Apostila Utfpr Estatística 2-2009 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN´A SETOR DE CIˆENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTAT´ISTICA CE003 ESTAT´ISTICA II (Notas de Aula) DEPARTAMENTO DE ESTAT´ISTICA UFPR Curitiba, 27 de fevereiro de 2009 Capítulo 3 Variáveis Aleatórias 3.1 Introdução Neste capítulo vamos dar continuidade ao estudo de probabilidades, introduzindo os conceitos de variáveis aleatórias e de distribuições de probabilidade. Uma variável aleatória (v.a.) associa um valor numérico a cada resultado de um fenômeno aleatório e uma distribuição de probabilidade associa uma probabilidade a cada valor de uma variável aleatória. Como exemplos, podemos citar: o número de usuários que consultam um site de busca, em um certo tempo do dia, o número de atletas com lesões traumáticas no joelho, o número de ovos de codorna incubados durante um período, o tempo de uso de uma máquina agrícola, a pressão sanguínea de mulheres na menopausa, dentre outros. Uma v.a. pode ser classificada como variável aleatória discreta ou variável aleatória contínua. 3.2 Variável Aleatória Discreta Uma variável aleatória que pode assumir um número finito de valores ou uma quantidade enumerável de valores, cujas probabilidades de ocorrência são conhecidas é denominada variável aleatória discreta. A função que atribui a cada valor da variável aleatória sua probabilidade é denominada função discreta de probabilidade ou função de probabilidade, isto é: P(X = xi) = p(xi) = pi, i = 1, 2, . . . Uma função de probabilidade satisfaz as duas condições seguintes: i) 0 ≤ pi ≤ 1; ii) ∑ pi = 1. Exemplo 3.1. Um pediatra de um hospital público constatou que das crianças internadas durante um ano, 20% não tiveram internamento por infecção da faringe, 45% tiveram um internamento por infecção da faringe, 25% tiveram dois internamentos por infecção da faringe, 9% tiveram três internamentos por infecção da faringe e 1% tiveram quatro internamentos por infecção da faringe. Seja X uma variável aleatória discreta que representa o número de internamentos por infecção da faringe. Logo, a função de probabilidade para X é dada na tabela a seguir: X 0 1 2 3 4 pi 0,20 0,45 0,25 0,09 0,01 No exemplo temos: 0,20 + 0,45 + 0,25 + 0,09 + 0,01 = 1. 3.3 Variável Aleatória Contínua Uma variável aleatória que pode tomar um número infinito de valores, e esses valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua e as probabilidades necessárias ao seu estudo são calculadas como a área abaixo da curva da distribuição, é chamada de função de densidade de probabilidade. Como exemplos de variáveis aleatórias contínuas, podemos citar: o tempo de uso de um equipamento eletrônico; medidas do tórax, diâmetro de um cabo de vídeo, tempo de atendimento a clientes; altura, peso, etc. Uma função de densidade de probabilidade f(x) pode ser usada para descrever a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória contínua X, e satisfaz: i)/ f(x) ≥ 0, para todo x ∈ (−∞, ∞); ii) ∫ from -∞ to ∞ f(x)dx = 1. 3.4 Esperança Matemática Seja X uma variável aleatória. A esperança matemática, média ou valor esperado de X é definida por: E(X) = μ = ∑ from i=1 to ∞ xiP(xi), se X for discreta. E(X) = μ = ∫ from -∞ to ∞ xf(x)dx, se X for contínua. Exemplo 3.2. As probabilidades de um corretor de imóveis vender uma sala comercial com lucro de R$ 3500,00, de R$ 2500,00, R$ 800,00 ou com um prejuízo de R$ 500,00 são 0,20, 0,35, 0,22 e 0,10, respectivamente. Qual é o lucro esperado do corretor de imóveis? Sendo x1 = 3500, x2 = 2500, x3 = 800 e x4 = −500 e p1 = 0, 20, p2 = 0, 35, p3 = 0, 22 e p4 = 0, 10 tem-se E(X) = 3500(0, 20) + 2500(0, 35) + 800(0, 22) − 500(0, 10) = 1801 3.6 Principais Distribuições de Probabilidades P(X = x) = (n choose x) p^x q^(n−x), x = 0, 1, 2, . . . , n, em que (n choose x) = n! / x!(n − x)! sendo n = número de tentativas, x = número de sucessos, p = probabilidade de sucesso, q = probabilidade de fracasso e P(x)= a probabilidade de se obter exatamente x sucessos em n provas. Para uma variável aleatória X com distribuição binomial a média e sua variância são dadas, respectivamente, por: μ = E(X) = np; e σ^2 = npq. Exemplo 3.4. Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de: a) Exatamente duas caras ocorrerem? P(X = 2) = (6 choose 2) 0,5^2 0,5^(6−2) = 0, 23438. b) Ocorrerem pelo menos 4 caras? P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = (6 choose 4) 0,5^4 0,5^(6−4) + (6 choose 5) 0,5^5 0,5^(6−5) + (6 choose 6) 0,5^6 0,5^(6−6) = 0, 23438 + 0, 09375 + 0, 01563 = 0, 34375. c) Pelo menos 1 cara? P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) P(X ≥ 1) = (6 choose 0) 0,5^0 0,5^6 P(X ≥ 1) = 1 − 0, 01563 = 0, 98438. Exemplo 3.5. Num município, há uma probabilidade de 0,70 de uma empresa de materiais recicláveis ter seguro contra incêndio; qual a probabilidade de que, dentre cinco empresas: a) Nenhuma tenha seguro contra incêndio? P(X = 0) = (5 choose 0) 0,7^0 0,3^5−0 = 0, 00243. b) Exatamente quatro tenham seguro contra incêndio? P(X = 4) = (5 choose 4) 0,7^4 0,3^5−4 = 0, 36015. 1.1. Introdu¸c˜ao 3 1.1.1 Estat´ıstica descritiva x estat´ıstica inferencial A Estat´ıstica ´e conhecida, por muitas pessoas, como uma ferramenta meramente descritiva, ou seja, descreve dados por meio de percentagens, gr´aficos e tabelas. Apesar da estat´ıstica cumprir, tamb´em, este papel de resumir as informa¸c˜oes, seu potencial de uso ´e muito mais amplo. A tomada de decis˜ao se ap´oia no uso da Estat´ıstica Inferencial. A seguir s˜ao deline- adas as fun¸c˜oes destas duas abordagens: Estat´ıstica descritiva (Dedutiva) O objetivo da Estat´ıstica Descritiva ´e resumir as principais caracter´ısticas de um conjunto de dados por meio de tabelas, gr´aficos e resumos num´ericos. Descrever os dados pode ser comparado ao ato de tirar uma fotografia da realidade. Caso a cˆamera fotogr´a- fica n˜ao seja adequada ou esteja sem foco, o resultado pode sair distorcido. Portanto, a an´alise estat´ıstica deve ser extremamente cuidadosa ao escolher a forma adequada de re- sumir os dados. Apresentamos na Tabela 1.1 um resumo dos procedimentos da Estat´ıstica Descritiva. Tabela 1.1: Resumo de t´ecnicas de estat´ıstica descritiva Tabelas de freq¨uˆencia Ao dispor de uma lista volumosa de dados, as tabelas de freq¨uˆencia servem para agrupar infor- ma¸c˜oes de modo que estas possam ser analisa- das. As tabelas podem ser de freq¨uˆencia simples ou de freq¨uˆencia em faixa de valores. Gr´aficos O objetivo da representa¸c˜ao gr´afica ´e dirigir a aten¸c˜ao do analista para alguns aspectos de um conjunto de dados. ”Um gr´afico vale mais que mil pala- vras”. Alguns exemplos de gr´aficos s˜ao: diagrama de barras, diagrama em setores, histograma, box- plot, ramo-e-folhas, diagrama de dispers˜ao, gr´a- fico sequencial. Resumos num´ericos Por meio de medidas ou resumos num´ericos po- demos levantar importantes informa¸c˜oes sobre o conjunto de dados tais como: a tendˆencia cen- tral, variabilidade, simetria, valores extremos, valores discrepantes, etc. 4 Conceitos B´asicos e T´ecnicas de Estat´ıstica Descritiva Corrˆea da Rosa, J. M. Estat´ıstica inferencial (Indutiva) A Estat´ıstica Inferencial utiliza informa¸c˜oes incompletas para tomar decis˜oes e tirar conclus˜oes satisfat´orias. O alicerce das t´ecnicas de estat´ıstica inferencial est´a no c´alculo de probabilidades. Duas t´ecnicas de estat´ıstica inferencial s˜ao as mais conhecidas: a estima¸c˜ao e o teste de hip´oteses que s˜ao descritas na Tabela 1.2. Tabela 1.2: Resumo de t´ecnicas de estat´ıstica inferencial Estima¸c˜ao A t´ecnica de estima¸c˜ao consiste em utilizar um conjunto de dados incompletos, ao qual iremos chamar de amostra, e nele calcular estimativas de quantidades de interesse. Estas estimativas podem ser pontuais (representadas por um ´unico valor) ou intervalares. Teste de Hip´oteses O fundamento do teste estat´ıstico de hip´oteses ´e levantar suposi¸c˜oes acerca de uma quantidade n˜ao conhecida e utilizar, tamb´em, dados incom- pletos para criar uma regra de escolha. Um exemplo tradicional do uso da estat´ıstica inferencial ´e apresentado a seguir. Exemplo 1.1. Um instituto de pesquisa deseja estimar a propor¸c˜ao de eleitores do partido de situa¸c˜ao no primeiro turno das elei¸c˜oes presidenciais. Ao coletar uma amostra de 1200 eleitores, a propor¸c˜ao foi estimada em 54%. No Exemplo 1.1, a quantidade a ser estimada ´e a propor¸c˜ao de eleitores que votar˜ao no partido de situa¸c˜ao nas elei¸c˜oes presidenciais. Somente a realiza¸c˜ao das elei¸c˜oes revelar´a esta quantidade. Entretanto, estim´a-la, com base em uma amostra, auxilia a tomada de decis˜oes tais como a altera¸c˜ao de uma estrat´egia de campanha pol´ıtica. Uma outra aplica¸c˜ao da estat´ıstica inferencial aparece no Exemplo 1.2 em que duas hip´oteses s˜ao colocadas em quest˜ao. Ser´a que uma nova droga a ser lan¸cada aumenta, ou n˜ao, a produ¸c˜ao de um hormˆonio ? Exemplo 1.2. Um laborat´orio deseja verificar se uma nova droga aumenta a produ¸c˜ao de testosterona em homens com idade acima de 35 anos. Ao aplic´a-la em um grupo de 40 in- div´ıduos, constatou-se que ap´os um per´ıodo de tempo a droga aumentou significativamente a quantidade do referido hormˆonio. Exemplo 1.3. Em uma f´abrica de parafusos, a pe¸ca ´e considerada dentro da especifica¸c˜ao caso seu comprimento esteja no intervalo entre 4,8cm e 5,2cm. Os t´ecnicos de controle de qualidade selecionam diariamente 100 parafusos fabricados e calculam o comprimento m´edio. Conhecendo a variabilidade nos tamanhos dos parafusos fabricados, caso o compri- mento m´edio esteja abaixo de 4,99 cm ou acima de 5,01 cm, o processo ser´a interrompido. 1.1. Introdu¸c˜ao 5 No Exemplo 1.3, espera-se que o comprimento m´edio de um conjunto de parafusos amostrados esteja dentro de um intervalo. Caso isto n˜ao ocorra, o processo de produ¸c˜ao sofre uma interrup¸c˜ao. Neste caso, a estat´ıstica inferencial ´e utilizada para criar uma regra de decis˜ao com base em observa¸c˜oes de um subconjunto de 100 pe¸cas. 1.1.2 Popula¸c˜ao e amostra O uso da Estat´ıstica Inferencial oferece suporte `a tomada de decis˜ao com base em apenas uma parte das informa¸c˜oes relevantes no problema estudado. A partir de agora, vamos utilizar os conceitos de popula¸c˜ao e amostra para representar, respectivamente, o conjunto total e o conjunto parcial destas informa¸c˜oes. Popula¸c˜ao: ´e o conjunto de todas as unidades sobre as quais h´a o interesse de investigar uma ou mais caracter´ısticas. O conceito de popula¸c˜ao em Estat´ıstica ´e bem mais amplo do que o uso comum desta palavra. A popula¸c˜ao pode ser formada por pessoas, domic´ılios, pe¸cas de produ¸c˜ao, cobaias, ou qualquer outro elemento a ser investigado. Amostra: ´e um subconjunto das unidades que constituem a popula¸c˜ao. A caracteriza¸c˜ao da popula¸c˜ao ´e feita em fun¸c˜ao de um problema a ser estudado. Se um vendedor deseja fazer um levantamento dos potenciais clientes para o seu produto, a popula¸c˜ao ser´a formada por todos os indiv´ıduos com possibilidade de consumir aquele produto. Se este produto for, por exemplo, um iate, a popula¸c˜ao deve ser constitu´ıda apenas por indiv´ıduos com renda suficiente para compr´a-lo. Se o objetivo for avaliar a efic´acia de tratamento contra um tipo de cˆancer, somente indiv´ıduos com este problema devem compor a popula¸c˜ao. Para que haja uma clara defini¸c˜ao das unidades que formam a popula¸c˜ao ´e necess´aria a especifica¸c˜ao de 3 elementos: uma caracter´ıstica em comum, localiza¸c˜ao temporal e localiza¸c˜ao geogr´afica. Exemplo 1.4. Estudo da inadimplˆencia de clientes em um banco multinacional com agˆencias no Brasil. Problema: Estudar a inadimplˆencia dos clientes do banco HSBC. Caracter´ıstica correntista do banco HSBC Tempo clientes com cadastro em julho de 2007 Regi˜ao agˆencias de Curitiba e regi˜ao metro- politana Exemplo 1.5. Estudo da obesidade em alunos do segundo grau por interm´edio da medida do ´ındice de massa corp´orea. Sem a defini¸c˜ao dos 3 elementos, conforme os exemplos acima, torna-se dif´ıcil pro- ceder a coleta de dados. Quando um estudo estat´ıstico levanta informa¸c˜oes de todas as 6 Conceitos B´asicos e T´ecnicas de Estat´ıstica Descritiva Corrˆea da Rosa, J. M. Problema: Estudar a obesidade em alunos do segundo grau. Caracter´ıstica alunos de 2o. grau da rede p´ublica Tempo matriculados em janeiro de 2007 Regi˜ao regi˜ao metropolitana de Curitiba unidades da popula¸c˜ao, este chama-se Censo. H´a casos em que o levantamento censit´ario ´e invi´avel, como por exemplo em testes destrutivos. Mesmo quando ´e poss´ıvel realizar o Censo, o custo representa quase sempre um entrave. Nestes casos, a sa´ıda ´e estudar apenas parte da popula¸c˜ao para inferir sobre o todo e o levantamento ´e dito ser por amostragem. O processo de amostragem pode ser probabil´ıstico (aleat´orio) ou n˜ao-probabil´ıstico (n˜ao-aleat´orio). Os m´etodos de inferˆencia estat´ıstica s˜ao aplic´aveis no primeiro caso pois a amostragem probabil´ıstica garante a representatividade da amostra. Como nem sempre as unidades da amostra podem ser obtidas por meio de sele¸c˜ao probabil´ıstica, existem alternativas como a amostragem de conveniˆencia e amostragem por quotas. Quando a amostragem ´e probabil´ıstica ´e necess´aria a existˆencia de um cadastro que contenha a rela¸c˜ao de todas as unidades na popula¸c˜ao. T´ecnicas de amostragem A Teoria de Amostragem ´e um ramo da estat´ıstica que estuda m´etodos para levan- tar amostras que sejam representativas da popula¸c˜ao. O princ´ıpio b´asico desta teoria ´e ter o m´aximo de precis˜ao na avalia¸c˜ao das quantidades de interesse com o m´ınimo tama- nho de amostra. Nem sempre ´e poss´ıvel ponderar estas duas quest˜oes de forma a obter amostras representativas. Sendo assim, diferentes m´etodos de sele¸c˜ao de amostras foram desenvolvidos para situa¸c˜oes espec´ıficas. Apresentamos e discutimos alguns deles. • Amostragem Aleat´oria Simples: Consiste em selecionar aleatoriamente uma amostra de tamanho n em uma popula¸c˜ao formada por N indiv´ıduos. A grande vantagem desta t´ecnica ´e atribuir igual probabilidade de sele¸c˜ao a todas as poss´ıveis amostras. Entretanto, para este tipo de amostragem, ´e crucial a existˆencia de um cadastro com a rela¸c˜ao de todas as unidades populacionais. Isto ´e invi´avel em muitas situa¸c˜oes. Esta amostragem pode ser feita com reposi¸c˜ao, o que garante a probabilidade 1/N de um elemento da popula¸c˜ao participar da amostra. Por outro lado, nessa situa¸c˜ao um elemento pode aparecer m´ultiplas vezes. Quando a amostragem ´e feita sem repo- si¸c˜ao, a probabilidade de um elemento ser inclu´ıdo na amostra se modifica durante o processo de sele¸c˜ao, pois a popula¸c˜ao ´e seq¨uencialmente reduzida de 1 elemento. • Amostragem Aleat´oria Estratificada: Este tipo de amostragem busca a forma¸c˜ao de h estratos homogˆeneos em rela¸c˜ao `a caracter´ıstica estudada e, posteriormente, amostragem aleat´oria simples ou amostragem sistem´atica dentro de cada estrato. A amostragem estratificada ´e vantajosa quando h´a o conhecimento pr´evio de grupos 1.1. Introdu¸c˜ao 7 que sejam mais homogˆeneos internamente e heterogˆeneos entre si, em rela¸c˜ao `a ca- racter´ıstica investigada. Nestas situa¸c˜oes h´a um ganho em rela¸c˜ao `a amostragem aleat´oria simples pois a sele¸c˜ao dentro dos estratos leva a diminui¸c˜ao do tamanho de amostra, mantendo a precis˜ao das estimativas. Uma etapa importante da amostra- gem aleat´oria estratificada ´e a aloca¸c˜ao da amostra pelos estratos, ou seja, quantos elementos da amostra pertencer˜ao ao estrato 1, estrato 2,. . ., estrato h. Dois tipos de aloca¸c˜ao s˜ao comumente aplicados: aloca¸c˜ao uniforme (mesmo n´umero de ele- mentos nos estratos) e a aloca¸c˜ao proporcional (n´umero de elementos proporcional ao tamanho do estrato). • Amostragem por Conglomerados (Clusters): Neste m´etodo, ao inv´es da sele¸c˜ao de unidades da popula¸c˜ao, s˜ao selecionados conglomerados (clusters) destas unidades. Esta ´e uma alternativa para quando n˜ao existe o cadastro. Se a unidade de interesse, por exemplo, for um aluno, pode ser que n˜ao exista um cadastro de alunos, mas sim de escolas. Portanto, pode-se selecionar escolas e nelas investigar todos os alunos. Este tipo de amostragem induz indiretamente aleatoriedade na sele¸c˜ao das unidades que formar˜ao a amostra e tem a grande vantagem de facilitar a coleta de dados. • Amostragem Sistem´atica: Caso exista uma lista das unidades populacionais, a amos- tragem sistem´atica ´e uma t´ecnica simples que a partir da raz˜ao k = N n , de unidades populacionais para cada unidade amostral, sorteia-se um n´umero inteiro no inter- valo [1, k] que serve como ponto de partida para a escolha do primeiro elemento a ser inclu´ıdo na amostra. Descartando os k − 1 pr´oximos elementos, seleciona-se o segundo e assim por diante. Tal como na amostragem aleat´oria simples, ´e necess´aria a existˆencia de um cadastro, entretanto nem todas amostras s˜ao pass´ıveis de sele¸c˜ao, por isto este procedimento ´e classificado como quasi-aleat´orio. Uma das grandes van- tagens da amostragem sistem´atica, em rela¸c˜ao `a amostragem aleat´oria simples, ´e a praticidade na sele¸c˜ao dos elementos. Problemas com a amostragem sistem´atica po- dem surgir quando a seq¨uˆencia dos elementos no cadastro induz um comportamento peri´odico ou c´ıclico na principal vari´avel a ser investigada. Considere, por exemplo, uma vila com 20 casas numeradas de 1 a 20. Se todas as casas cujos n´umeros s˜ao m´ultiplos de 4 estiverem mais perto da linha de trem e o intuito ´e medir polui¸c˜ao sonora, a amostragem sistem´atica n˜ao ser´a adequada. • Amostragem por Cotas: A amostragem por cotas assemelha-se ´e amostragem estra- tificada, embora dentro dos estratos n˜ao seja feita a amostragem aleat´oria simples. ´e uma alternativa para casos em que n˜ao h´a a existˆencia de um cadastro, mas h´a informa¸c˜ao dispon´ıvel sobre o perfil desta popula¸c˜ao em rela¸c˜ao a um fator de estra- tifica¸c˜ao que pode auxiliar a representatividade da amostra (exemplo:50% de homens e 50% de mulheres). • Amostragem de Conveniˆencia: Esta ´e uma forma de amostragem n˜ao-probabil´ıstica que leva em conta as restri¸c˜oes envolvidas no levantamento amostral. A unidades 8 Conceitos B´asicos e T´ecnicas de Estat´ıstica Descritiva Corrˆea da Rosa, J. M. amostrais s˜ao inclu´ıdas por algum tipo de conveniˆencia, em geral ausˆencia de tempo e recursos materiais para o levantamento dos dados. Embora n˜ao sejam feitas in- ferˆencias em amostras de conveniˆencia, estas podem ser importantes para levantar hip´oteses e formular modelos. Exemplo 1.6. Uma firma de contabilidade tem N = 50 clientes comerciantes. Seu pro- priet´ario pretende entrevistar uma amostra de 10 clientes para levantar possibilidades de melhora no atendimento. Escolha uma amostra aleat´oria simples de tamanho n = 10. • Primeiro passo: atribuir a cada cliente um n´umero entre 1 e 50. • Segundo passo: recorrer `a tabela de n´umeros aleat´orios para selecionar aleatoria- mente 10 n´umeros de 1 a 50. Os clientes identificados pelos n´umeros selecionados compor˜ao a amostra. Exemplo 1.7. Uma escola tem um arquivo com 5000 fichas de alunos e ser´a selecionada, sistematicamente, uma amostra de 1000 alunos. Neste caso, a fra¸c˜ao de amostragem ´e igual a n N = 1000/5000 que representa k = 5 elementos na popula¸c˜ao para cada elemento selecionado na amostra. Na amostragem sistem´atica somente o ponto de partida ´e sorteado dentre as 5 primeiras fichas do arquivo. Admitamos que foi sorteado o n´umero 2, ent˜ao a amostra ´e formada pelas fichas 2, 7, 12, 17, . . . , 4992, 4997. 