 0 f a lim h0 fa h fa h 0 8 Questao 06 Seja f X R R uma funcao a X X X Mostre que se f e derivavel em a e f possui um mınimo local em a entao f a 0 Demonstracao Se f possui um mınimo local em a entao fx fa para todo x X Assim Para h 0 fahfa h 0 f a 0 Para h 0 fahfa h 0 f a 0 Se f e derivavel em a entao f a f a f a Assim segue que f a 0 e f a 0 f a 0 Questao 07 Seja I R um intervalo e f I R uma funcao contınua em I Mostre que se f x 0 para todo x I interior de I entao f e constante em I Demonstracao Por hipotese f x 0 para todo x I Por definicao da derivada isso implica lim h0 fx h fx h 0 Portanto fx h fx 0 h fx h fx x I Seja a b I a b Escolha x0 I e considere a funcao gx fx fx0 Por construcao gx f x 0 0 em I Logo gx c constante o que implica fx fx0 x I Como fx e contınua em I e I e denso em I segue que fx e constante em I 9 Questao 08 Demonstracao Por hipotese temos f x gx para todo x I Seja hx gx fx Entao hx gx f x 0 x I Pela questao anterior se hx 0 entao hx e constante Logo existe c R tal que hx c gx fx c gx fx c x I Questao 09 Demonstracao Seja x y I e suponha sem perda de generalidade que x y Como f e derivavel em I pelo Teorema do Valor Medio existe z x y tal que f z fy fx y x Logo fy fx f zy x Por hipotese f z c Assim fy fx cy x Portanto para qualquer x y I fy fx cy x Questao 010 Considere a funcao fx x3 5x2 3x Encontre todos os pontos c no intervalo 1 3 tais que f c f3 f1 3 1 Resolucao 10 Primeiramente calculamos f3 e f1 f3 33 532 33 27 45 9 27 f1 13 512 31 1 5 3 7 Assim f3 f1 3 1 27 7 2 20 2 10 Agora derivamos fx fx ddx x3 5x2 3x 3x2 10x 3 Procuramos os pontos c 1 3 onde fc 10 3c2 10c 3 10 3c2 10c 7 0 Resolvemos a equação quadrática c 10 102 437 23 10 100 84 6 10 16 6 c 10 4 6 As soluções são c 10 4 6 14 6 73 c 10 4 6 6 6 1 Como c 1 3 apenas c 73 pertence ao intervalo Resposta O único ponto c que satisfaz a condição é c 73