1.1.3 Vari´aveis e suas classifica¸c˜oes Em um levantamento de dados, censit´ario ou por amostragem, investiga-se uma ou mais caracter´ısticas de interesse que supostamente variam de uma unidade para outra. Estas caracter´ısticas ser˜ao chamadas a partir de agora de vari´aveis. A vari´avel pode ser uma quantidade, sobre a qual podem ser realizadas opera¸c˜oes aritm´eticas, ou pode ser um atributo como cor de pele, zona de moradia ou classe social. No primeiro caso, a vari´avel ´e classificada como quantitativa e na outra situa¸c˜ao ela ´e dita ser qualitativa. A classifica¸c˜ao da vari´avel vai ser determinante para o tipo de an´alise estat´ıstica a ser conduzida. Sobre uma vari´avel qualitativa, n˜ao podemos calcular muitos dos resu- mos num´ericos tais como a m´edia aritm´etica, a variˆancia e o desvio padr˜ao. Por outro lado, o gr´afico de setores (ou pizza), n˜ao ´e adequado para representar as freq¨uˆencias das temperaturas observadas durante um ano, ao menos que os valores sejam categorizados. As vari´aveis quantitativas possuem uma subclassifica¸c˜ao, elas podem ser discretas ou cont´ınuas. O primeiro caso ocorre quando os poss´ıveis valores da vari´avel podem ser enumerados. Esta situa¸c˜ao ´e t´ıpica de dados oriundos de contagens, como por exemplo o n´umero di´ario de assaltos em um quarteir˜ao que pode assumir valores no conjunto {0, 1, 2, 3, . . .}. A segunda subclassifica¸c˜ao ocorre nos casos em que a vari´avel pode assumir valores em um intervalo cont´ınuo, por conseq¨uˆencia, os poss´ıveis valores s˜ao infinitos e n˜ao- enumer´aveis. A vari´avel idade, por exemplo, ´e uma vari´avel cont´ınua pois se for medida com bastante precis˜ao, um indiv´ıduo pode apresentar 32,1023 anos de idade e, dificilmente 1.2. T´ecnicas de estat´ıstica descritiva 9 dois indiv´ıduos ter˜ao idades iguais. A seguir s˜ao apresentados alguns outros exemplos de vari´aveis quantitativas: • Vari´aveis quantitativas Discretas: n´umero de filhos, n´umero de plantas, quantidade de pe¸cas e n´umero de assaltos. Cont´ınuas: as vari´aveis cont´ınuas podem assumir infinitos valores (´ındice de pre¸cos, sal´ario, peso, altura e press˜ao sist´olica). Toda vari´avel que n˜ao ´e quantitativa, ser´a classificada como qualitativa. Os valores que a vari´avel pode assumir s˜ao chamados de n´ıveis ou categorias. Caso estes n´ıveis sejam orden´aveis, a vari´avel ´e dita ser ordinal, caso contr´ario ela ´e classificada como nominal. ´E importante ressaltar que esta ordena¸c˜ao nos n´ıveis (categorias) da vari´avel ´e natural tal como ocorre com a vari´avel classe social. Nesta situa¸c˜ao, Classe A > Classe B > Classe C > Classe D. Como j´a foi comentado, o tipo de vari´avel determina o tipo de an´alise e, para vari´aveis qualitativas ordinais, um resumo num´erico, uma t´ecnica gr´afica ou uma tabela de freq¨uˆencia deve incorporar a id´eia de ordena¸c˜ao. • Vari´aveis qualitativas (atributos) Ordinais (ex: classe social, cargo na empresa e classifica¸c˜ao de um filme.) Nominais (ex: sexo, bairro, cor de pele e canal de TV preferido.) al´em das classifica¸c˜oes mencionadas, vamos destacar uma outra situa¸c˜ao em que a caracter´ıstica de interesse ´e investigada ao longo do tempo (espa¸co) constituindo o que chamamos de uma s´erie temporal. A an´alise de uma vari´avel que ´e medida ao longo do tempo deve considerar aspectos espec´ıficos como tendˆencia e sazonalidade. Ao resumir estas vari´aveis, quando h´a a presen¸ca de tendˆencia o valor m´edio modifica-se ao longo do tempo, enquanto a sazonalidade pode explicar varia¸c˜oes peri´odicas, como o aumento de venda de televisores nos meses de novembro e dezembro. S´erie temporal Conjunto de observa¸c˜oes ordenadas no tempo (´ındice mensal de infla¸c˜ao, tempera- tura m´axima di´aria, cota¸c˜ao di´aria do d´olar e n´umero de nascimentos di´arios.). 1.2 T´ecnicas de estat´ıstica descritiva A principal fun¸c˜ao da Estat´ıstica Descritiva ´e resumir as informa¸c˜oes contidas em um conjunto de dados por meio de tabelas, gr´aficos e medidas caracter´ısticas (resumos num´e- ricos). A descri¸c˜ao dos dados deve ser objetiva, ter precis˜ao de significado e simplicidade no c´alculo para que outras pessoas possam compreender e, eventualmente, reproduzir os resultados. Recorremos novamente aqui `a met´afora da fotografia pois realizar uma an´alise 10 Conceitos B´asicos e T´ecnicas de Estat´ıstica Descritiva Corrˆea da Rosa, J. M. descritiva ´e como tirar uma foto da realidade, caso a lente esteja desfocada, o resultado n˜ao ser´a claro. As t´ecnicas de estat´ıstica descritiva s˜ao aplicadas a observa¸c˜oes de uma ou mais vari´aveis, tomadas nas unidades de interesse. Quando apenas uma vari´avel ´e resumida, a descri¸c˜ao ´e univariada, caso duas vari´aveis sejam resumidas conjuntamente, a descri¸c˜ao ´e bivariada. Ao conjunto de observa¸c˜oes de uma vari´avel chamaremos de dados brutos, lista ou rol. 1.2.1 Tabelas de freq¨uˆencias A partir dos dados brutos, podemos agrupar os valores de uma vari´avel quantitativa ou qualitativa e construir a chamada tabela de freq¨uˆencias. As tabelas de freq¨uˆencias podem ser simples ou por faixas de valores, dependendo da classifica¸c˜ao da vari´avel. Tabelas de freq¨uˆencias simples As tabelas de freq¨uˆencias simples s˜ao adequadas para resumir observa¸c˜oes de uma vari´avel qualitativa ou quantitativa discreta, desde que esta apresente um conjunto pe- queno de diferentes valores. Utilizamos os dados presentes em Magalh˜aes & Lima (2004), referentes a um questi- on´ario aplicado a moradores de comunidades de baixa renda em S˜ao paulo, para construir a Tabela 1.3 que resume as observa¸c˜oes da vari´avel estado civil. Tabela 1.3: Freq¨uˆencias de estado civil em uma amostra de 385 indiv´ıduos. Estado Civil Freq¨uˆencia Absoluta Freq¨uˆencia Relativa Percentual Solteiro 165 42,86% Casado 166 43,12% Divorciado 10 2,6% Vi´uvo 12 3,12% Outro 32 8,31% Total 385 100% A vari´avel estado civil ´e qualitativa nominal e no levantamento feito nos 385 indiv´ı- duos apareceram respostas que foram agrupadas em 5 n´ıveis (categorias) para esta vari´avel: Solteiro, Casado, Divorciado, Vi´uvo e Outro. A constru¸c˜ao da tabela de freq¨uˆencia sim- ples, neste caso, resume os dados brutos pela contagem de vezes(freq¨uˆencia absoluta) que uma determinada categoria foi observada. A partir da Tabela 1.3, podemos rapidamente tirar conclus˜oes a respeito dos dados como a constata¸c˜ao de que neste grupo de indiv´ıduos, a quantidade de solteiros(165) e casados(166) ´e praticamente a mesma e h´a uma parcela muito pequena de divorciados(10). 1.2. T´ecnicas de estat´ıstica descritiva 11 Estes coment´arios, embora simples, tornam-se mais claros quando analisamos a coluna das freq¨uˆencias relativas. • ni: freq¨uˆencia do valor i • n: freq¨uˆencia total • fi = ni n : freq¨uˆencia relativa (´util quando comparamos grupos de tamanhos diferentes) • fi × 100: freq¨uˆencia relativa percentual Para vari´aveis cujos valores possuem ordena¸c˜ao natural faz sentido incluirmos tam- b´em uma coluna contendo freq¨uˆencias acumuladas fac. Sua constru¸c˜ao ajuda a estabelecer pontos de corte, chamados de separatrizes ou quantis, a partir dos quais est´a concentrada uma determinada freq¨uˆencia de valores da vari´avel. A Tabela 1.4 exibe as freq¨uˆencias das idades em uma amostra de 50 estudantes que preencheram um question´ario sobre h´abitos de lazer (ver Magalh˜aes & Lima(2004)). Tabela 1.4: Tabela de freq¨uˆencias para a vari´avel Idade. Idade ni fi fac 17 9 0,18 0,18 18 22 0,44 0,62 19 7 0,14 0,76 20 4 0,08 0,84 21 3 0,06 0,90 22 0 0 0,90 23 2 0,04 0,94 24 1 0,02 0,96 25 2 0,04 1,00 total n=50 1 Tabelas de freq¨uˆencias em faixas de valores Para agrupar dados de uma vari´avel quantitativa cont´ınua ou at´e mesmo uma va- ri´avel quantitativa discreta com muitos valores diferentes, a tabela de freq¨uˆencias simples n˜ao ´e mais um m´etodo de resumo, pois corremos o risco de praticamente reproduzir os dados brutos. A utiliza¸c˜ao de tabelas, nestas situa¸c˜oes em que a vari´avel registra diversos valores, ´e feita mediante a cria¸c˜ao de faixas de valores ou intervalos de classe. Utilizando este procedimento, devemos tomar cuidado pois ao contr´ario da tabela de freq¨uˆencia simples, n˜ao ´e mais poss´ıvel reproduzir a lista de dados a partir da organiza¸c˜ao tabular. Em outras palavras, estamos perdendo informa¸c˜ao ao condens´a-las. 12 Conceitos B´asicos e T´ecnicas de Estat´ıstica Descritiva Corrˆea da Rosa, J. M. Veja o exemplo na Tabela 1.5 que traz dados sobre as horas semanais de atividades f´ısicas dos 50 estudantes que participaram do levantamento sobre h´abitos de lazer. Tabela 1.5: Tabela de freq¨uˆencias para a vari´avel horas semanais de atividade f´ısica horas semanais de atividade f´ısica ni fi fac 0 |– 2 11 0,22 0,22 2 |– 4 14 0,28 0,5 4 |– 6 12 0,24 0,74 6 |– 8 8 0,16 0,90 8 |– 10 3 0,06 0,96 10 |– 12 2 0,04 1,00 total 50 1 O resumo na Tabela 1.5 ´e feito mediante a constru¸c˜ao de 6 intervalos de comprimento igual a 2 horas e posteriormente a contagem de indiv´ıduos com valores identificados ao intervalo. Um indiv´ıduo que gastou 6 horas semanais de exerc´ıcio ser´a contado no quarto intervalo (6|–8) que inclui o valor 6 e exclui o valor 8. No mesmo levantamento amostral foi observado o peso dos 50 estudantes. A vari´avel peso ´e classificada como quantitativa cont´ınua e foi mensurada com uma casa decimal. Com esta precis˜ao de medida foram observados 36 valores diferentes, o que inviabiliza a constru¸c˜ao da tabela de freq¨uˆencia simples. Novamente o recurso a ser utilizado e construir classes ou faixas de pesos e contar o n´umero de ocorrˆencias em cada faixa. Com 6 intervalos de peso, os dados foram agrupados conforme a Tabela 1.6. Tabela 1.6: Tabela de freq¨uˆencias para a vari´avel Peso Peso de crian¸cas ni fi fac 40,0 |– 50,0 8 0,16 0,16 50,0 |– 60,0 22 0,44 0,60 60,0 |–70,0 8 0,16 0,76 70,0 |– 80,0 6 0,12 0,88 80,0 |–90,0 5 0,10 0,98 90,0 |–100,0 1 0,02 1,00 total 100 1 Se concordamos que a tabela em faixa de valores ajuda a resumir a quantidade de informa¸c˜oes em um conjunto de dados, com vari´aveis cont´ınuas ou discretas que assumam muitos valores, ainda fica pendente a quest˜ao de quantos intervalos ser˜ao necess´arios para a constru¸c˜ao desta tabela. 1.2. T´ecnicas de estat´ıstica descritiva 13 Para a decep¸c˜ao de muitos, n˜ao h´a uma resposta definitiva a esta pergunta e existem v´arias sugest˜oes na literatura para se chegar a este n´umero. Esta quest˜ao ser´a discutida posteriormente ao falarmos de uma t´ecnica gr´afica chamada de histograma, mas o bom senso indica que o n´umero de intervalos deve estar entre 5 e 10 neste tipo de descri¸c˜ao. 1.2.2 Medidas-resumo Em um processo de coleta de dados, por meio de amostragem ou censo, faz-se neces- s´ario resumir as informa¸c˜oes contidas nas observa¸c˜oes das vari´aveis utilizando as medidas adequadas. Neste cap´ıtulo, estas ser˜ao chamadas medidas-resumo. Veja o exemplo a seguir. Exemplo 1.8. Em um ponto de ˆonibus, uma pessoa pergunta sobre o tempo at´e a passa- gem de uma determinada linha. Suponha que vocˆe havia registrado, na semana anterior, os tempos (em minutos) e obteve os seguintes resultados: 9; 12; 8; 10; 14; 7; 10 Ao responder: ”o ˆonibus demora, em m´edia, 10 minutos”, vocˆe est´a trocando um conjunto de valores por um ´unico n´umero que os resume. Ao adotar este procedimento foi utilizada uma medida-resumo, neste caso a m´edia aritm´etica. Novamente, a classifica¸c˜ao da vari´avel vai orientar a escolha da medida resumo mais adequada. A maior parte das medidas a serem apresentadas aplicam-se somente `a vari´aveis quantitativas. As medidas-resumo podem focar v´arios aspectos no conjunto de dados; tendˆencia central, dispers˜ao, ordena¸c˜ao ou simetria na distribui¸c˜ao dos valores. Aqui ser˜ao apresen- tadas 3 classes de medidas: • Tendˆencia Central • Dispers˜ao (Variabilidade) • Separatrizes 1 Tendˆencia central As medidas de tendˆencia central indicam, em geral, um valor central em torno do qual os dados est˜ao distribu´ıdos. Este valor no Exemplo 1.8 ´e igual a 10 e corresponde a m´edia aritm´etica. As principais medidas de tendˆencia central na Estat´ıstica s˜ao: m´edia, mediana e moda. Al´em destas, outras medidas s˜ao utilizadas com fins espec´ıficos tais como: m´edia geom´etrica, m´edia harmˆonica, m´edia ponderada e trim´edia. Sejam as observa¸c˜oes obtidas a partir da vari´avel X, em uma popula¸c˜ao ou em uma amostra: 1Alguns autores classificam as medidas de tendˆencia central e separatrizes como medidas de posi¸c˜ao. 14 Conceitos Básicos e Técnicas de Estatística Descritiva Correa da Rosa, J. M. x_1, x_2, ..., x_n e considere a seguinte notação para os dados ordenados: x_{(1)}, x_{(2)}, ..., x_{(n)} . em que x_{(1)} é o menor valor(mínimo) no conjunto de dados e x_{(n)} é o maior valor(máximo). Com base nesta notação, apresentamos a seguir os conceitos de média, mediana e moda. Média (Aritmética) A média aritmética também é conhecida como ponto de equilíbrio e centro de gra- vidade, denominações surgidas da Física. Ela indica o valor em torno do qual há um equilíbrio na distribuição dos dados. O seu cálculo é feito conforme: \bar{x}_{obs} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}. Definindo desvio da i-ésima observação, em torno da média observada, como d_i = x_i - \bar{x}_{obs}, a soma destes desvios sempre será igual a zero. A demonstração deste resultado é trivial. Basta observar que: \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}_{obs}) = \sum_{i=1}^{n} x_i - n\bar{x}_{obs} = \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0. A média aritmética é pouco robusta às mudanças em valores extremos no conjunto de dados observados. Suponha um conjunto de valores ordenados de forma crescente, x_{(1)},x_{(2)},...,x_{(n)} e neles a média aritmética permanece \bar{x}_{obs}. Se um erro de anotação acrescentase k unidades ao maior valor da amostra (x_{(n)}), a média inicialmente calculada \bar{x}_{obs} será acrescida de k/n unidades. O impacto da alteração na média será diretamente proporcional a magnitude de k e inversamente proporcional a quantidade de observações n. A média só poderá ser calculada para variáveis quantitativas (discretas e contínuas). A única exceção ocorre quando a variável qualitativa é binária, ou seja, apresenta duas categorias como por exemplo: masculino e feminino. Se atribuirmos os valores 0 e 1 às categorias masculino e feminino, respectivamente, ao realizar o cálculo da média o resultado indica a proporção de mulheres na amostra. Exemplo 1.9. Uma pesquisa registrou em um grupo de 10 pessoas a satisfação em relação ao governo. Cada respondente deveria simplesmente informar se estava satisfeito ou não. Para os que estavam satisfeitos, anotou-se o valor 1 e os que estavam insatisfeitos 0. No final foi obtido o seguinte conjunto de dados: 1.2. Técnicas de estatística descritiva 15 x_1 = 1; x_2 = 1; x_3 = 0; x_4 = 0; x_5 = 0; x_6 = 0; x_7 = 0; x_8 = 1; x_9 = 1; x_{10} = 1. A média calculada a partir dos dados acima é igual a : \bar{x}_{obs} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{4}{10} = 0,4. A interpretação deste resultado é de que 40\% dos entrevistados estão satisfeitos com o governo. Com isto, verificamos que ao calcular a proporção estamos calculando a média de uma variável qualitativa binária. Mediana A mediana observada md_{obs} é o valor central em um conjunto de dados ordenados. Pela mediana o conjunto de dados é dividido em duas partes iguais sendo metade dos valores abaixo da mediana e, a outra metade, acima. Vamos denominar md_{obs} o valor da mediana observado em um conjunto de dados. Repare que para encontrar um número que divida os n dados ordenados em duas partes iguais devem ser adotados dos procedimentos: se n é ímpar md_{obs} = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}. se n é par md_{obs} = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2} + 1\right)}}{2} 1. Para um conjunto com um número n (ímpar) de observações, a mediana é o valor na posição \frac{n+1}{2}. 2. Para um conjunto com um número n (par) de observações a mediana é a média aritmética dos valores nas posições \frac{n}{2} e \frac{n}{2} + 1. Exemplo 1.10. Um levantamento amostral coletou e ordenou de forma crescente a renda mensal(em reais) de 8 trabalhadores da construção civil. 500 550 550 550 600 600 700 1750 Neste exemplo, há n = 8 observações. Portanto, a mediana será obtida como: md_{obs} = \frac{x_{(4)} + x_{(5)}}{2} = \frac{550 + 600}{2} = 575, isto é, a média aritmética entre a quarta (x_{(4)} = 550) e a quinta (x_{(5)} = 600) observações que resulta em 575. Neste caso, note que um trabalhador com renda mediana ganha 150 reais a menos do que um trabalhador com renda média que é igual a \bar{x}_{obs} = 725. 16 Conceitos B´asicos e T´ecnicas de Estat´ıstica Descritiva Corrˆea da Rosa, J. M. Nas situa¸c˜oes em que a mediana ´e exatamente igual a m´edia, diz-se que os dados tem distribui¸c˜ao sim´etrica, ou seja, a probabilidade de sortear um n´umero do conjunto de dados e este estar localizado abaixo da m´edia (mediana) ´e igual a 50%. Um modo direto de mensurar a simetria na distribui¸c˜ao dos dados ´e calcular a diferen¸ca entre a mediana e a m´edia, quanto mais pr´oximo de zero for este resultado, maior a simetria no conjunto de dados.. Moda A moda observada (moobs) ´e simplesmente o valor mais freq¨uente em um conjunto de dados. Considere o seguijnte conjunto de dados:3; 4; 5; 7; 7; 7; 9; 9. Temos moobs = 7, pois o valor 7 ´e aquele que ocorre com a maior freq¨uˆencia. A moda ´e uma medida de tendˆencia central que pode ser calculada para qualquer tipo de vari´avel, seja ela quantitativa ou qualitativa. Veja o exemplo a seguir. Exemplo 1.11. Em uma amostra de pacientes em um laborat´orio foram observados os tipos sangu´ıneos encontrados em 1000 exames, com os seguintes resultados mostrados na Tabela 1.7. Tabela 1.7: Tipos sangu´ıneos de 1000 pacientes. Tipo de Sangue Freq¨uˆencia Absoluta(ni) O 497 A 441 B 123 AB 25 Total 1000 Para estes dados, a moda observada ´e o sangue do tipo O, pois este ´e o mais freq¨uente. Cabe ressaltar que, para esta vari´avel, apenas podemos calcular esta medida de tendˆencia central. Pode ocorrer a situa¸c˜ao em que existam duas modas, como por exemplo para o conjunto A = {3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8} . Neste caso, os valores 4 e 5 s˜ao os mais freq¨uentes. O conjunto ´e dito ser bimodal. Quando o conjunto possui mais do que duas modas ele ´e dito ser multimodal. Outra situa¸c˜ao extrema ´e aquela em que a moda n˜ao existe tal como ocorre para o conjunto B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} cujas freq¨uˆencias est˜ao distribu´ıdas uniformemente entre os diferentes valores, ou seja, nestes dados cada valor tem freq¨uˆencia igual a 1 e o conjunto ´e dito ser amodal. 1.2. T´ecnicas de estat´ıstica descritiva 17 Medidas de dispers˜ao Muito embora as medidas de tendˆencia central sejam utilizadas como o primeiro resumo num´erico de um conjunto de dados, a sua representatividade est´a diretamente ligada com a variabilidade. Veja o Exemplo 1.12 a seguir. Exemplo 1.12. Ao aplicar a mesma prova em dois grupos de 4 alunos cada, foram obtidos os resultados: Notas da Turma A aluno 1 2 3 4 nota 5 5 5 5 Notas da Turma B aluno 1 2 3 4 nota 10 0 10 0 Ao utilizar a m´edia,mediana e moda para resumir as informa¸c˜oes das duas turmas, repare que os resultados coincidem (Tabela 1.8). A nota m´edia ´e 5 e, em ambas as turmas, 50% dos alunos tˆem nota igual ou abaixo da m´edia. Embora as turmas sejam iguais em rela¸c˜ao `as medidas de tendˆencia central, a hete- rogeneidade da turma B ´e maior, ou seja, a variabilidade das notas ´e maior nestes alunos. Isto faz com que a m´edia da turma B, seja menos representativa do que a m´edia da turma A, que realmente reflete o conhecimento dos 4 alunos. Tabela 1.8: Medidas de tendˆencia central para as notas das turmas A e B. M´edia Mediana Moda Turma A 5 5 n˜ao existe Turma B 5 5 n˜ao existe As medidas de dispers˜ao servem para quantificar a variabilidade dos valores em um conjunto de dados. Uma medida de tendˆencia central para ser melhor compreendida deve estar acompanhada de uma medida de dispers˜ao. Nesta se¸c˜ao, ser˜ao apresentadas 5 medidas de dispers˜ao (ver Tabela 1.9) para va- ri´aveis quantitativas, sendo que 4 delas utilizam a m´edia como referˆencia: desvio m´edio absoluto, variˆancia, desvio padr˜ao e coeficiente de varia¸c˜ao. Amplitude total Esta medida ´e obtida a partir da diferen¸ca entre o m´aximo(x(n)) e o m´ınimo (x(1)) em um conjunto de dados ordenados. Esta medida possui o valor 0 como limite inferior e ´e altamente sens´ıvel `a valores extremos. 18 Conceitos Básicos e Técnicas de Estatística Descritiva Correa da Rosa, J. M. Tabela 1.9: Principais medidas de dispersão. \begin{tabular}{|l|l|} \hline Medidas & Notação \\ \hline Amplitude Total & \Delta_{obs} \\ Desvio absoluto médio & dam_{obs} \\ Variância & var_{obs} \\ Desvio padrão & dp_{obs} \\ Coeficiente de Variação & cv_{obs} \\ \hline \end{tabular} \Delta_{obs} = x_{(n)} - x_{(1)}. Para o Exemplo 1.12, o valor calculado para esta medida foi \Delta_{obs} = 0 para a turma A e \Delta_{obs} = 10 para a turma B. A diferença entre as amplitudes das duas turmas é a máxima que poderia ocorrer. A turma A tem menor variabilidade possível, pela amplitude total, enquanto a turma B tem a maior variabilidade possível de ser encontrada com o uso desta medida. A grande limitação da amplitude total é quantificar a variabilidade com apenas o uso de duas observações; máximo e mínimo. Outras medidas exploram com maior profundidade o conjunto de dados e, apresentaremos na seqüência, 4 medidas baseadas no desvio em relação à média. Desvio médio absoluto É simplesmente o cálculo da média dos desvios absolutos. Para o seu cálculo, primei- ramente deve ser calculada a média (\bar{x}_{obs}), posteriormente os desvios d_i das observações em relação à média e, por último, a média do módulo destes desvios conforme a fórmula a seguir. dma_{obs} = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}_{obs}|}{n}. Exemplo 1.13. Em uma prova, os alunos obtiveram as seguintes notas: 5; 6; 9; 10; 10. Obtenha o desvio médio absoluto. dma_{obs} = \frac{|5 - 8| + |6 - 8| + |9 - 8| + |10 - 8| + |10 - 8|}{5} = 2. Algo importante sobre esta medida, assim como a variância, desvio padrão e o coeficiente de variação é que todas são calculadas usando como referência de tendência central a média (\bar{x}_{obs}). Exemplo 1.14. Um estudo sobre aleitamento materno investigou o peso de 10 nascidos vivos cuja média observada foi \bar{x}_{obs} = 3, 137. Cada um dos pesos é apresentado na Tabela 1.10. 1.2. Técnicas de estatística descritiva 19 Tabela 1.10: Peso de 10 nascidos vivos \( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{peso} & 2,50 & 2,45 & 4,15 & 3,30 & 2,86 & 3,45 & 3,48 & 2,33 & 3,70 & 3,15 \\ \hline \text{desvios} & -0,63 & -0,69 & 1,01 & 0,16 & -0,28 & 0,31 & 0,34 & -0,81 & 0,56 & 0,01 \\ \hline \end{array} \) \[d_{ma_{obs}} = \frac{0,63 + 0,69 + \ldots + 0,01}{10} = 0,48\] A interpretação desta medida para o Exemplo 1.14 indica que, em média, um nascido vivo tem peso 0,48kg distante da média observada que é 3,137kg. Variância Esta é a mais conhecida medida de variabilidade. Como será visto mais adiante, em muitas situações o cálculo de probabilidades depende exclusivamente do conhecimento da média e variância de uma variável na população. O cálculo da variância assemelha-se com o do \(d_{ma_{obs}}\), pois utiliza desvios quadráticos em vez dos absolutos. Assim, a variância também é chamada de média dos desvios quadráticos. \( var_{obs} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}_{obs})^2}{n} \). Para o mesmo conjunto de dados do Exemplo 1.13, a variância observada é igual a: \( var_{obs} = \frac{(5-8)^2+(6-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(10-8)^2}{5} = 4,4 \). Propriedades da variância: 1. A variância de um conjunto de números iguais é sempre 0. 2. Ao multiplicar todos os valores do conjunto por uma constante, a variância fica multiplicada por esta constante ao quadrado. 3. Ao somar uma constante a todos os valores de um conjunto, a variância não se altera. Exemplo 1.15. O conjunto de notas do Exemplo 1.13 deve ser multiplicado por 10 para que este possa ser lançado no boletim. Deste modo, o novo conjunto é: 50, 60, 90, 100, 100 Qual a variância das notas lançadas no boletim ? Solução: Basta multiplicar a variância encontrada anteriormente por 100. Por utilizar a média como referência, o desvio absoluto médio e a variância também são afetados por valores extremos. No caso da variância o efeito é ainda maior pois os valores estão elevados ao quadrado. 20 Conceitos Básicos e Técnicas de Estatística Descritiva Corrêa da Rosa, J. M. Desvio padrão Embora seja uma medida importante, a variância carece de interpretação pois é uma medida dos valores ao quadrado. Isto é contornado com o uso do desvio padrão que é obtido pelo cálculo da raiz quadrada da variância. \( d_{p_{obs}} = \sqrt{var_{obs}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}_{obs})^2}{n}} \). A grande vantagem do desvio padrão é que este possibilita analisar a variabilidade na mesma escala em que os dados foram medidos. Se a variável em questão é peso (kg), o desvio padrão é expresso em kg, ao contrário da variância que é expressa em kg². Coeficiente de Variação O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média. Esta é uma medida relativa que avalia o percentual de variabilidade em relação à média observada. Uma das grandes vantagens desta medida é a possibilidade de comparar a variabilidade de conjuntos medidos em diferentes escalas. \( c_{v_{obs}} = 100 \times \frac{d_{p_{obs}}}{\bar{x}_{obs}} \). Exemplo 1.16. Um exame físico examinou 6 indivíduos cujos pesos(kg) foram:68; 70; 86; 55; 75 e 90. No mesmo exame, foram também tomadas medidas de altura (cm), com os seguintes valores:170; 160; 164; 164; 170 e180. Os indivíduos apresentam maior variabilidade no peso ou altura? Como as unidades de medida são diferentes, utilizaremos o coeficiente de variação como medida de comparação entre os dois conjuntos. \( \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Resumo} & \text{Peso (Kg)} & \text{Altura (cm)} \\ \hline \text{média} & 74 & 168 \\ \text{desvio padrão} & 11,65 & 6,43 \\ \text{coeficiente de variação} & 15,7\% & 3,83\% \\ \hline \end{array} \) A partir dos coeficientes de variação constatamos que os indivíduos apresentam maior variabilidade no peso. Separatrizes As separatrizes são valores de referência em um conjunto de valores ordenados e, portanto, são aplicadas a variáveis quantitativas e qualitativas ordinais. A mediana \( m_{d_{obs}} \) é um exemplo destas medidas, pois separa o conjunto de dados em dois subconjuntos, com as menores e maiores observações. 1.2. T´ecnicas de estat´ıstica descritiva 21 Se o interesse ´e subdividir o conjunto ordenado em 4 partes de igual tamanho, ser˜ao necess´arios 3 valores para estabelecer esta separa¸c˜ao. Estes valores s˜ao chamados quartis. O primeiro quartil (Q1) estabelece o limite entre as 25% menores observa¸c˜oes e as 75% maiores. O segundo quartil (Q2 = mdobs) ´e igual a mediana e o terceiro quartil (Q3) separa as 75% menores observa¸c˜oes das 25% maiores. Em um conjunto ordenado de observa¸c˜oes de uma vari´avel x(1),x(2),. . .,x(n), o pri- meiro e o terceiro quartis podem ser obtidos avaliando as quantidades Q1 = x( n 4) e Q3 = x( 3n 4 ), respectivamente. Tais quantidades s˜ao avaliadas mediante interpola¸c˜oes conforme o Exemplo 1.17. Exemplo 1.17. Diˆametros de 9 pe¸cas s˜ao medidos em mil´ımetros, com os seguintes re- sultados: x1 = 3 x2 = 1, 5 x3 = 2, 5 x4 = 3, 5 x5 = 4 x6 = 2 x7 = 3, 5 x8 = 2 x9 = 1, 5. e a amostra ordenada ´e representada da seguinte maneira: x(1) = 1, 5 x(2) = 1, 5 x(3) = 2 x(4) = 2 x(5) = 2, 5 x(6) = 3 x(7) = 3, 5 x(8) = 3, 5 x(9) = 4. O primeiro e terceiro quartis s˜ao encontrados pelos n´umeros x(2,25) e x(6,75). Repare que o primeiro quartil ´e um valor que fica entre x(2) e x(3), entretanto mais pr´oximo de x(2). Realizando uma interpola¸c˜ao, avaliamos esta quantidade da seguinte forma: Q1 = x(2,25) = x(2) + 0, 25[x(3) − x(2)] = 1, 625. e, segundo o mesmo racioc´ınio, tamb´em avaliamos o terceiro quartil: Q3 = x(6,75) = x(6) + 0, 75[x(7) − x(6)] = 3, 375. Caso o interesse seja dividir o conjunto de dados em 10 partes iguais, ser˜ao necess´a- rios 9 n´umeros, chamados de decis. Para calcular um decil, utilizamos a formula¸c˜ao: x( in 10 ) i = 1, 2, 3, . . . , 9 e interpolamos os valores de forma similar ao que foi mostrado para os quartis. 1.2.3 Gr´aficos Muitas vezes as informa¸c˜oes contidas em tabelas podem ser mais facilmente enten- didas se visualizadas em gr´aficos. Gra¸cas `a prolifera¸c˜ao dos recursos gr´aficos, existe hoje uma infinidade de tipos de gr´aficos que podem ser utilizados. No entanto, a utiliza¸c˜ao de recursos visuais deve ser feita cuidadosamente; um gr´afico desproporcional em suas medidas pode conduzir a conclus˜oes equivocadas Vamos abordar trˆes tipos b´asicos de gr´aficos: setores ou pizza, barras e histograma. 22 Conceitos B´asicos e T´ecnicas de Estat´ıstica Descritiva Corrˆea da Rosa, J. M. Gr´afico de setores ou pizza Este gr´afico ´e adequado para representar vari´aveis qualitativas. Sua constru¸c˜ao consiste em repartir um disco em setores cujos ˆangulos s˜ao proporcionais `as freq¨uˆencias relativas observadas nas categorias da vari´avel. Exemplo 1.18. Uma pesquisa de inten¸c˜ao de votos para os partidos A,B,C e D, realizada com 100 eleitores resultou na Tabela 1.11. Tabela 1.11: Inten¸c˜ao de votos para os partidos A,B,C e D. Partido Freq¨uˆencia Absoluta Freq¨uˆencia Relativa A 40 0,4 B 30 0,3 C 20 0,2 D 10 0,1 Total 100 1 Conforme a Figura 1.1 a maior fatia corresponde ao partido A que detem 40% das inten¸c˜oes de voto. Embora tal informa¸c˜ao esteja na Tabela 1.11, a assimila¸c˜ao das diferen¸cas entre as inten¸c˜oes de votos ´e mais r´apida no gr´afico de setores. partido A partido B partido C partido D Intenções de Voto Figura 1.1: Gr´afico de setores para a inten¸c˜ao de votos nos partidos A,B,C e D. 1.2. T´ecnicas de estat´ıstica descritiva 23 Gr´afico de barras Este gr´afico representa a informa¸c˜ao de uma tabela de freq¨uˆencias simples e, por- tanto, ´e mais adequado para vari´aveis discretas ou qualitativas ordinais. Utiliza o plano cartesiano com os valores da vari´avel no eixo das abscissas e as freq¨uˆencias no eixo das ordenadas. Para cada valor da vari´avel desenha-se uma barra com altura correspondendo `a sua freq¨uˆencia. ´E importante notar que este gr´afico sugere uma ordena¸c˜ao dos valores da vari´avel, podendo levar a erros de interpreta¸c˜ao se aplicado `a vari´aveis quantitativas nominais. Exemplo 1.19. Um posto de sa´ude cont´em um cadastro das fam´ılias regularmente aten- didas em que consta o n´umero de crian¸cas por fam´ılia. Ao resumir esta informa¸c˜ao para todas as fam´ılias em que h´a no m´aximo 5 crian¸cas ´e obtida a Tabela 1.12. Tabela 1.12: N´umero de crian¸cas por fam´ılia. N´umero de crian¸cas Freq¨uˆencia Absoluta Freq¨uˆencia Relativa 0 52 0,302 1 38 0,221 2 43 0,25 3 22 0,128 4 11 0,064 5 6 0,035 Total 172 1 A representa¸c˜ao gr´afica da Tabela 1.12 ´e apresentada na Figura 1.2. A altura de cada barra ´e diretamente proporcional ao n´umero de fam´ılias com a quantidade de filhos especificada no eixo das abcissas. Histograma O histograma ´e um gr´afico que possibilita o primeiro contato com a formato da distribui¸c˜ao dos valores observados. Precede a sua constru¸c˜ao a organiza¸c˜ao dos dados de uma vari´avel quantitativa em faixas de valores. Consiste em retˆangulos cont´ıguos com base nas faixas de valores da vari´avel e com ´area igual `a freq¨uˆencia relativa da faixa. A altura de cada retˆangulo ´e denominada den- sidade de freq¨uˆencia ou simplesmente densidade definida pelo quociente da freq¨uˆencia relativa pela amplitude da faixa2. 2Alguns autores usam a freq¨uˆencia absoluta ou porcentagem na constru¸c˜ao do histograma. O uso da densidade impede que o histograma fique distorcido quando as faixas tˆem amplitudes diferentes. 24 Conceitos B´asicos e T´ecnicas de Estat´ıstica Descritiva Corrˆea da Rosa, J. M. 0 1 2 3 4 5 número de filhos frequência 0 10 20 30 40 50 Figura 1.2: Gr´afico de barras para o n´umero de filhos por fam´ılia. H´a 3 elementos que determinam a configura¸c˜ao da tabela de freq¨uˆencias em faixas de valores e do histograma: • L - N´umero de faixas de valores • h - Comprimento dos intervalos de classe • ∆obs - Amplitude total. com a seguinte rela¸c˜ao entre eles: L = ∆obs h . Conforme j´a foi comentado, n˜ao existe uma regra definitiva para a determina¸c˜ao destes elementos. Entretanto, algumas formula¸c˜oes para L, o n´umero de faixas de valores, s˜ao utilizadas com bastante freq¨uˆencia em pacotes computacionais. Dentre estas f´ormu- las, vamos citar duas de f´acil aplica¸c˜ao que dependem somente de n, a quantidade de observa¸c˜oes: 1. F´ormula de Sturges L = 1 + 3, 3 log n. 2. Raiz quadrada de n L = √n. 1.2. T´ecnicas de estat´ıstica descritiva 25 Assim como o gr´afico de setores e o gr´afico de barras s˜ao constru´ıdos a partir de uma tabela de frequ¨uˆencias simples, o histograma ´e constru´ıdo a partir de uma tabela de freq¨uˆencias em faixa de valores. Exemplo 1.20. Um determinado teste mede o n´ıvel de estresse por uma escala de valores que varia continuamente de 0 a 13. Uma empresa aplicou o teste a 70 funcion´arios obtendo os seguintes resultados: Tabela 1.13: N´ıvel de estresse em 70 funcion´arios de uma empresa. N´ıvel de estresse Freq¨uˆencia Absoluta (ni) Freq¨uˆencia Relativa (fi) 0|–2 5 0,07 2|–4 10 0,14 4|–6 13 0,19 6|–8 16 0,23 8|–10 11 0,16 10|–12 9 0,13 12|–14 6 0,09 Total 70 1 A informa¸c˜oes da Tabela 1.13, com L = 7 faixas de valores para a vari´avel n´ıvel de estresse, s˜ao diretamente transpostas para o gr´afico histograma conforme a Figura 1.3. nível de estresse estresse Freq"uência 0 2 4 6 8 10 12 14 0 5 10 15 Figura 1.3: Histograma para o n´ıvel de estresse. 26 Conceitos B´asicos e T´ecnicas de Estat´ıstica Descritiva Corrˆea da Rosa, J. M. Box-plot O Box-Whisker Plot, mais conhecido por box-plot, ´e uma ferramenta gr´afica apro- priada para resumir o conjunto de observa¸c˜oes de uma vari´avel cont´ınua. Este gr´afico revela v´arios aspectos dos dados, dentre eles: tendˆencia central, variabilidade e simetria. O boxplot tamb´em possibilita visualizar valores at´ıpicos(outliers). A constru¸c˜ao do box-plot ´e feita com base no chamado resumo de cinco n´umeros: o m´ınimo, o primeiro quartil(Q1), a mediana (mdobs), o terceiro quartil (Q3) e o m´aximo. Ap´os calcular estes cinco n´umeros em um conjunto de dados observados, eles s˜ao dispostos de acordo com a Figura 1.4. 30 40 50 60 70 Min Q1 Q3 md Max Figura 1.4: Desenho esquem´atico do box-plot com base no resumo de 5 n´umeros. A parte central do gr´afico ´e composta de uma “caixa” com o n´ıvel superior dado por Q3 e o n´ıvel inferior por Q1. O tamanho da caixa ´e uma medida de dispers˜ao chamada amplitude interquart´ılica (AIQ = Q3 − Q1). A mediana, medida de tendˆencia central, ´e representada por um tra¸co no interior da caixa e segmentos de reta s˜ao colocados da caixa at´e os valores m´aximo e m´ınimo. Exemplo 1.21. Suponha que um produtor de laranjas, que costuma guardar as frutas em caixas, est´a interessado em estudar o n´umero de laranjas por caixa. Ap´os um dia de colheita, 20 caixas foram contadas. Os resultados brutos, ap´os a ordena¸c˜ao, foram: 22 29 33 35 35 37 38 43 43 44 48 48 52 53 55 57 61 62 67 69 Para esses dados temos o resumo de 5 n´umeros apresentados na Tabela 1.14. 1.2. T´ecnicas de estat´ıstica descritiva 27 Tabela 1.14: Resumo de 5 n´umeros para o n´umero de laranjas por caixas. Mediana Observada (mdobs) 46 Primeiro Quartil (Q1) 36, 50 Terceiro Quartil (Q3) 55, 50 M´ınimo (x(1)) 22 M´aximo (x(20)) 69 Na Figura 1.5 ´e apresentado para esses dados o box-plot com base no resumo de 5 n´umeros. 30 40 50 60 70 laranjas Min Q1 Q3 md Max Figura 1.5: Box-plot do n´umero de laranjas nas 20 caixas. A representa¸c˜ao gr´afica no box-plot informa, dentre outras coisas, a variabilidade e simetria dos dados. Na Figura 1.5, a distribui¸c˜ao dos dados est´a muito pr´oxima da perfeita sim´etria pois: a diferen¸ca entre a mediana(46) e a m´edia(46,55) ´e pequena e a distˆancia da mediana para os quartis ´e a mesma. Outra possibilidade na constru¸c˜ao do box-plot ´e utilizar nas extremidades dos tra¸cos adjacentes `a caixa um crit´erio para identificar observa¸c˜oes at´ıpicas. Este crit´erio ´e baseado na amplitude interquartis(AIQ = Q3 − Q1). A esquematiza¸c˜ao que utiliza este crit´erio ´e apresentada na Figura 1.6. No exemplo das laranjas, n˜ao h´a valores fora destes limites e, quando isto ocorre, os limites s˜ao representados pelo m´ınimo e m´aximo conforme a Figura 1.4. 28 Conceitos B´asicos e T´ecnicas de Estat´ıstica Descritiva Corrˆea da Rosa, J. M. 0 20 40 60 80 Q1−1,5AIQ Q1 Q3 md Q3+1,5AIQ Figura 1.6: Desenho esquem´atico do box-plot com base nos quartis e crit´erio para valores at´ıpicos. O box-plot pode tamb´em ser utilizado como ferramenta de an´alise bivariada. O exemplo na Figura 1.7 compara alturas de crian¸cas dos sexos masculino e feminino. Os dados utilizados apra elabora¸c˜ao dessa figura est˜ao na tabela 1.15 1.2. T´ecnicas de estat´ıstica descritiva 29 Tabela 1.15: Alturas de crian¸cas do sexo masculino (m) e feminino (f). crian¸ca altura sexo crian¸ca altura sexo 1 99.00 m 39 118.00 f 2 115.00 m 40 118.00 m 3 114.00 f 41 86.00 m 4 133.00 m 42 124.00 m 5 106.00 m 43 113.00 m 6 160.00 m 44 121.00 f 7 96.00 m 45 92.00 m 8 96.00 m 46 104.00 m 9 127.00 f 47 75.00 f 10 110.00 f 48 108.00 m 11 111.00 f 49 105.00 f 12 128.00 f 50 102.00 f 13 107.00 f 51 96.00 m 14 134.00 f 52 96.00 f 15 109.00 f 53 113.00 m 16 104.00 f 54 88.00 m 17 106.00 m 55 100.00 m 18 117.00 m 56 152.00 f 19 147.00 m 57 88.00 f 20 132.00 m 58 108.00 m 21 148.00 f 59 120.00 m 22 80.00 f 60 93.00 f 23 91.00 f 61 98.00 m 24 107.00 f 62 110.00 f 25 79.00 f 63 108.00 m 26 127.00 m 64 119.00 m 27 107.00 m 65 93.00 f 28 123.00 m 66 116.00 m 29 91.00 f 67 98.00 m 30 119.00 m 68 108.00 m 31 75.00 m 69 91.00 m 32 75.00 m 70 109.00 f 33 101.00 m 71 97.00 m 34 105.00 f 72 115.00 m 35 97.00 m 73 88.00 m 36 100.00 f 74 58.50 m 37 116.00 m 75 88.00 m 38 127.00 m 76 103.00 f 30 Conceitos B´asicos e T´ecnicas de Estat´ıstica Descritiva Corrˆea da Rosa, J. M. f m 60 80 100 120 140 160 sexo altura em cm Figura 1.7: Altura de crian¸cas conforme o sexo. A partir do box-plot por categorias, pode-se constatar as diferen¸cas nas tendˆencias centrais dos grupos pelo posicionamento do tra¸co central na caixa. Neste exemplo, a altura mediana dos meninos ´e ligeiramente maior do que a das meninas. Por outro lado, quando comparamos a variabilidade nos dois conjuntos, por meio dos tamanhos das caixas, n˜ao h´a evidˆencia, sob o aspecto visual, de diferen¸ca entre os sexos feminino e masculino. Outro aspecto que pode ser visto no gr´afico ´e a existˆencia de pontos discrepan- tes(outliers) nas alturas de meninos e meninas. ´E importante ressaltar que ao separar os valores de altura por sexo, podem surgir pontos discrepantes que n˜ao eram evidentes nos dados agregados, pois eles s˜ao identificados em rela¸c˜ao a tendˆencia central e variabilidade do grupo ao qual pertence. ´E bem prov´avel que uma menina cuja altura ´e discrepante em rela¸c˜ao `as outras meninas, n˜ao se destaque em rela¸c˜ao `as alturas de todas as crian¸cas pois, ao incluir meninos, a medida de tendˆencia central ´e aumentada. Gr´afico seq¨uencial As observa¸c˜oes provenientes de uma s´erie temporal em geral apresentam mudan¸cas na m´edia e variˆancia ao longo do tempo que podem resultar de algum tipo de tendˆencia no comportamento da vari´avel. Este fato pode ser verificado descritivamente no gr´afico seq¨uencial. A constru¸c˜ao do gr´afico consiste em plotar o par de valores (x, y), em que x representa um ´ındice de tempo (espa¸co) e y o valor observado da vari´avel correspondente `aquele ´ındice. A Figura 1.8 exibe dados da varia¸c˜ao mensal da taxa SELIC durante o per´ıodo de 1995 at´e 2005. No gr´afico podemos observar per´ıodos de maior turbulˆencia em que a taxa 1.2. T´ecnicas de estat´ıstica descritiva 31 SELIC apresenta maior variabilidade. Por este conjunto de dados apresentar aspectos tip´ı- cos de uma s´erie temporal, devemos tomar extremo cuidado ao calcular resumos num´ericos pois estes podem variar em fun¸c˜ao do per´ıodo de tempo em que s˜ao calculados. Figura 1.8: Varia¸c˜ao mensal na Taxa Selic no per´ıodo de 1995 a 2005. Exemplo 1.22. Uma importante rede de lojas registra durante um ano a quantidade (em milhares) de eletrodom´esticos vendidos. mˆes jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez vendas de eletrodom´esticos 25 23 17 14 11 13 9 10 11 9 20 22 A evolu¸c˜ao das vendas ao longo do tempo ´e melhor entendida no gr´afico seq¨uencial apresentado na Figura 1.9. Repare que ap´os o mˆes de janeiro h´a uma tendˆencia de queda que ´e revertida novamente nos ´ultimos meses do ano. 32 Conceitos B´asicos e T´ecnicas de Estat´ıstica Descritiva Corrˆea da Rosa, J. M. mês qtde vendida 2 4 6 8 10 12 10 15 20 25 Figura 1.9: Gr´afico sequencial das vendas ao longo dos meses. Cap´ıtulo 2 Teoria das Probabilidades 2.1 Introdu¸c˜ao No cap´ıtulo anterior, foram mostrados alguns conceitos relacionados `a estat´ıstica descritiva. Neste cap´ıtulo apresentamos a base te´orica para o desenvolvimento de t´ecnicas estat´ısticas a serem utilizadas nos cap´ıtulos posteriores. Vamos considerar as seguintes quest˜oes: Como saber se um determinado produto est´a sendo produzido dentro dos padr˜oes de qualidade? Como avaliar a capacidade de um determinado exame acertar o verdadeiro diagn´ostico? Quest˜oes como estas envolvem algum tipo de variabilidade ou incerteza, e as decis˜oes podem ser tomadas por meio da teoria de probabilidades que permite a quantifica¸c˜ao da incerteza. A seguir, veremos alguns conceitos b´asicos de probabilidade. 2.2 Conceitos B´asicos de Probabilidade • Fenˆomeno Aleat´orio: ´E um processo de coleta de dados em que os resultados poss´ıveis s˜ao conhecidos mas n˜ao se sabe qual deles ocorrer´a. Assim, um fenˆomeno aleat´orio pode ser a contagem de ausˆencias de um funcion´ario em um determinado mˆes, o resultado do lan¸camento de uma moeda, verificar o resultado de um exame de sangue, entre outros. • Espa¸co Amostral: O conjunto de todos os resultados poss´ıveis do fenˆomeno aleat´orio ´e chamado de espa¸co amostral. Vamos represent´a-lo por Ω. Exemplo 2.1. Lan¸camento de uma moeda. Ω = {cara, coroa}. Exemplo 2.2. Lan¸camento de um dado. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Exemplo 2.3. N´umero de chips defeituosos em uma linha de produ¸c˜ao durante 24 horas. Ω = {0, 1, 2, 3, . . . , n}, sendo n o n´umero m´aximo de itens defeituosos. Exemplo 2.4. Tempo de rea¸c˜ao de uma pomada anest´esica aplicada em queimados. Ω = {t ∈ ℜ | t≥ 0 }. 33 34 Teroria das Probabilidades Winter, L. M. W. & Sganzerla, N. M. Z. • Evento: Qualquer subconjunto do espa¸co amostral Ω ´e chamado de evento. Ser˜ao representados por letras mai´usculas A, B, . . . . Dentre os eventos podemos considerar o evento uni˜ao de A e B, denotado por A ∪ B, que, equivale `a ocorrˆencia de A, ou de B, ou de ambos. A ocorrˆencia simultˆanea dos eventos A e B, denotada por A ∩ B ´e chamada de evento interse¸c˜ao. Dois eventos A e B dizem-se mutuamente exclusivos ou disjuntos, quando a ocorrˆencia de um deles impossibilita a ocorrˆencia do outro. Os dois eventos n˜ao tˆem nenhum elemento em comum, isto ´e, A ∩ B = ∅ (conjunto vazio). Exemplo 2.5. Suponha um fenˆomeno aleat´orio conduzido com a finalidade de se conhecer a eficiˆencia de uma terapia na cura de uma s´ındrome. Para tanto, dois pacientes foram tratados com a referida terapia. Vamos representar C e C, como curado e n˜ao curado, respectivamente. O espa¸co amostral nesse caso ´e dado por: Ω = {CC, CC, CC, CC}. Considere os seguintes eventos: A “obter uma cura” e B “obter quatro curas”: Sendo assim, temos: A = {CC, CC} e B = ∅. 2.2.1 Defini¸c˜ao cl´assica de probabilidade Em fenˆomenos aleat´orios tais como lan¸camento de uma moeda, de um dado, extra- ¸c˜ao de uma carta de um baralho entre outros, temos que todos os resultados poss´ıveis tem a mesma chance de ocorrer. Assim, por exemplo no lan¸camento de uma moeda a probabi- lidade do evento cara ou coroa ocorrer s˜ao igualmente prov´aveis, ou seja, a probabilidade atribu´ıda a cada um ´e 1/2. A probabilidade de um evento A qualquer ocorrer pode ser definida por: P(A) = n´umero de casos favor´aveis ao evento A n´umero de casos poss´ıveis . Exemplo 2.6. Considere o fenˆomeno aleat´orio lan¸camento de um dado e o evento A “sair n´umero par”. Qual a probabilidade deste evento ocorrer? P(A) = 3 6 = 0, 50. Na maioria das situa¸c˜oes pr´aticas, os resultados n˜ao tˆem a mesma chance de ocorrer, deste modo, a probabilidade dos eventos deve ser calculada pela frequˆencia relativa. 2.2. Conceitos Básicos de Probabilidade 35 2.2.2 Aproximação da Probabilidade pela frequência relativa Quando não se tem conhecimento sobre as probabilidades dos eventos, estas podem ser atribuídas após repetidas observações do fenômeno aleatório, ou seja, a proporção de vezes que um evento A qualquer ocorre pode ser estimada como segue: \( P(A) = \frac{\text{número de ocorrências do evento A}}{\text{número de observações}} \). Exemplo 2.7. Uma escola particular pretende oferecer um treinamento esportista aos seus alunos. Dos 300 alunos entrevistados, 142 optaram pelo voleibol, 123 indicaram o basquete e 35 indicaram o futebol. Selecionado aleatoriamente um desses alunos, qual a probabilidade de obter alguém que prefere o voleibol? \( P(V) = \frac{142}{300} = 0,47333 \). À medida que o número de observações aumenta, as aproximações tendem a ficar cada vez mais próximas da probabilidade efetiva. 2.2.3 Propriedades de probabilidades É uma função P(.) que associa números reais aos elementos do espaço amostral e satisfaz as condições: 1. \( 0 \leq P(A) \leq 1 \), para qualquer evento A; 2. \( P(\Omega) = 1 \); 3. \( P(\emptyset) = 0 \); 4. \( P(\bigcup_{j=1}^{n}A_j) = \sum_{j=1}^{n}P(A_j) \). Se \( \bar{A} \) for o evento complementar de A, então \( P(A) = 1 - P(\bar{A}) \). 2.2.4 Teorema da soma Dado dois eventos A e B, a probabilidade de pelo menos um deles ocorrer é igual a soma das probabilidades de cada um menos a probabilidade de ambos ocorrerem simultaneamente, ou seja: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \). Se A e B forem mutuamente exclusivos, teremos \( P(A \cap B) = 0 \). Assim, \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \). 36 Teroria das Probabilidades Winter, L. M. W. & Sganzerla, N. M. Z. Exemplo 2.8. Considere o experimento lan¸camento de um dado e os seguintes eventos: A = {sair n´umero 5}, B = {sair n´umero par} e C = {sair n´umero ´ımpar}. Determinar: Ω, P(A), P(B), P(C), P(A∪B), P(A∪C) e P(A). Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. P(A) = 1 6. P(B) = 3 6. P(C) = 3 6. P(A ∪ B) = 1 6 + 3 6 = 4 6. P(A ∪ C) = 1 6 + 3 6 − 1 6 = 3 6. P(A) = 1 − 1 6 = 5 6. Exemplo 2.9. Um estudo realizado por uma empresa de recursos humanos mostrou que 45% dos funcion´arios de uma multinacional sa´ıram da empresa porque estavam insatisfeitos com seus sal´arios, 28% porque consideraram que a empresa n˜ao possibilitava o crescimento profissional e 8% indicaram insatisfa¸c˜ao tanto com o sal´ario como com sua impossibilidade de crescimento profissional. Considere o evento S: “o funcion´ario sai da empresa em raz˜ao do sal´ario” e o evento I: “o funcion´ario sai da empresa em raz˜ao da impossibilidade de crescimento profissional”. Qual ´e a probabilidade de um funcion´ario sair desta empresa devido a insatisfa¸c˜ao com o sal´ario ou insatisfa¸c˜ao com sua impossibilidade de crescimento profissional? P(S ∪ I) = P(S) + P(I) − P(S ∩ I) P(S ∪ I) = 0, 45 + 0, 28 − 0, 08 = 0, 65. 2.2.5 Probabilidade condicional Existem situa¸c˜oes em que a chance de um particular evento acontecer depende do resultado de outro evento. A probabilidade condicional de A dado que ocorreu B pode ser determinada dividindo-se a probabilidade de ocorrˆencia de ambos os eventos A e B pela probabilidade do evento B; como se mostra a seguir: P(A | B) = P(A ∩ B) P(B) , P(B) > 0. 2.2. Conceitos B´asicos de Probabilidade 37 Exemplo 2.10. Em uma universidade foi selecionada uma amostra de 500 alunos que cursaram a disciplina de Estat´ıstica. Entre as quest˜oes levantadas estava: Vocˆe gostou da disciplina de Estat´ıstica? De 240 homens, 140 responderam que sim. De 260 mulheres, 200 responderam que sim. Para avaliar as probabilidades podemos organizar as informa¸c˜oes em uma tabela. maneira: Tabela 2.1: Gosto pela disciplina de estat´ıstica segundo sexo. Gostou Sexo Sim N˜ao Total Homem 140 100 240 Mulher 200 60 260 Total 340 160 500 Qual ´e a probabilidade de que um aluno escolhido aleatoriamente: (a) H = Seja um homem? P(H) = 240 500 = 0, 48. (b) G = Gostou da disciplina de Estat´ıstica? P(G) = 340 500 = 0, 68. (c) M = Seja uma mulher? P(M) = 260 500 = 0, 52. (d) NG = N˜ao gostou da disciplina de Estat´ıstica? P(NG) = 160 500 = 0, 32. (e) Seja uma mulher ou gostou da disciplina de Estat´ıstica. P(M ∪ G) = 260 500 + 340 500 − 200 500 = 0, 80. (f) Seja uma mulher e gostou da disciplina de Estat´ıstica. P(M ∩ G) = 200 500 = 0, 40. (g) Dado que o aluno escolhido gostou da disciplina de Estat´ıstica. Qual a probabilidade de que o aluno seja um homem? P(H | G) = P(H ∩ G) P(G) = 140 340 = 0, 41176. (h) Dado que o aluno escolhido ´e uma mulher. Qual a probabilidade de que ela n˜ao gostou da disciplina de Estat´ıstica? P(NG | M) = P(NG ∩ M) P(M) = 60 260 = 0, 23077. 38 Teroria das Probabilidades Winter, L. M. W. & Sganzerla, N. M. Z. 2.2.6 Teorema do produto Da defini¸c˜ao de probabilidade condicional P(A|B) = P (A∩B) P (B) podemos obter o teo- rema do produto, que nos permite calcular a probabilidade da ocorrˆencia simultˆanea de dois eventos. Sejam A e B eventos de Ω, a probabilidade de A e B ocorrerem juntos ´e dada por: P(A ∩ B) = P(A) P(B|A), com P(A) > 0 ou P(A ∩ B) = P(B) P(A|B), com P(B) > 0. Dois eventos A e B s˜ao independentes quando a ocorrˆencia de um n˜ao altera a probabilidade de ocorrˆencia do outro. Desse modo, P(A ∩ B) = P(A) P(B). Exemplo 2.11. Uma empres´aria sabe por experiˆencia, que 65% das mulheres que com- pram em sua loja preferem sand´alias plataformas. Qual ´e a probabilidade de as duas pr´oximas clientes comprarem cada uma delas, uma sand´alia plataforma? Vamos admi- tir que o evento A “a primeira cliente compra uma sand´alia plataforma” e o evento B “a segunda cliente compra uma sand´alia plataforma”. Ent˜ao, P(A ∩ B) = (0, 65)(0, 65) = 0, 4225. 2.2.7 Teorema da probabilidade total Suponha que os eventos C1, C2, . . . , Cn formam uma parti¸c˜ao do espa¸co amostral. Os eventos n˜ao tˆem interse¸c˜oes entre si e a uni˜ao destes ´e igual ao espa¸co amostral. Seja A um evento qualquer desse espa¸co, ent˜ao a probabilidade de ocorrˆencia desse evento ser´a dada por: P(A) = P(A ∩ C1) + P(A ∩ C2) + · · · + P(A ∩ Cn) e usando a defini¸c˜ao de probabilidade condicional, P(A) = P(C1) P(A|C1) + P(C2) P(A|C2) + · · · + P(Cn) P(A|Cn). Exemplo 2.12. Uma caixa I cont´em 2 fichas verdes e 3 vermelhas. Uma segunda caixa II cont´em 4 fichas verdes e 3 vermelhas. Escolhe-se, ao acaso, uma caixa e dela retira-se, tamb´em ao acaso uma ficha. Qual a probabilidade de que a ficha retirada seja verde? Se denotarmos por I e II o evento caixa I e caixa II, respectivamente e V o evento a ficha ´e verde, temos: P(I) = 1 2, P(V |I) = 2 5, P(II) = 1 2 e P(V |II) = 4 7. Desta forma, o evento V (“ficha verde”) pode ser escrito em termos de interse¸c˜oes do evento V com os eventos I e II, 2.2. Conceitos B´asicos de Probabilidade 39 V = (V ∩ I) ∪ (V ∩ II) P(V ) = (P(V ∩ I)) + (P(V ∩ II) = P(I)(P(V |I)) + (P(II)P(V |II) = 1 2 2 5 + 1 2 4 7 = 0, 48571. Exemplo 2.13. Um estabilizador pode provir de trˆes fabricantes I, II e III com probabili- dades de 0,25, 0,35 e 0,40, respectivamente. As probabilidades de que durante determinado per´ıodo de tempo, o estabilizador n˜ao funcione bem s˜ao, respectivamente, 0,10; 0,05 e 0,08 para cada um dos fabricantes. Qual ´e a probabilidade de que um estabilizador escolhido ao acaso n˜ao funcione bem durante o per´ıodo de tempo especificado. Se denotarmos por A o evento“um estabilizador n˜ao funcione bem”e por C1, C2 e C3 os eventos“um estabilizador vem do fabricante I, II e III”, respectivamente. A probabilidade de que um estabilizador escolhido ao acaso n˜ao funcione bem durante o per´ıodo de tempo especificado ´e: P(A) = P(C1)P(A|C1) + P(C2)P(A|C2) + P(C3)P(A|C3) = (0, 25)(0, 10) + (0, 35)(0, 05) + (0, 40)(0, 08) = 0, 07450. 2.2.8 Teorema de Bayes Considere C1, C2, ..., Cn eventos que formam uma parti¸c˜ao do espa¸co amostral Ω, cujas probabilidades s˜ao conhecidas. Considere que para um evento A se conhe¸cam as probabilidades condicionais, desta forma: P(Cj|A) = P(Cj) P(A|Cj) P(C1) P(A|C1) + P(C2) P(A|C2) + · · · + P(Cn). P(A|Cn), j = 1, 2, . . . , n. Exemplo 2.14. Considere o exemplo anterior para o desenvolvimento do Teorema de Bayes. Dado que o estabilizador escolhido ao acaso n˜ao funciona bem durante o per´ıodo de tempo especificado, qual a probabilidade de que tenha sido produzido pelo fabricante I, isto ´e, P(C1|A). P(C1|A) = P(C1) P(A|C1) P(C1)P(A|C1) + P(C2)P(A|C2) + P(C3)P(A|C3) = (0, 25)(0, 10) 0, 07450 = 0, 33557. 42 Vari´aveis Aleat´orias Winter, L. M. W. & Sganzerla, N. M. Z. 3.5 Variˆancia A variˆancia de uma vari´avel aleat´oria X ´e dada por: V ar(X) = σ2 = E(X)2 − [E(X)]2. 3.6 Principais Distribui¸c˜oes de Probabilidades A distribui¸c˜ao de probabilidade de uma vari´avel descreve como as probabilidades est˜ao distribu´ıdas sobre os valores da vari´avel aleat´oria. A seguir veremos as distribui¸c˜oes de probabilidade Bernoulli, Binomial e Poisson para vari´aveis aleat´orias discretas e a distribui¸c˜ao Normal para uma vari´avel aleat´oria cont´ınua. 3.6.1 Distribui¸c˜ao de Bernoulli Em situa¸c˜oes em que o fenˆomeno aleat´orio ´e realizado uma s´o vez e a vari´avel de interesse assume somente dois valores, tais como: um gestor de informa¸c˜ao reconhece uma determinada editora ou n˜ao, um paciente sobrevive a um transplante de medula ´ossea ou n˜ao, um equipamento eletrˆonico ´e classificado como bom ou defeituoso. Estas situa¸c˜oes tˆem alternativas dicotˆomicas, ou seja, podem ser representadas por respostas do tipo sucesso com probabilidade p que se atribui o valor 1 ou fracasso com probabilidade q que se atribui o valor 0. Podemos definir estes experimentos como ensaios de Bernoulli. Uma vari´avel X tem distribui¸c˜ao de Bernoulli e sua fun¸c˜ao discreta de probabilidade ´e dada por: P(X = x) = pxq1−x, x = 0, 1. Exemplo 3.3. Uma caixa tem 20 bolas azuis e 30 verdes. Retira-se uma bola dessa caixa. Seja X o n´umero de bolas verdes. Determinar P(X). Para x = 0 temos q = 20 50 = 0, 4 e para x = 1, p = 30 50 = 0, 6. Logo, P(X = x) = 0, 6x0, 41−x. 3.6.2 Distribui¸c˜ao Binomial Consideremos n tentativas independentes de ensaios de Bernoulli. Cada tentativa admite apenas dois resultados complementares: sucesso com probabilidade p ou fracasso com probabilidade q, de modo a se ter p + q = 1. As probabilidades de sucesso e fracasso s˜ao as mesmas para cada tentativa. A vari´avel aleat´oria X que conta o n´umero total de sucessos ´e denominada Binomial. Para indicar qua a vari´avel aleat´oria X segue o modelo Binomial, usaremos a nota¸c˜ao X ∼ b(n, p), em que n e p s˜ao denominados parˆametros dessa distribui¸c˜ao. A sua fun¸c˜ao de probabilidade ´e dada por: 44 Vari´aveis Aleat´orias Winter, L. M. W. & Sganzerla, N. M. Z. 3.6.3 Distribui¸c˜ao de Poisson Como aplica¸c˜oes da distribui¸c˜ao de Poisson podemos citar estudos de acidentes com ve´ıculos; n´umero de mortes por derrame cerebral por ano, numa cidade, n´umero de recla- ma¸c˜oes que chegam em uma operadora telefˆonica por hora, n´umero de clientes que chegam numa loja durante uma hora de promo¸c˜ao relˆampago e n´umero de usu´arios de computador ligados `a Internet. A distribui¸c˜ao de Poisson ´e uma distribui¸c˜ao discreta de probabilidade, aplic´avel a ocorrˆencia de um evento em um intervalo especificado (tempo, distˆancia, ´area, volume ou outra unidade an´aloga). A probabilidade do evento ocorrer x vezes em um intervalo ´e dada a seguir: P(X = x) = λxe−λ x! . em que λ ´e a m´edia (λ = np) ou o n´umero esperado de ocorrˆencias num determinado intervalo de tempo, por exemplo. Utilizaremos a seguinte nota¸c˜ao: X ∼ Po(λ). Exemplo 3.6. O n´umero de mulheres que entram diariamente em uma cl´ınica de est´etica para bronzeamento artificial apresenta distribui¸c˜ao de Poisson, com m´edia de 5 mulheres por dia. Qual ´e a probabilidade de que em um dia particular, o n´umero de muheres que entram nesta cl´ınica de est´etica para bronzeamento artificial, seja: a) Igual a 2? P(X = 2) = 52e−5 2! = 0, 08422. b) Inferior ou igual a 2? P(X ≤ 2) = 50e−5 0! + 51e−5 1! + 52e−5 2! = 0, 12465. 3.6.4 Distribui¸c˜ao Normal A distribui¸c˜ao Normal ´e a mais importante distribui¸c˜ao de probabilidade para des- crever vari´aveis aleat´orias cont´ınuas. Isto justifica-se pelo grande n´umero de aplica¸c˜oes que a utilizam tais como, altura, press˜ao arterial, medidas de testes psicol´ogicos, tempo de vida ´util de um dispositivo eletrˆonico, temperatura corporal, dentre outras. Al´em disso, pela sua capacidade de aproximar outras distribui¸c˜oes e tamb´em pela grande aplica¸c˜ao na inferˆencia estat´ıstica. A vari´avel aleat´oria cont´ınua X com distribui¸c˜ao Normal tem fun¸c˜ao de densidade de probabilidade dada por: f(x) = 1 √ 2πσ e (x−µ)2 2σ2 , para − ∞ < x < ∞ em que os parˆametros µ e σ representam a m´edia e o desvio padr˜ao, respectivamente. 3.6. Principais Distribui¸c˜oes de Probabilidades 45 Usaremos a nota¸c˜ao X ∼N (µ, σ2), para indicar que a vari´avel aleat´oria X tem distribui¸c˜ao Normal com parˆametros µ e σ2. Algumas caracter´ısticas da distribui¸c˜ao normal s˜ao: • a curva normal tem forma de sino, ´e sim´etrica em rela¸c˜ao `a m´edia, como representada na Figura 3.1; • a m´edia, mediana e moda s˜ao valores coincidentes; • a vari´avel aleat´oria X associada a sua distribui¸c˜ao varia de −∞ < x < ∞; • a fun¸c˜ao f(x) tem ponto m´aximo em x = µ. −4 −2 0 2 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x Figura 3.1: Densidade Normal. Para o c´alculo das probabilidades, surgem dois problemas: primeiro, a integra¸c˜ao de f(x), pois para a sua resolu¸c˜ao ´e necess´ario o desenvolvimento em s´eries; segundo, seria a elabora¸c˜ao de uma tabela de probabilidades, pois f(x) depende das combina¸c˜oes da m´edia e variˆancia. Para resolver esses problemas, optou-se por uma mudan¸ca de vari´avel obtendo-se, assim, a distribui¸c˜ao normal padronizada que chamamos aqui de Z. 3.6.5 Distribui¸c˜ao Normal Padr˜ao Denomina-se distribui¸c˜ao Normal Padr˜ao a distribui¸c˜ao Normal de m´edia zero e variˆancia 1, usaremos a nota¸c˜ao Z ∼ N(0, 1). As probabilidades associadas `a distribui¸c˜ao normal padr˜ao s˜ao apresentadas em tabelas. A tabela da normal padr˜ao que iremos utilizar fornece a probabilidade de Z tomar um valor n˜ao superior a z, est´a apresentada no Apˆendice. 3.6.6 Uso da tabela da Normal Padr˜ao Com o uso da tabela da distribui¸c˜ao Normal Padr˜ao pode-se encontrar as probabi- lidades de Z. Vejamos alguns exemplos: 46 Vari´aveis Aleat´orias Winter, L. M. W. & Sganzerla, N. M. Z. Exemplo 3.7. P (Z ≤ 1). A probabilidade que est´a sendo pedida est´a representada na ´area sombreada sob a curva normal exibida na figura abaixo. Portanto, com aux´ılio da tabela chega-se ao resultado 0,84134. 1 z Exemplo 3.8. P (Z ≤ -1). Neste caso a probabilidade que est´a sendo pedida est´a a esquerda de -1. Portanto, com aux´ılio da tabela chega-se ao resultado 0,15865. −1 z Exemplo 3.9. P (Z ≤ 1,72)= 0,95728. Exemplo 3.10. P (Z ≤ -0,53)= 0,29805. Exemplo 3.11. P (-1 ≤ Z ≤ 1) = 0,84134 - 0,15865 = 0,68269. Exemplo 3.12. P (0,7 ≤ Z ≤ 1,35) = 0,91149 - 0,75803 = 0,15346. Exemplo 3.13. P (Z ≥1,8) = 0,03593. 3.6. Principais Distribui¸c˜oes de Probabilidades 47 Os problemas da vida real, entretanto, n˜ao se apresentam j´a na forma reduzida, ao contr´ario, s˜ao formulados em termos da vari´avel normal original X, com m´edia µ e desvio padr˜ao σ. ´E preciso ent˜ao, antes de passarmos `a sua resolu¸c˜ao, padronizamos ou reduzimos a v.a. Normal X, transformando-a na v.a. Z. O resultado da padroniza¸c˜ao ´e a obten¸c˜ao de uma escala de distribui¸c˜ao denominada escala reduzida, escore Z, que mede o afastamento das vari´aveis em rela¸c˜ao `a m´edia em n´umero de desvios-padr˜ao. Z = x − µ σ , em que: Z representa o n´umero de desvios-padr˜ao a contar da m´edia; x representa um valor qualquer da vari´avel aleat´oria; µ = m´edia da distribui¸c˜ao; σ = desvio padr˜ao da distribui¸c˜ao. Exemplo 3.14. As vendas di´arias de um confeitaria no centro de uma cidade tˆem distri- bui¸c˜ao normal, com m´edia igual R$ 450,00 por dia e desvio padr˜ao igual a R$ 95,00. Qual ´e a probabilidade das vendas excederem R$ 700,00 em determinado dia? Sendo Z = 700−500 90 = 2, 63 e utilizando a tabela da Normal padr˜ao, encontramos a proba- bilidade de 0,00426 para o valor de Z = 2, 63. Exemplo 3.15. Suponha que entre pacientes o n´ıvel de colesterol tenha uma distribui¸c˜ao aproximadamente Normal de m´edia 105 mg por 100 ml e um desvio padr˜ao 9 mg por 100 ml. Qual a propor¸c˜ao de diab´eticos que tem n´ıveis entre 90 e 125 mg por 100 ml? Como Z = 90−105 9 = −1, 67 e Z = 125−105 9 = 2, 22 temos a partir da tabela da Normal padr˜ao as seguintes probabilidades: 0,98679 para o valor de Z = 2, 22 e 0,04745 para o valor de Z = −1, 67. Desse modo, a propor¸c˜ao de diab´eticos ´e 93,93. Cap´ıtulo 4 Inferˆencia Estat´ıstica - Teoria da Estima¸c˜ao 4.1 Introdu¸c˜ao Neste cap´ıtulo abordaremos situa¸c˜oes em que o interesse est´a em obter informa¸c˜oes da popula¸c˜ao a partir dos resultados de uma amostra. Como exemplo, consideremos uma ind´ustria de produtos de cabelo que pretende investigar a aceita¸c˜ao, entre as mulheres, de seu novo produto tonalizante. Para tanto, selecionamos uma amostra aleat´oria de mulheres que utilizaram o produto e verificamos qual ´e o percentual de aprova¸c˜ao desse produto na amostra. Outro exemplo trata-se de um psiquiatra interessado em determinar o tempo de rea¸c˜ao de um medicamento anti-depressivo em crian¸cas. Uma amostra aleat´oria de crian¸cas que utilizaram o medicamento ´e obtida e analisamos o tempo m´edio de rea¸c˜ao. Nestes dois exemplos, deseja-se determinar o valor de um parˆametro por meio da avalia¸c˜ao de uma amostra. A seguir vamos definir alguns conceitos b´asicos de inferˆencia estat´ıstica. • Parˆametro: ´e uma medida num´erica, em geral desconhecida, que descreve uma carac- ter´ıstica de interesse da popula¸c˜ao. S˜ao representados, geralmente, por letras gregas tais como, µ (m´edia populacional), σ (desvio-padr˜ao populacional), entre outros. Neste texto, usaremos a letra p para representar a propor¸c˜ao populacional. • Estat´ıstica: ´e qualquer valor calculado a partir dos dados amostrais. Por exemplo, ¯X (m´edia amostral), S (desvio-padr˜ao amostral) e ˆp (propor¸c˜ao amostral). A estat´ıstica ´e uma vari´avel aleat´oria, por dois motivos: porque ´e uma quantidade incerta (antes de obter a amostra n˜ao sabemos seu valor) e porque seu valor varia de amostra para amostra. ´E claro que, quando uma amostra ´e selecionada e uma estat´ıstica ´e calculada, torna-se ent˜ao uma constante, ou seja, ´e o resultado da observa¸c˜ao de uma vari´avel aleat´oria. • Estimador e Estimativa: uma estat´ıstica destinada a estimar um parˆametro ´e cha- 48 4.1. Introdu¸c˜ao 49 mada estimador. Dada uma amostra, o valor assumido pelo estimador ´e chamado de estimativa ou valor estimado do parˆametro. As estimativas obtidas por meio da estat´ıstica variam de acordo com a amostra selecionada. Os procedimentos b´asicos de inferˆencia estat´ıstica compreendem duas metodologias. Uma ´e chamada de estima¸c˜ao, na qual n´os usamos o resultado amostral para estimar o valor desconhecido do parˆametro; a outra ´e conhecida como teste de hip´oteses, em que n´os usamos o resultado amostral para avaliar se uma afirma¸c˜ao sobre o parˆametro (uma hip´otese) ´e sustent´avel ou n˜ao. Teoria de estima¸c˜ao ´e o assunto principal deste cap´ıtulo e teste de hip´oteses ser´a retomado no pr´oximo cap´ıtulo. Para motiva¸c˜ao, consideremos uma popula¸c˜ao formada por 5 alunos. Temos infor- ma¸c˜oes sobre a idade e sexo dos alunos na Tabela 4.1. Tabela 4.1: Popula¸c˜ao de alunos. Identifica¸c˜ao Idade Sexo dos alunos em anos completos feminino(f); masculino(m) 1 22 f 2 19 f 3 19 m 4 20 f 5 22 m A popula¸c˜ao de alunos tem, em m´edia, µ = 20, 4 anos com variˆancia σ2 = 1, 84 anos2 (desvio-padr˜ao σ = 1, 36 anos, aproximadamente). Verificamos que 40% dos alunos s˜ao homens, ou seja, a propor¸c˜ao de homens ´e p = 0, 40. A idade m´edia, o desvio-padr˜ao de idade e a propor¸c˜ao de homens descrevem a popula¸c˜ao de alunos, portanto s˜ao parˆametros. Embora tenhamos acesso a todos os dados de sexo e idade dos 5 alunos, vamos re- correr a amostragem para estimar µ por ¯X, a idade m´edia amostral, e p por ˆp, a propor¸c˜ao amostral de homens. Na Tabela 4.2 est˜ao relacionadas todas as amostras poss´ıveis de tamanho dois, que podem ser selecionadas da popula¸c˜ao dos 5 alunos, por amostragem aleat´oria simples com reposi¸c˜ao. S˜ao 52 = 25 poss´ıveis amostras. Para cada amostra i, podemos calcular ¯Xi, uma estimativa para a idade m´edia e ˆpi, uma estimativa para a propor¸c˜ao de homens. Temos estimativas variadas para µ e p, e ´e o que ocorre quando tiramos v´arias amostras de uma popula¸c˜ao. Nenhuma das estimativas coincide com o valor do parˆametro. Por exemplo, a amostra i = 4, formada pelos alunos 1 e 4, apresenta uma superestimativa para a idade m´edia, ¯X4 = 21 anos, e subestima a propor¸c˜ao de homens, ˆp4 = 0, 0. J´a na amostra i = 8, em que foram selecionados os alunos 2 e 3, a idade m´edia ´e subestimada em ¯X8 = 19 anos, e a propor¸c˜ao de homens ´e superestimada em ˆp8 = 0, 5. Nesta ilustra¸c˜ao, estamos medindo o erro das estimativas, pois o valor do parˆametro ´e conhecido, situa¸c˜ao que n˜ao acontece nos problemas reais de estima¸c˜ao. 50 Inferência Estatística Matuda, N. S. & Winter, E. M. W. Tabela 4.2: Todas as possíveis amostras aleatórias simples com reposição de tamanho 2, da população de alunos. Amostra i Alunos selecionados Dados amostrais X̄_i \hat{p}_i 1 1 e 1 22 f, 22 f 22,0 0,0 2 1 e 2 22 f, 19 f 20,5 0,0 3 1 e 3 22 f, 19 m 20,5 0,5 4 1 e 4 22 f, 20 f 21,0 0,0 5 1 e 5 22 f, 22 m 22,0 0,5 6 2 e 1 19 f, 22 f 20,5 0,0 7 2 e 2 19 f, 19 f 19,0 0,0 8 2 e 3 19 f, 19 m 19,0 0,5 9 2 e 4 19 f, 20 f 19,5 0,0 10 2 e 5 19 f, 22 m 20,5 0,5 11 3 e 1 19 m, 22 f 20,5 0,5 12 3 e 2 19 m, 19 f 19,0 0,5 13 3 e 3 19 m, 19 m 19,0 1,0 14 3 e 4 19 m, 20 f 19,5 0,5 15 3 e 5 19 m, 22 m 20,5 1,0 16 4 e 1 20 f, 22 f 21,0 0,0 17 4 e 2 20 f, 19 f 19,5 0,0 18 4 e 3 20 f, 19 m 19,5 0,5 19 4 e 4 20 f, 20 f 20,0 0,0 20 4 e 5 20 f, 22 m 21,0 0,5 21 5 e 1 22 m, 22 f 22,0 0,5 22 5 e 2 22 m, 19 f 20,5 0,5 23 5 e 3 22 m, 19 m 20,5 0,5 24 5 e 4 22 m, 20 f 21,0 0,5 25 5 e 5 22 m, 22 m 22,0 1,0 Com os resultados da Tabela 4.2 podemos calcular a média dos estimadores X̄ e \hat{p}. Média de X̄: ∑_{i=1}^{15} X̄_i / 15 = 20,4 = μ Média de \hat{p}: ∑_{i=1}^{15} \hat{p}_i / 15 = 0,4 = p Não foi por acaso que as médias de X̄ e \hat{p} coincidiram com os valores dos correspondentes parâmetros. Podemos demonstrar que a média dessas estimativas é igual ao 4.2. Propriedades dos Estimadores 51 parˆametro que est´a sendo estimado. Para as variˆancias de ¯X e ˆp, temos um outro resultado interessante. Denotando tamanho da amostra por n, podemos mostrar tamb´em que a variˆancia de ¯X ´e: σ2 n , e a variˆancia de ˆp ´e: p(1 − p) n . Verifique este resultados com os dados da Tabela 4.2. Nas f´ormulas para a variˆancia dos estimadores, n aparece no denominador, isto quer dizer que quanto maior o tamanho da amostra, menos dispersas ser˜ao as estimativas. Quando obtemos todas as amostras de tamanho da popula¸c˜ao encontramos estima- tivas diferentes para o mesmo parˆametro, por´em, em m´edia, s˜ao iguais ao parˆametro; e tendem a ser mais homogˆeneas com o aumento do tamanho da amostra. Este resultado ´e t˜ao surpreendente, que torna poss´ıvel o uso de uma amostra para estimar os parˆametros da popula¸c˜ao. Podemos propor v´arios estimadores para um determinado parˆametro. Para estimar, por exemplo, a m´edia populacional µ da vari´avel X, n´os poder´ıamos usar a m´edia amostral ¯X, a mediana amostral, ou a primeira observa¸c˜ao X1, entre outras possibilidades. Alguns estimadores em potencial n˜ao tem sentido como X1, que considera a primeira observa¸c˜ao como estimador de µ e despreza toda a informa¸c˜ao proveniente das outras observa¸c˜oes na amostra. Pode ser natural usar a estat´ıstica an´aloga para estimar o parˆametro, ou seja, usar a m´edia amostral para estimar µ, mas esta estrat´egia nem sempre leva ao melhor estimador. Basicamente, um bom estimador tem uma m´edia igual ao parˆametro sendo estimado e desvio padr˜ao pequeno. 4.2 Propriedades dos Estimadores • V´ıcio Um estimador ´e n˜ao viciado se sua m´edia ´e igual ao parˆametro. A m´edia amostral ´e um estimador n˜ao viciado da m´edia populacional. Por outro lado, um estimador viciado, em m´edia, tende a subestimar ou sobrestimar o parˆametro. As vezes, pode ser interessante usar estimadores viciados, com v´ıcios que tendem a desaparecer quando o tamanho da amostra aumenta. • Eficiˆencia Uma segunda propriedade interessante para um estimador ´e ter um erro padr˜ao pequeno, comparado a outros estimadores. Um estimador com essa propriedade ´e dito ser eficiente. 52 Inferência Estatística Matuda, N. S. & Winter, E. M. W. É desejável que o estimador de um parâmetro deva ser não viciado e eficiente. Vimos que a média amostral e a proporção amostral são estimadores não viciados para μ e p, respectivamente; e é possível mostrar que são estimadores eficientes. Por outro lado, σ̂² = ∑_{i=1}^{n} (X_i - X̄)² / n é um estimador viciado de σ² e S² = ∑_{i=1}^{n} (X_i - X̄)² / (n - 1) é não viciado. Uma boa maneira de visualizar as propriedades dos estimadores é fazer uma analogia com o jogo de dardos. Na Figura 4.1 estão esquematizados o desempenho de 4 jogadores, cada um com 8 dardos. Os dardos são as amostras e os jogadores representam 4 tipos de estimadores. O jogador da Figura 4.1a representa um bom estimador, pois os dardos estão em torno do alvo (não viciado) e bem concentrados (eficiente). Nas Figuras 4.1b a 4.1d os jogadores não tem um desempenho tão bom. Na Figura 4.1b está representado o estimador mais eficiente, comparando com os outros estimadores, mas tem vícios. Já o estimador caracterizado na Figura 4.1c não tem vícios porém, não é eficiente. O jogador da Figura 4.1d representa o pior dos 4 estimadores: é viciado e não pode ser considerado efiente. Figura 4.1: Analogia entre as propriedades dos estimadores e o jogo de dardos. É importante estudar as propriedades do estimador para verificar se é um bom estimador para o parâmetro de interesse. Podemos também avaliar a qualidade de um estimador associando um erro máximo às estimativas. Este erro máximo é um limite que desejamos não ser ultrapassado pela estimativa. Para verificar se um estimador é bom, basta calcular a probabilidade do erro amostral não ultrapassar o máximo estipulado. Esperamos que essa probabilidade seja muito alta, perto de 100%. Na seção anterior, vimos que as estatísticas e portanto os estimadores são variáveis aleatórias. A distribuição de probabilidades de uma estatística é conhecida como distribuição amostral e seu desvio-padrão é referido como erro padrão. Se conhecermos a distribuição amostral do estimador podemos calcular as probabilidades que precisamos para avaliar o estimador. 4.3. Distribuições Amostrais 53 4.3 Distribuições Amostrais 4.3.1 Introdução Uma forma de obter a distribuição amostral de um estimador é pensarmos em todas as amostras possíveis de tamanho n que podem ser retiradas da população, usando por exemplo, amostragem aleatória simples com reposição, como foi feito para a população de 5 alunos. Resumimos as informações sobre as estimativas da idade média na Tabela 4.2 com a distribuição de probabilidades para X̄ (Tabela 4.3). Tabela 4.3: Distribuição amostral da idade média. Possíveis Probabilidades valores de X̄ 19,0 0,16 19,5 0,16 20,0 0,04 20,5 0,32 21,0 0,16 22,0 0,16 Total 1,00 Por que é tão importante conhecer a distribuição de X̄? Vamos lembrar que estamos procurando um bom estimador para μ, a média populacional. Alguém pode pensar que X̄ é um bom estimador de μ quando o erro amostral, X̄ − μ, for pequeno. Mas como μ é desconhecido não é possível mensurar o erro amostral. Vamos por um limite para esse erro amostral e vamos denotá-lo por ε. Se conhecermos a distribuição de X̄ é possível calcular a probabilidade do erro amostral ser no máximo igual a ε. Já que o erro pode ser cometido para mais ou para menos, a probabilidade que devemos calcular é P (−ε ≤ X̄ − μ ≤ ε) . Se esta fosse a única forma de obter a distribuição amostral, o processo de inferência ficaria inviável para populações reais, pois é necessário obter todas as possíveis amostras de tamanho n para construir a distribuição amostral. Felizmente, pela teoria de probabili dades podemos mostrar que se uma variável X tem distribuição Normal, a média amostral, X̄, também tem distribuição Normal. 4.3.2 Distribuição amostral de X̄ Consideremos que uma amostra aleatória de tamanho n é selecionada da população de interesse, para observar a variável aleatória contínua, X, com distribuição Normal de média μ e desvio-padrão σ. A média amostral, X̄, tem distribuição Normal com média μ 54 Inferˆencia Estat´ıstica Matuda, N. S. & Winter, E. M. W. e desvio-padr˜ao σ/√n. Tanto que Z = ¯X − µ σ/√n tem distribui¸c˜ao Normal Padr˜ao. A Figura 4.2 apresenta a forma da distribui¸c˜ao de X e de ¯X para diferentes tamanhos de amostra. Observamos que a distribui¸c˜ao de X na popula¸c˜ao ´e bem mais dispersa que a de ¯X; e a medida que aumentamos o tamanho da amostra, a distribui¸c˜ao de ¯X vai ficando mais concentrada. −10 0 10 20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 X~N (5,25) n=10 n=20 n=30 n=100 Figura 4.2: Distribui¸c˜ao de ¯X quando X tem distribui¸c˜ao normal, para alguns tamanhos de amostra. Se σ ´e desconhecido, a teoria de probabilidades mostra que, mesmo assim, ´e poss´ıvel obter uma distribui¸c˜ao amostral para ¯X, utilizando uma distribui¸c˜ao, denominada t de Student. Esta distribui¸c˜ao tem forma parecida com a da Normal Padr˜ao, com caudas um pouco mais pesadas, ou seja, a dispers˜ao da distribui¸c˜ao t de Student ´e maior. Se uma distribui¸c˜ao tem caudas mais pesadas, valores extremos tˆem maior probabilidade de ocorrerem. Esta dispers˜ao varia com o tamanho da amostra, sendo bastante dispersa para amos- tras pequenas, mas se aproximando da Normal Padr˜ao para amostras grandes. A distri- bui¸c˜ao t de Student tem apenas um parˆametro, denominado graus de liberdade, gl. 4.3. Distribui¸c˜oes Amostrais 55 Se uma vari´avel aleat´oria X tem distribui¸c˜ao Normal com m´edia µ, ent˜ao T = ¯X − µ S/√n tem distribui¸c˜ao t de Student com (n − 1) graus de liberdade, sendo que S ´e o estimador de σ, o desvio-padr˜ao de X. Na Figura 4.3 est˜ao representadas as densidades das distribui¸c˜oes de Z e T. t (gl=2) N (0,1) Figura 4.3: Densidades de T e Z. Mesmo que a vari´avel de interesse X n˜ao tenha uma distribui¸c˜ao Normal, ainda podemos obter uma distribui¸c˜ao aproximada para ¯X. A teoria de probabilidades fornece um teorema, que ´e um dos resultados mais importantes da Estat´ıstica, pois encontra uma aproxima¸c˜ao para a distribui¸c˜ao amostral de ¯X, sem a necessidade de se conhecer muito sobre a popula¸c˜ao em estudo. 4.3.3 Teorema central do limite (TCL) Seja uma vari´avel aleat´oria cont´ınua X com m´edia µ e desvio-padr˜ao σ. Uma amos- tra aleat´oria de tamanho n ´e selecionada da popula¸c˜ao de interesse, para observar X. Quando n ´e grande o suficiente (em geral, n ≥ 30), a m´edia amostral, ¯X, tem 56 Inferência Estatística Matuda, N. S. & Winter, E. M. W. distribuição aproximadamente Normal com média μ e desvio-padrão σ/√n. Assim, \[ \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \] tem aproximadamente distribuição Normal Padrão. Se σ é desconhecido, pode ser substituído por sua estimativa S, o desvio-padrão amostral, e mesmo assim, podemos então dizer que \[ \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \] tem aproximadamente distribuição Normal Padrão. Exemplo 4.1. Como ilustração do uso de distribuições amostrais, consideremos uma amostra aleatória de n = 100 trabalhadores imigrantes, com a informação sobre X, salário mensal dessa amostra de trabalhadores. O salário médio mensal da amostra, \( \bar{X} \), é de 1500 reais e é uma estimativa de \( \mu \), o salário médio mensal de todos os trabalhadores imigrantes. E o desvio-padrão amostral de salário, \( S \), é de 1200 reais. Os responsáveis pela pesquisa consideram que uma boa estimativa para o salário médio mensal deve ter no máximo um erro e de 200 reais. Vamos calcular a probabilidade do erro máximo ser de 200 reais, isto é, \[ P (-200 \leq \bar{X} - \mu \leq 200) \] Para tanto, usaremos o TCL, já que n = 100. Assim, dividindo todos os termos dentro da probabilidade por \[ \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{1200}{\sqrt{100}} = 120, \] teremos: \[ P \left( -200 \leq \bar{X} - \mu \leq 200 \right) = P \left( -1,67 \leq \frac{\bar{X} - \mu}{120} \leq 1,67 \right). \] Pelo TCL, \[ \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \] tem aproximadamente distribuição Normal Padrão. Podemos então escrever: \[ P \left( -1,67 \leq \frac{\bar{X} - \mu}{120} \leq 1,67 \right) \approx P (-1,67 \leq Z \leq 1,67) = 0,905, \] obtida da tabela de distribuição Normal Padrão, já que Z tem exatamente a distribuição Normal Padrão. Temos então que: \[ P (-200 \leq \bar{X} - \mu \leq 200) \approx 0,905, \] ou seja, a probabilidade do erro amostral ser no máximo R$200,00 é aproximadamente igual a 90,5%. O valor 90,5% é conhecido como nível de confiança. Em outras palavras, 4.4. Estima¸c˜ao da M´edia Populacional (µ) 57 n˜ao podemos garantir que o erro m´aximo n˜ao ser´a ultrapassado, mas temos 90, 5% de confian¸ca que ele n˜ao ser´a maior que R$200,00. Para aumentar o n´ıvel de confian¸ca, ´e preciso aumentar n, o tamanho da amostra; ou diminuir e, o erro m´aximo. O processo de encontrar n, fixados o n´ıvel de confian¸ca e o erro m´aximo, ´e um problema de c´alculo de tamanho de amostra, apresentado na Se¸c˜ao 4.9. O processo de encontrar e, fixados o tamanho de amostra e o n´ıvel de confian¸ca, ´e um problema de estima¸c˜ao. Neste tipo de problema, fazemos o c´alculo da probabilidade ao contr´ario: temos o valor 0,905 e queremos encontrar 1,67. Os detalhes desse processo inverso s˜ao vistos a partir da Se¸c˜ao 4.4. At´e o momento apresentamos uma estimativa do parˆametro baseado em um ´unico valor, referido como estimativa pontual. Por exemplo, se a propor¸c˜ao de mulheres com osteoporose em uma comunidade for estimada em 45%, essa estimativa ´e pontual pois se baseia em um ´unico valor num´erico. Muitas vezes, entretanto, queremos considerar, conjuntamente, o estimador e a sua variabilidade. A forma usual de incorporar esta informa¸c˜ao ´e por meio do chamado intervalo de confian¸ca. Com uma amostra dispon´ıvel, n´os podemos usar a distribui¸c˜ao amostral do esti- mador para formar um intervalo de confian¸ca, isto ´e, um intervalo de valores que deve conter o verdadeiro valor do parˆametro com uma probabilidade pr´e-determinada, referida por n´ıvel de confian¸ca. Na estima¸c˜ao por intervalo, acreditamos, com um certo n´ıvel de confian¸ca, que o intervalo cont´em o valor do parˆametro. Um exemplo seria dizer que a propor¸c˜ao de mulheres com osteoporose est´a estimada entre 40% e 50% com um n´ıvel de 95% de confian¸ca. 4.4 Estima¸c˜ao da M´edia Populacional (µ) Consideremos uma popula¸c˜ao em que h´a interesse em estimar µ, a m´edia de X, uma vari´avel aleat´oria cont´ınua. Suponhamos que uma amostra aleat´oria de tamanho n foi selecionada da popula¸c˜ao para obter uma estimativa de µ. O estimador ¯X ´e aquele que apresenta as melhores propriedades para estimar m´edia populacional µ. Para estimar, por intervalo, o parˆametro µ, a partir de ¯X, podemos pensar em 3 condi¸c˜oes diferentes. Condi¸c˜ao 1: Pelos resultados da Se¸c˜ao 4.3.2, se X ∼ N(µ, σ2) ent˜ao Z = ¯X − µ σ/√n tem distribui¸c˜ao Normal Padr˜ao. Como representado na Figura 4.4, podemos encontrar o valor de z, pela tabela da distribui¸c˜ao Normal Padr˜ao, tal que P (−z ≤ Z ≤ z) = 1 − α. 58 Inferência Estatística Matuda, N. S. & Winter, E. M. W. Figura 4.4: Densidade de Z e o quantil z. Assim, \[ P \left( -z \leq \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq z \right) = 1 - \alpha. \] Isolando \( \mu \) nas desigualdades, temos que: \[ P \left( \bar{X} - z \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X} + z \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \alpha. \] \(4.1\) Devemos ter algum cuidado na interpretação da probabilidade em (4.1). Entre as desigualdades está o parâmetro \( \mu \), e não são calculadas probabilidades de parâmetros, pois são valores fixos. As partes aleatórias são os limites do intervalo. A interpretação para (4.1) é que com \( (1 - \alpha) \) de confiança, o intervalo \[ \left( \bar{X} - z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{X} + z \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \] contém o parâmetro. O erro máximo da estimativa, \( e \), também conhecido como margem de erro, para um nível de confiança \( (1 - \alpha) \), é dado por: \[ e = z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \] 59 4.4. Estimação da Média Populacional (μ) em que \( z \) pode ser obtido da tabela da Normal Padrão, em função do nível de confiança desejado. Condição 2: Novamente \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \), mas é comum não conhecermos o valor de \( \sigma \), o desvio-padrão de \( X \). Neste caso, usamos \[ T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \] que tem distribuição t de Student com \( (n - 1) \) graus de liberdade. O valor de \( t \) pode ser encontrado usando a tabela da distribuição t de Student, tal que \[ P (-t \leq T \leq t) = 1 - \alpha. \] \(4.2\) Assim, reescrevendo (4.2) temos que: \[ P \left( -t \leq \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \leq t \right) = 1 - \alpha \] e isolando \( \mu \) nas desigualdades, resulta em: \[ P \left( \bar{X} - t \frac{S}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X} + t \frac{S}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \alpha. \] Um intervalo de confiança de \( (1 - \alpha) \) é então: \[ \left( \bar{X} - t \frac{S}{\sqrt{n}}; \bar{X} + t \frac{S}{\sqrt{n}} \right). \] Condição 3: Para o caso em que \( X \) não segue uma distribuição Normal, vamos supor que \( n \) seja suficientemente grande para a aplicação do TCL. Então: \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \] \(4.3\) tem aproximadamente distribuição Normal Padrão. Podemos então escrever: \[ P \left( -z \leq \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \leq z \right) \approx 1 - \alpha. \] Isolando \( \mu \), chegamos ao intervalo: \[ \left( \bar{X} - z \frac{S}{\sqrt{n}}; \bar{X} + z \frac{S}{\sqrt{n}} \right), \] que é o intervalo de confiança aproximado de \( (1 - \alpha) \) para estimar \( \mu \). E para um nível de confiança \( (1 - \alpha) \), o erro máximo aproximado é \[ e = z \frac{S}{\sqrt{n}} \] em que \( z \) pode ser obtido da tabela da Normal Padrão, em função do nível de confiança desejado. 60 Inferência Estatística Matuda, N. S. & Winter, E. M. W. Exemplo 4.2. Um centro de ortodontia deseja conhecer a estimativa do tempo médio que um membro da equipe gasta para atender a cada paciente. Suponha que uma amostra de 38 especialistas revelou que a média foi de 45 minutos com um desvio-padrão de 6 minutos. Determine um intervalo de 99% de confiança para o parâmetro. Desejamos uma estimativa para o parâmetro desconhecido μ, o tempo médio que um membro da equipe gasta para atender um paciente. Temos que n = 38, X ̄ = 45 e S = 6. Não temos muita informação sobre a distribuição de X, o tempo gasto para atender um paciente, então aplicaremos a Condição 3. Para um nível de confiança de 99%, o valor de z é 2,58. Portanto, o intervalo aproximado de 99% de confiança para μ é (\(X¯ - z \frac{S}{\sqrt{n}}; X¯ + z \frac{S}{\sqrt{n}} \) ) = (45 - 2,58 \frac{6}{\sqrt{38}}; 45 + 2,58 \frac{6}{\sqrt{38}}) = (42,49; 47,51). Podemos dizer então que o intervalo entre 42,49 e 47,51 contém o tempo médio gasto por um membro da equipe para atender a cada paciente, com 99% de confiança. 4.5 Estimação de μ em Amostras Pequenas Quando dispomos de uma amostra pequena (n < 30), não temos a garantia da aplicação do TCL, portanto a distribuição amostral da média pode ou não estar próxima da distribuição Normal. Mas se X tem distribuição Normal podemos obter as estimativas intervalares de μ, adotando a Condição 1 ou 2. Na prática, é difícil provar que uma variável aleatória X tem distribuição Nor- mal. Porém, se X tem apenas uma moda e é basicamente simétrica, obtemos em geral, bons resultados, com intervalos de confiança precisos. Se há forte evidência de que a po- pulação tem distribuição bastante assimétrica, então uma alternativa é utilizar métodos não-paramétricos, descritos no Capítulo 5 sobre teste de hipóteses, na Seção 5.7. Exemplo 4.3. Uma rede de lanchonetes deseja estimar a quantia média que cada cliente gasta por lanche. Foram coletados dados de uma amostra de 22 clientes que revelou uma quantia média de R$ 15 com um desvio-padrão de 5. Construir um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. O objetivo é estimar o parâmetro μ, a quantia média que cada cliente gasta por lanche, em todas as lanchonetes da rede. Assumindo que X , a quantidade gasta por lanche, tem distribuição Normal, podemos usar a Condição 2, já que σ é desconhecido. Podemos obter uma estimativa para o erro padrão da média por: 5/√22 = 1,066. Usando um nível de 95% de confiança e 21 graus de liberdade (gl = 21, pois n = 22 e gl = n − 1), obtemos na tabela da distribuição t de Student o valor t = 2,08, e assim podemos calcular o erro máximo da estimativa 4.6. Estimação da Diferença entre Duas Médias Populacionais ( μ 1 e μ 2 ) ε = t \frac{S}{\sqrt n} = 2,08 ∙ 1,066 = 2,217. Então, temos o seguinte intervalo de 95% de confiança para o parâmetro μ: ( \( X ̄ - t \frac{S}{\sqrt{n}}; X ̄ + t \frac{S}{\sqrt{n}} \) ) = (15 - 2,217; 15 + 2,217) = (12,783; 17,217). O intervalo de 12,783 a 17,217 contém a quantia média que cada cliente gasta por lanche, com 95% de confiança. Pode parecer um pouco estranho que, com uma população distribuída normalmente, venhamos eventualmente a utilizar a distribuição t de Student para achar os valores asso- ciados ao nível de confiança; mas quando σ não é conhecido, a utilização de S incorpora outra fonte de erro. Para manter o grau desejado de confiança compensamos a variabili- dade adicional ampliando o intervalo de confiança por um processo que substitui o valor z por um valor maior, t. Para ilustrar esta idéia considere para o Exemplo 4.3 um inter- valo de confiança de 95%, utilizando o valor z de uma distribuição Normal Padrão. Este intervalo apresenta uma amplitude menor. (15 − 2,089; 15 + 2,089) = (12,911; 17,089). 4.6 Estimação da Diferença entre Duas Médias Populacionais ( μ 1 e μ 2 ) Em muitas situações há a necessidade de comparar duas populações diferentes. Como exemplos, podemos ter interesse em saber: se idosos que praticam exercícios fí- sicos diariamente apresentam nível de colesterol menor do que idosos, com as mesmas condições, mas que não praticam exercícios físicos diariamente; se um tipo de equipa- mente eletrônico tem maior durabilidade do que outro; e assim por diante. A seguir vamos utilizar um método para construir um intervalo de confiança para a diferença entre duas médias, com duas amostras independentes. Para tanto, uma amostra aleatória é selecionada independentemente de cada população. Seja X a variável aleatória a ser comparada. Suponhamos que X tenha média μ 1 e desvio-padrão σ 1 na População 1 e tenha média μ 2 e desvio-padrão σ 2 na População 2. Suponhamos também que as amostras tenham tamanhos n 1 e n 2 para as Populações 1 e 2, respectivamente. Se n 1 e n 2 ≥ 30, podemos estender o resultado do TCL, tanto que \( (\overline{X}_1 - \overline{X}_2) \) tem distribuição aproximadamente Normal com média μ 1 − μ 2 e desvio-padrão \( \sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1} + \frac{\sigma^2_2}{n_2}} \) Quando os parâmetros σ 1 e σ 2 são desconhecidos podem ser substituídos por S 1 e S 2 , os desvios-padrão amostrais. 62 Inferência Estatística Matuda, N. S. & Winter, E. M. W. Usando o mesmo processo para a construção de intervalo de confiança para uma média, o intervalo de confiança aproximado para (μ1 − μ2) será dado por: ( \( \overline{X}_1 - \overline{X}_2 \) − z \( \sqrt{\frac{S^2_1}{n_1} + \frac{S^2_2}{n_2}} \); \( \overline{X}_1 - \overline{X}_2 \) + z \( \sqrt{\frac{S^2_1}{n_1} + \frac{S^2_2}{n_2}} \) ) , em que o valor de z é encontrado na tabela da distribuição Normal Padrão, conforme o nível de confiança do intervalo. Exemplo 4.4. Com o objetivo de comparar dois métodos de redução de gordura localizada nas coxas, foram criados dois grupos, 1 e 2, cada um com 30 pessoas que apresentam as mesmas condições, recebendo um tipo de tratamento. Antes e depois de um período de 60 dias de utilização do aparelho foi anotado a perda em mm. Obtendo-se: \( \overline{X}_1 = 21,3 ; S_1 = 2,6 \) e \( \overline{X}_2 = 13,4 ; S_2 = 1,9 \) construir o intervalo de 95% de confiança para a diferença de médias. A diferença observada na amostra é \( \overline{X}_1 − \overline{X}_2 = 7,9 \) e o intervalo: (7,9 - 1,96 \( \sqrt{\frac{2,6^2}{30} + \frac{1,9^2}{30}} \) ; 7,9 + 1,96 \( \sqrt{\frac{2,6^2}{30} + \frac{1,9^2}{30}} \) ) = (6,748; 9,0527). é o intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as reduções médias dos dois métodos. Quando o zero pertence ao intervalo de confiança, há forte evidência de que não há diferença entre as duas médias populacionais. No Exemplo 4.4, com base no intervalo de confiança de 95%, podemos concluir que há diferença significativa entre a redução média de gordura das coxas entre os dois métodos utilizados, pois o valor zero não pertence ao intervalo de confiança. 4.7 Estimação de μ1 − μ2 em Amostras Pequenas Se n 1 ou n 2 é menor que 30, formas alternativas devem ser usadas para os intervalos de confiança. A teoria usada na Seção 4.5 pode ser estendida para o caso de duas amostras independentes. Assumimos normalidade para as distribuições populacionais, como no caso 4.7. Estimação de μ1 - μ2 em Amostras Pequenas de uma amostra. Além disso, vamos assumir aqui que σ1 = σ2, isso quer dizer que as duas populações tem o mesmo desvio-padrão, digamos, σ. A variância populacional σ2 pode ser estimada por: Sp² = (n1 - 1) S1² + (n2 - 1) S2² n1 + n2 - 2 que representa uma variância combinada, pois é uma média ponderada das duas variâncias amostrais, S1² e S2². O intervalo de confiança para μ1 - μ2 será dado por: (( X̄1 - X̄2) - t√ Sp² ( 1 + 1 ); (X̄1 - X̄2) + t√ Sp² ( 1 + 1 ) ), n1 n2 n1 n2 em que o valor de t é encontrado na tabela da distribuição t de Student com (n1 + n2 - 2) graus de liberdade, conforme o nível de confiança do intervalo. Quando não podemos assumir que σ1 = σ2, não podemos combinar as variâncias e os graus de liberdade da distribuição t de Student não são tão simples de serem obtidos. A inferência sobre μ1 - μ2, neste caso, é visto somente para teste de hipóteses na Seção 5.4.4. Exemplo 4.5. O tempo para realizar uma tarefa, em segundos, foi anotado para 10 homens e 11 mulheres, igualmente treinados. As médias e variâncias obtidas foram: Homom Mulher n1 = 10 n2 = 11 X̄1 = 45, 33 X̄2 = 43, 54 S1² = 1, 54 S2² = 2, 96 Determine um intervalo de confiança de 99% para a diferença entre os tempos médios de homens e mulheres. Primeiramente, vamos calcular Sp²p Sp²p = 9 × 1,54 + 10 × 2, 96 = 2, 29. 19 Na tabela da distribuição t de Student com 19 gl encontramos que t = 2, 86, para 99% de confiança. Como X̄1 - X̄2 = 1, 79, o intervalo de confiança para (μ1 - μ2) será dado por: ( 1, 79 - 2, 86√ 2, 29 ( 1 + 1 ); 1, 79 + 2, 86√ 2, 29 ( 1 + 1 ) ) = ( -0, 10; 3, 68). 10 11 10 11 Com base neste intervalo com 99% confiança, não existe diferença entre os tempos médios de homens e mulheres. 4.8 Estimação de uma Proporção Populacional (p) Nesta seção, as variáveis são referentes a contagens, como o número de fumantes, número de unidades defeituosas em uma linha de produção, e assim por diante. Primeiramente, abordaremos a distribuição amostral de p̂, em seguida a estimativa pontual do parâmetro p, a proporção populacional, e, por último, construiremos estimativas intervalares. Consideremos o caso em que o parâmetro a ser estimado é a proporção p de indivíduos em uma população, que apresentam uma certa característica. Retira-se da população uma amostra de tamanho n. Considerando a variável Xi = 1, se o elemento i da população pertence a categoria de interesse, e Xi = 0, se não pertence a categoria, temos que ∑n i=1 Xi será o número de elementos da amostra que apresentam a característica em estudo. Para uma população de N elementos podemos calcular a proporção populacional por: p = ∑N i=1 Xi N Um estimador da proporção populacional p será a proporção amostral p̂: p̂ = ∑n i=1 Xi n . Então, o cálculo de p e p̂ é análogo ao de uma média e, portanto, é possível aplicar o TCL para a proporção amostral. 4.8.1 TCL para proporção amostral Seja uma amostra aleatória de tamanho n, selecionada de uma população com proporção populacional igual a p. Quando n é grande o suficiente (em geral, n ≥ 30, se valor de p não for muito próximo de 0 ou 1), então p̂, a proporção amostral, tem aproximadamente uma distribuição Normal com média p e o desvio-padrão é: √p(1 - p)/n estimado por: √p̂(1 - p̂)/n. Assim, p̂ - p √p̂(1 - p̂)/n tem aproximadamente distribuição Normal Padrão. 4.8.2 Intervalo de Confiança para p Para estimar, por intervalo, o parâmetro p, a partir de p̂, podemos seguir os mesmos princípios da estimação da média populacional. Suponhamos que n seja suficientemente grande para aplicar o TCL para proporção. Temos que: P(-z ≤ Z ≤ z) = 1 - α ⇔ P( -z ≤ p̂ - p ≤ z ) ≅ 1 - α, √p̂(1 - p̂)/n √p̂(1 - p̂)/n em que o valor de z é encontrado na tabela da distribuição Normal Padrão. Isolando p nas desigualdades, resulta em: P ( p̂ - z√p̂(1 - p̂) ≤ p ≤ p̂ + z√p̂(1 - p̂) ) ≅ 1 - α. (4.4) n n A probabilidade em (4.4) pode ser interpretada como: o intervalo ( p̂ - z√p̂(1 - p̂) , p̂ + z√p̂(1 - p̂) ) n n estima o parâmetro p, com aproximadamente (1 - α) de confiança. Um intervalo de confiança conservativo é: ( p̂ - z√ 1 , p̂ + z√ 1 ). 4n 4n A abordagem conservativa substitui o produto p(1 - p) por 1/4. Como indicado na Figura 4.5, o produto p(1 - p) é, no máximo igual a 1/4, de modo que ao usar 1/4, obtemos um intervalo de confiança mais amplo. Encontrando z para um nível de confiança (1 - α), os erros máximos de estimação na abordagem otimista e conservativa são, respectivamente, dados por: e = z√p̂(1 - p̂) n e = z√ 1 . 4n Exemplo 4.6. Um especialista em educação pretende avaliar a aceitação de um projeto educacional numa cidade. Depois de apresentá-lo às escolas do município, os responsáveis por sua execução desejam avaliar o valor aproximado do parâmetro p, a proporção de diretores favoráveis ao projeto, dentre as escolas do município. Para estimar este parâmetro, o especialista planeja observar uma amostra aleatória simples de n = 600 escolas. Se na amostra 420 são favoráveis, temos a seguinte estimativa pontual para o parâmetro p: p̂ = 420 = 0, 70. 600 Inferência Estatística Matuda, N. S. & Winter, E. M. W. Figura 4.5: Máximo de p(1 - p). Usando um nível de 95% de confiança temos o seguinte intervalo otimista: \left(0, 7 - 1, 96 \sqrt{\frac{0, 70 \cdot 0, 30}{600}} ; 0, 70 + 1, 96 \sqrt{\frac{0, 70 \cdot 30}{600}}\right) = (0, 663; 0, 737). Ou seja, o intervalo de 66,3% a 73,7% contém, com 95% de confiança, a porcentagem de favoráveis ao projeto, dentre todas as escolas municipais. 4.9 Determinação do Tamanho da Amostra (n) Supondo que há condições para aplicação do TCL, as fórmulas para o cálculo de n são derivadas, fixando o erro máximo, e e o nível de confiança (1 - \alpha). A determinação de n também depende do plano amostral adotado e do parâmetro a ser estimado. No caso da amostragem aleatória simples, a fórmula de n para a estimação de \mu é encontrada isolando n em e = \frac{z \sigma}{\sqrt{n}}. Portanto, n = \left(\frac{z \sigma}{e}\right)^2, 4.9. Determinação do Tamanho da Amostra (n) 67 em que \sigma deve ser previamente estimado e z é obtido conforme o nível de confiança. Sugestões para estimação prévia de \sigma: 1. usar estimativas de \sigma, de um estudo similar feito anteriormente ou de uma amostra piloto; 2. Em muitas situações, podemos considerar que \sigma \approx \frac{amplitude}{4}. O argumento teórico para o uso desta aproximação está baseado na propriedade da distribuição Normal com média \mu e desvio-padrão \sigma, de que a área entre \mu - 2\sigma e \mu + 2\sigma é igual a 95,5%; portanto esta aproximação não deve ser usada se a variável em estudo for muito assimétrica. Exemplo 4.7. Qual é o tamanho de amostra necessário para estimar a renda média mensal das famílias de uma pequena comunidade, com um erro máximo de 100 reais com 95% de confiança, usando amostragem aleatória simples? Sabe-se que a renda mensal familiar está entre 50 e 1000 reais. Temos que e = 100 e para um nível de confiança igual a 95%, z = 1, 96. Com a informação de que a renda varia entre 50 e 1000, uma aproximação para \sigma é: \sigma \approx \frac{amplitude}{4} = \frac{1000 - 50}{4} = 237, 5. Assim, n = \left(\frac{z \sigma}{e}\right)^2 = \left(\frac{1, 96 \cdot 237, 5}{100}\right)^2 = 21, 67 \approx 22. Portanto, cerca de 22 famílias devem ser entrevistadas. Para a estimação de p, a fórmula para determinar n, usando amostragem aleatória simples, é encontrada isolando n em e = z \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}. Portanto, n = \frac{z^2 p(1 - p)}{e^2}, em que p deve ser previamente estimado e z é obtido conforme o nível de confiança. Sugestões para estimação prévia de p: 1. Usar estimativas de p de um estudo similar feito anteriormente ou de uma amostra piloto; 2. Substituir o produto p(1 - p) por 0,25. Notamos que ao substituir por 0,25, o tamanho da amostra pode ser maior que o necessário. É por isso que chamamos de abordagem conservadora, quando fazemos esta substituição nas fórmulas do intervalo de confiança. 68 Inferˆencia Estat´ıstica Matuda, N. S. & Winter, E. M. W. Exemplo 4.8. L´ıderes estudantis de uma faculdade querem conduzir uma pesquisa para determinar a propor¸c˜ao p de estudantes a favor de uma mudan¸ca no hor´ario de aulas. Como ´e imposs´ıvel entrevistar todos os 2000 estudantes em um tempo razo´avel, decide-se fazer uma amostragem aleat´oria simples dos estudantes: a) Determinar o tamanho de amostra (n´umero de estudantes a serem entrevistados) necess´ario para estimar p com um erro m´aximo de 0,05 e n´ıvel de confian¸ca de 95%. Assumir que n˜ao h´a nenhuma informa¸c˜ao a priori dispon´ıvel para estimar p. Temos que e = 0, 05 e que z = 1, 96. Como n˜ao h´a informa¸c˜ao a priori sobre p, segue que n = z2 p(1 − p) e2 = 1, 962 0, 25 0, 052 = 384, 16 ≈ 385. Para estimar o propor¸c˜ao de estudantes favor´aveis a mudan¸ca de hor´ario, com um erro m´aximo de 0,05 a 95% de confian¸ca, ´e necess´aria uma amostra de 385 estudantes. b) Os l´ıderes estudantis tamb´em querem estimar a propor¸c˜ao de p de estudantes que sentem que a representa¸c˜ao estudantil atende adequadamente as suas necessidades. Com um erro m´aximo de 7% e n´ıvel de confian¸ca de 95%, determinar o tamanho de amostra para estimar p. Utilizar a informa¸c˜ao de uma pesquisa similar conduzida a alguns anos, quando 60% dos estudantes acreditavam que estavam bem representa- dos. n = z2 p(1 − p) e2 = 1, 962 0, 60(1 − 0, 60) 0, 072 = 188, 16 ≈ 189. Para estimar o propor¸c˜ao de estudantes que se consideram bem representados, ´e necess´aria uma amostra de 189 estudantes; considerando um erro m´aximo de 0,07 a 95% de confian¸ca. c) Qual o tamanho de amostra adequado para atingir ambos os objetivos da pesquisa? Para atingir ambos os objetivos da pesquisa, devemos considerar a maior amostra, que ´e a de 385 estudantes. Quando N (tamanho da popula¸c˜ao) ´e conhecido, o valor de n para estimar µ e p pode ser corrigido (n∗): n∗ = Nn N + n. Notamos que se N ´e muito maior que n, ent˜ao n∗ ´e aproximadamente n. Exemplo 4.9. Determinar o tamanho de amostra necess´ario para estimar o volume m´edio de vendas de carros novos nacionais entre as concession´arias, fixando um n´ıvel de confian¸ca de 99% para um erro de estima¸c˜ao igual a 1 autom´ovel. ´E conhecido que existem 200 concession´arias na regi˜ao em estudo. Em uma pesquisa similar feita 5 anos antes, o desvio-padr˜ao amostral foi igual a 2,8. Supor que foi feita uma amostragem aleat´oria simples. 4.9. Determinação do Tamanho da Amostra (n) 69 Temos que e = 1 e para um nível de confiança igual a 99% temos que z = 2, 58. Usaremos a estimativa a priori para \sigma, substituindo-o na fórmula por 2,8. Assim, n = \left(\frac{z \sigma}{e}\right)^2 = \left(\frac{2, 58 \cdot 2, 8}{1}\right)^2 = 52, 19 \approx 53. Com a informação de que há N = 200, podemos corrigir o valor de n n^* = \frac{Nn}{N + n} = \frac{200 \cdot 53}{200 + 53} = \frac{10600}{253} = 41, 90 \approx 42. Portanto, é necessário selecionar 42 concessionárias de automóveis, para estimar o número médio de carros vendidos, com um erro máximo de 1 automóvel a 99% de confiança. Cap´ıtulo 5 Testes de Hip´oteses 5.1 Introdu¸c˜ao Os testes estat´ısticos s˜ao regras de decis˜oes, vinculadas a um fenˆomeno da popula¸c˜ao, que nos possibilitam avaliar, com o aux´ılio de uma amostra, se determinadas hip´oteses (suposi¸c˜oes, conjecturas, algo qualquer que um pesquisador esteja estabelecendo) podem ser rejeitadas, ou n˜ao. No campo da Inferˆencia Estat´ıstica, a busca por respostas acerca de certas carac- ter´ısticas de uma popula¸c˜ao estudada ´e de fundamental importˆancia. Apenas com base nessas caracter´ısticas ´e que se devem estabelecer regras e tomar decis˜oes sobre qualquer hip´otese formulada no que se refere `a popula¸c˜ao. Dessa forma, escolhida uma vari´avel X e colhida uma amostra aleat´oria da popula¸c˜ao, podemos estar interessados em inferir a respeito de alguns de seus parˆametros (m´edia, variˆancia e propor¸c˜ao, por exemplo) e, tamb´em, sobre o comportamento da vari´avel (a sua distribui¸c˜ao de probabilidade). A rea- liza¸c˜ao de testes de hip´oteses nos fornece meios para que possamos, com determinado grau de certeza, concluir se os valores dos parˆametros ou mesmo a distribui¸c˜ao associados `a popula¸c˜ao considerada, podem represent´a-la de forma satisfat´oria. Nesse contexto, temos os Testes Param´etricos, vinculados a estima¸c˜ao dos valores dos parˆametros e os Testes de Aderˆencia, associados `a busca da distribui¸c˜ao de X. Na verdade, como veremos nos exem- plos do item 5.3, quando realizamos Testes Param´etricos, esses est˜ao intimamente ligados aos Testes de Aderˆencia. Pois, para se obter a “determinada certeza” citada, ´e necess´ario que saibamos qual a distribui¸c˜ao de probabilidade que melhor se ajusta `as estimativas observadas por interm´edio das amostras. A maior parte das ciˆencias se utiliza da t´ecnica Estat´ıstica denominada Teste de Hip´oteses. Podemos citar algumas suposi¸c˜oes: o dado de certo cassino ´e honesto; a propaganda de um produto vinculada na televis˜ao surtiu o efeito desejado; uma ra¸c˜ao desenvolvida para certo animal proporcionou um ganho maior de peso do que aquela j´a utilizada h´a anos; vale a pena trocar as m´aquinas desta ind´ustria; qual medicamento ´e mais eficaz no tratamento de certa doen¸ca; a metodologia empregada na educa¸c˜ao infantil est´a associada ao aprendizado; o candidato A est´a com uma inten¸c˜ao de votos superior ao 70 5.2. Conceitos Estat´ısticos dos Testes de Hip´oteses 71 seu advers´ario; o n´umero de acidentes por dia na BR-116 segue uma distribui¸c˜ao de Pois- son; o tempo de vida de uma marca de lˆampada pode ser representado pela distribui¸c˜ao Exponencial. E assim, poder´ıamos citar in´umeras suposi¸c˜oes dentro de todas as ´areas do conhecimento. Vejamos, agora, algumas terminologias e conceitos adotados na ´area dos Testes de Hip´oteses Param´etricos. 5.2 Conceitos Estat´ısticos dos Testes de Hip´oteses 5.2.1 Hip´oteses estat´ısticas param´etricas As hip´oteses param´etricas s˜ao suposi¸c˜oes sobre os valores dos parˆametros de certa popula¸c˜ao. Tipos de hip´oteses 1. Hip´otese de Nulidade (Nula): ´e a hip´otese que est´a sendo testada. Colhida uma amostra a fim de inferirmos a respeito do valor param´etrico (θ), obtemos a estimativa do parˆametro (ˆθ) por interm´edio de uma Estimador. Da´ı, por meio do C´alculo de Probabilidades, cujos resultados s˜ao obtidos em fun¸c˜ao da Hip´otese Nula (H0), tomamos a decis˜ao de rejeitar, ou n˜ao, H0. Nessa decis˜ao, ´e verificada se a diferen¸ca observada entre o valor suposto na Hip´otese Nula e a estimativa do parˆametro, θ−ˆθ, ´e significativa, ou n˜ao. Veja que quanto menor a diferen¸ca, maior ser´a a probabilidade de n˜ao rejeitarmos H0. Assim, dizemos que (θ− ˆθ) n˜ao foi significativa, concluindo-se que tal diferen¸ca ocorreu por acaso. Caso contr´ario, devemos rejeitar H0 e concluir que a diferen¸ca foi suficientemente grande para n˜ao ter, provavelmente, ocorrido ao acaso. Vejamos o exemplo: Ser´a que a altura m´edia (θ = µ) dos alunos da UFPR ´e de 1,71 m? Resumidamente, a Hip´otese Nula poderia ser descrita desta forma: H0 : µ = 1, 71 m Para respondermos a essa quest˜ao, dever´ıamos colher uma amostra de tamanho n e obtermos a estimativa da m´edia (ˆθ = ¯Xobs), fun¸c˜ao da amostra, e, posteriormente verificarmos a diferen¸ca entre µ e ¯xobs. Caso H0 fosse rejeitada, concluir´ıamos que a diferen¸ca observada foi significativa e que n˜ao se deveu ao acaso. Logo, a m´edia verdadeira (µ) assume um outro valor, desde que diferente de 1,71 m. E, conseq¨uen- temente, esses poss´ıveis valores pertenceriam `a Hip´otese Alternativa. 2. Hip´otese Alternativa (Ha ou H1): ´e uma hip´otese que, necessariamente, difere de H0. Assim, nesse contexto, ter´ıamos: H1 : µ ̸= 1, 71 m ou H1 : µ < 1, 71 m ou H1 : µ > 1, 71 m. 72 Testes de Hip´oteses Camarinha Filho, J. A. 5.2.2 Testes S˜ao regras de decis˜ao acerca da rejei¸c˜ao ou n˜ao rejei¸c˜ao de uma determinada Hip´otese Nula. Tipos de testes Dependendo do interesse da pesquisa, podemos estabelecer testes espec´ıficos con- forme o objetivo do pesquisador. Por exemplo: 1. Teste Bilateral (Bicaudal): H0 : µ = 1, 71 m vs H1 : µ ̸= 1, 71 m. Note que o objetivo desse teste ´e decidir se a m´edia populacional n˜ao difere de 1, 71 m, n˜ao importando se µ ser´a maior ou menor do que 1,71 m. 2. Teste Unilateral `a Direita: H0 : p = 0, 30 vs H1 : p > 0, 30. Esse teste tem por finalidade verificar se, por exemplo, a propor¸c˜ao verdadeira n˜ao s´o difere de 0,30, mas, tamb´em, necessariamente, se p ´e maior do que 0,30. Ob- jetivamente, poder´ıamos citar uma pesquisa que visa verificar se um determinado candidato a Reitor, conseguiu aumentar sua inten¸c˜ao de votos ap´os a realiza¸c˜ao de um debate com seu advers´ario realizado pela televis˜ao. 3. Teste Unilateral `a Esquerda H0 : σ2 = 5 vs H1 : σ2 < 5. Nesse contexto, visamos estabelecer uma Regra de Decis˜ao para verificarmos se a variabilidade ´e menor do que 5. Pois, por exemplo, se for menor do que 5, n˜ao seria recomendado investirmos num melhoramento gen´etico. 5.2.3 Tipos de erros cometidos ao se tomar uma decis˜ao Ao trabalharmos com amostras para tomarmos decis˜oes, ´e bem prov´avel incorrer em erros. A esses erros chamamos de Erro Tipo I (de 1a Esp´ecie) e Erro Tipo II (de 2a Esp´ecie). E `as probabilidades associadas a eles denotaremos por α e β, respectivamente. A Tabela 5.1 ilustra tais id´eias: Tabela 5.1: Erros cometidos na tomada de decis˜ao. Realidade Decis˜ao H0 ´e Verdadeira H0 ´e Falsa Rejeitar H0 Erro Tipo I Decis˜ao Correta N˜ao Rejeitar H0 Decis˜ao Correta Erro tipo II Portanto, as probabilidades ficariam: α = P( Rejeitar H0|H0 ´e Verdadeira) e β = P(N˜ao Rejeitar H0|H0 ´e Falsa). Na realiza¸c˜ao de um Teste de Hip´oteses levamos em considera¸c˜ao essas duas probabilidades. 5.2. Conceitos Estat´ısticos dos Testes de Hip´oteses 73 Caso utilizarmos apenas α, como ´e usual, estar´ıamos realizando um Teste de Significˆancia. O valor de β est´a associado ao poder do teste. Pois, a Fun¸c˜ao Poder do teste ´e dada por 1 − β(µ∗). Sendo µ∗ o valor verdadeiro, por´em, desconhecido da m´edia populacional. Espera-se que quanto menor o valor de β, maior poder ter´a o teste. Se realizarmos um Teste de Hip´oteses, esse valor dever´a ser considerado na an´alise. Pois, como β = P(N˜ao Rejeitar H0|H0 ´e Falsa), β dependeria do valor da m´edia verdadeira para sua obten¸c˜ao, visto que o c´alculo dessa probabilidade est´a condicionada a H0 ser falsa. Portanto, ter´ıamos de obter tal probabilidade para valores de µ diferentes de 1,71 m. Detalhes desse c´alculo ser˜ao vistos no Exemplo 5.2 do 5.3. 5.2.4 Regi˜ao cr´ıtica (RC) e regra de decis˜ao (RD) Quando efetuamos um Teste de Hip´oteses (ou de Significˆancia), a probabilidade α, tamb´em denotada por n´ıvel de significˆancia, estar´a intimamente ligada `a Regra de Decis˜ao do Teste. Logo, ao estabelecermos α, podemos construir uma regi˜ao onde devemos rejeitar H0. Portanto, sob H0, essa regi˜ao, chamada de Regi˜ao Cr´ıtica (ou de Regi˜ao de Rejei¸c˜ao), dever´a conter todas as poss´ıveis amostras raras de ocorrerem. Dessa forma, escolhido um α = 0, 01, dizemos que qualquer amostra cuja probabilidade de ocorrˆencia for menor do que 0,01, nos levar´a `a decis˜ao de rejeitar H0. Pois, sob a referˆencia adotada (α), tal amostra ser´a considerada rara (probabilidade< 0,01) se admitirmos H0 como verdadeira. Devemos notar, ent˜ao, que existem amostras que podem ser coletadas, de certa popula¸c˜ao, que nos fornecem resultados bem diferentes dos esperados (sob H0), que pertencem `a Regi˜ao Cr´ıtica, por´em, com probabilidades bastante baixas a ponto de concluirmos que se tratam de amostras raras. Da´ı, a conclus˜ao mais plaus´ıvel ´e a de rejeitarmos a Hip´otese Nula. Note, ainda, que se H0 fosse falsa, a probabilidade dessas amostras ocorrerem poderia ser alta. Esse conceito ser´a tratado, detalhadamente, na discuss˜ao da Tabela 5.6. Tomando-se novamente o exemplo da altura m´edia dos alunos da UFPR, criar´ıamos uma Regra de Decis˜ao com base em α = 0, 01 e H1 : µ < 1, 71 m. Assim, poder´ıamos estabelecer a seguinte regra: Caso coletarmos uma amostra cujo resultado (¯xobs) for menor do que 1, 67 m, decidiremos por rejeitar H0, pois a probabilidade disso ocorrer ´e menor do que α = 0, 014. Ou seja, sob a referˆencia (α = 0, 01), a amostra coletada dever´a ser vista como rara se a Hip´otese Nula for verdadeira (H0 : µ = 1, 71). Conseq¨uentemente, seria mais conveniente optarmos em dizer que µ < 1, 71 m. Nesse contexto, vejamos no item 5.2.5 algumas etapas de um Teste de Significˆancia. 5.2.5 Procedimentos para realiza¸c˜ao de um teste de significˆancia 1. Estabelecer as Hip´oteses Nula e Alternativa; 2. Identificar a Distribui¸c˜ao Amostral associada ao Estimador e obter a Estimativa do Parˆametro; 74 Testes de Hip´oteses Camarinha Filho, J. A. 3. Fixar um valor para o N´ıvel de Significˆancia (α) e obter a estat´ıstica de teste do Parˆametro por meio da Estat´ıstica do Teste; 4. Construir a Regi˜ao Cr´ıtica (RC) com base na Hip´otese Alternativa e no valor de α e estabelecer a Regra de Decis˜ao (RD); 5. Concluir o Teste: Se a Estimativa do Parˆametro pertencer `a Regi˜ao Cr´ıtica, rejeita- mos a Hip´otese Nula. Caso contr´ario, n˜ao. Com a finalidade de ilustramos tais conceitos, vejamos alguns exemplos. 5.3 Exemplos Ser˜ao vistos dois exemplos com a finalidade de explicar, detalhadamente, as id´eias sobre os Testes de Hip´oteses. S˜ao eles: Exemplo 5.1. Imagine que seu amigo Jos´e lhe diga o seguinte: Possuo em meu bolso do palet´o 16 bolas de gude, sendo que 10 s˜ao brancas (B), 4 s˜ao verdes (V) e 2 s˜ao amarelas (A). Vocˆe acreditaria nessa afirma¸c˜ao? Quais seriam os meios que vocˆe disporia para verificar a verdade? Formalmente, poder´ıamos estabelecer, primeiramente, as seguintes hip´oteses: H0: Jos´e n˜ao est´a mentindo versus H1: Jos´e est´a mentindo, bem como fixar um valor para α, por exemplo 0,10. E, posteriormente, criar algumas alternativas para uma tomada de decis˜ao. A primeira delas seria, simplesmente, esvaziar o bolso do Jos´e e, conseq¨uentemente, tomar uma decis˜ao. Como, nessa situa¸c˜ao, foram observadas todas as bolas, a sua decis˜ao ser´a absolutamente correta. Ou seja, n˜ao restar´a d´uvida (incerteza) em rela¸c˜ao `a afirma¸c˜ao de Jos´e, caso decid´ıssemos rejeitar H0. Por´em, em Estat´ıstica, nem sempre isso ´e poss´ıvel, ou por inacessibilidade de toda popula¸c˜ao, ou pela impossibilidade desse procedimento ou, ainda, por tal procedimento ser invi´avel, ou seja, n˜ao possuir um sentido pr´atico. Como exemplo, podemos citar a verifica¸c˜ao do tempo de vida de certa marca de lˆampada. Obviamente, n˜ao faria o menor sentido amostrarmos todas as lˆampadas de uma linha de produ¸c˜ao, pois assim n˜ao restaria nenhuma delas para a venda. E o resultado desse procedimento seria desastroso. Nesse contexto, uma segunda alternativa nos levaria `a coleta de uma amostra de tamanho n e observar´ıamos o resultado e, assim, tomar´ıamos uma decis˜ao. Portanto, vocˆe poderia, por exemplo, retirar 2 bolas (n = 2) do bolso do Jos´e, sem reposi¸c˜ao. Imaginemos, conforme a Tabela 5.2, algumas ocorrˆencias, implica¸c˜oes e poss´ıveis decis˜oes: Tabela 5.2: Algumas ocorrˆencias, implica¸c˜oes e decis˜oes ap´os a retirada da amostra. Ocorrˆencia Implica¸c˜ao Decis˜ao I 1 Bola Branca e 1 Bola Preta Afirma¸c˜ao Falsa Jos´e mentiu II 2 Bolas Brancas Afirma¸c˜ao Poss´ıvel Jos´e, provavelmente, n˜ao mentiu III 2 Bolas Amarelas Afirma¸c˜ao Poss´ıvel Jos´e, provavelmente, mentiu 5.3. Exemplos 75 Note que, a ocorrˆencia I ´e imposs´ıvel, pois n˜ao existem bolas pretas. Por´em, ´e imprescind´ıvel que notemos que a ocorrˆencia I s´o se torna inconsistente se a afirma¸c˜ao de Jos´e for verdadeira. Afirma¸c˜ao essa, que transformamos em hip´otese estat´ıstica (H0: Jos´e n˜ao est´a mentindo) a fim de criar uma referˆencia para a tomada de decis˜oes. Note, ent˜ao, que a ocorrˆencia I, na verdade, ´e poss´ıvel, tanto ´e que ela ocorreu. Mas, a probabilidade dela ter ocorrido dado que H0 ´e verdadeira, ´e igual a zero. Da´ı, a op¸c˜ao em rejeitar a hip´otese. Jos´e certamente mentiu. Veja, tamb´em, que o fato de ter ocorrido I, implica em v´arias outras possibilidades de ocorrˆencia caso fossem coletadas outras amostras (n=2). Mas, isso n˜ao nos importaria mais, visto que a decis˜ao j´a foi tomada com uma certeza absoluta. Analisemos, agora, as ocorrˆencias II e III: Nunca perca de vista que, tanto a ocorrˆencia II quanto a ocorrˆencia III s´o se tornam poss´ıveis sob a afirma¸c˜ao de Jos´e (sob H0). Ou seja, se Jos´e afirma que existem 10 bolas brancas e 2 amarelas, ´e claramente vi´avel que se retirem 2 bolas brancas ou 2 amarelas dentre as 16. Agora, a diferen¸ca fundamental para a ocorrˆencia I ´e que nessas outras ocorrˆencias a tomada de decis˜ao, sobre a honestidade de Jos´e, vem carregada de um grau de incerteza. Portanto, admitindo-se que cada bola possui a mesma probabilidade de pertencer `a amostra, podemos, ent˜ao, obter as probabilidades de ocorrˆencia para todos os poss´ıveis eventos associados a todas as amostras de tamanho 2. Com base nesse c´alculo de probabilidades verificamos se a hip´otese testada (H0) deve, ou n˜ao, ser rejeitada. Como podemos ver na Tabela 5.3, as probabilidades, sob a hip´otese de que a afirma¸c˜ao de Jos´e ´e verdadeira, ficariam: Tabela 5.3: Distribui¸c˜ao de probabilidades das poss´ıveis amostras. Amostra AA VV AV AB BV BB Probabilidade 1/120∗ 6/120 8/120 20/120 40/120 45/120 ∗ P (AA) = “2 2 ” “16 2 ” = 1 120 Observe que sob a alega¸c˜ao de Jos´e, todas essas amostras s˜ao poss´ıveis e cada uma delas possui uma determinada chance de ocorrer. Da´ı, caso ocorra a amostra BB, seria plaus´ıvel admitirmos que Jos´e esteja falando a verdade. Pois, a probabilidade associada ao evento BB sob a hip´otese de que Jos´e n˜ao esteja mentindo ´e alta (0,375). Ou seja, se refiz´essemos o experimento 100 vezes, esperar´ıamos que em quase 38 vezes ocorressem 2 bolas brancas. Al´em disso, comparativamente com o n´ıvel de significˆancia adotado (α) esperar´ıamos que as amostras raras ocorressem com freq¨uˆencias inferiores ou iguais a 10 em 100. Logo, a amostra BB n˜ao poderia ser considerada rara. Portanto, por conveniˆencia, com base no c´alculo de probabilidades, ´e melhor que n˜ao rejeitemos a afirma¸c˜ao. Assim, H0 n˜ao deve ser rejeitada e a ocorrˆencia de BB deve ter sido por acaso. Agora, se ocorrer a amostra AA, a decis˜ao deve ser oposta. Pois, a probabilidade desse evento ocorrer ´e 45 vezes menor do que a anterior (0,0083). Assim, se o experimento fosse refeito 120 vezes, em apenas 1 vez esperar´ıamos uma amostra do tipo AA. Freq¨uˆencia essa bem abaixo da 76 Testes de Hip´oteses Camarinha Filho, J. A. referˆencia adotada de 10 em 100. Conseq¨uentemente, conclu´ımos que a amostra AA ´e rara. O que nos induz a pensar que, provavelmente, o Jos´e estaria mentindo. Note que tivemos de tomar uma decis˜ao com base na distribui¸c˜ao de probabilidades das poss´ıveis amostras. Dessa forma, dever´ıamos ter pensado o seguinte: Se admitirmos que Jos´e disse a verdade, o que seria mais f´acil de ocorrer quando retiramos a amostra AA? O Jos´e estar mentindo ou, de fato, termos realmente colhido tal amostra rara? Veja que n˜ao se trata de amizade e sim de possibilidades. Tome sua decis˜ao como base naquilo que foi amostrado, no que realmente aconteceu, baseando-se na distribui¸c˜ao de probabilidades das poss´ıveis amostras. Dessa forma, a Regra de Decis˜ao adotada deve ser a seguinte: Se coletarmos uma amostra e sua probabilidade de ocorrˆencia for menor do que 0,10, concluiremos que se trata de amostra rara e assim devemos rejeitar H0. Caso contr´ario, n˜ao. Veja um resumo dessa id´eia na Tabela 5.4. No momento em que tomamos a decis˜ao de n˜ao rejeitar a Hip´otese Nula quando retiramos a amostra BB, ´e evidente que podemos estar incorretos nessa decis˜ao, uma vez que h´a outras probabilidades envolvidas. E todas elas menores do que 1. A esse tipo de erro, como j´a discutido, chamamos de Erro Tipo II. Assim, imagine que Jos´e estivesse a fim de que tom´assemos uma decis˜ao incorreta. Ele, sabendo desses conceitos, poderia ter colocado em seu bolso apenas bolas brancas. Dessa forma, ele saberia a priori que vocˆe s´o poderia coletar 2 bolas brancas e, conseq¨uentemente, tomar a decis˜ao errada. Outra tomada de decis˜ao incorreta seria vocˆe rejeitar a hip´otese quando ela ´e verda- deira. Assim vocˆe diria que seu amigo mentiu, quando, na realidade, ele disse a verdade. Esse erro ´e denotado por Erro Tipo I, que para esse exemplo estabelecemos sua probabi- lidade em 0,10. A Tabela 5.4 resume as decis˜oes adotadas em fun¸c˜ao de todas as poss´ıveis amostras. Tabela 5.4: Resumo das decis˜oes para o Exemplo 5.1. Decis˜ao Amostra α = 0, 10 α = 0, 05 α = 0, 01 AA Rejeitar H0 Rejeitar H0 Rejeitar H0 AB N˜ao Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 AV Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 BB N˜ao Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 BV N˜ao Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 VV Rejeitar H0 Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 Pela an´alise da Tabela 5.4 podemos tirar algumas conclus˜oes: 1. `A medida que diminu´ımos o N´ıvel de Significˆancia do Teste, torna-se mais dif´ıcil rejeitar a Hip´otese Nula. ´E ´obvio que isso ocorra, pois com α menor, a amostra coletada ter´a uma chance cada vez menor de ser considerada rara; 5.3. Exemplos 77 2. Optamos por rejeitar H0 para a ocorrˆencia de VV com α = 0, 05. Por´em, segundo a Tabela 3, a probabilidade de retiramos essa amostra ´e igual a α. Valor esse que se encontra exatamente no limite de nossa Regra de Decis˜ao. Ent˜ao, intuitivamente, o que dever´ıamos fazer? Naturalmente, a solu¸c˜ao seria repetirmos o experimento k vezes, ou seja, em vez de apenas uma amostra, dever´ıamos colher k amostras. Assim, a fim de tomarmos decis˜oes mais acertadas obter´ıamos uma nova Distribui¸c˜ao Amostral com uma gama bem maior de eventos poss´ıveis, aumentando o poder do Teste, tornando-o melhor. Caso colet´assemos outra amostra (n = 2), ou seja, se refiz´essemos o experimento, ter´ıamos 21 resultados poss´ıveis (21 novas amostras) com suas respectivas probabilidades associadas. Veja alguns resultados e decis˜oes desse novo experimento na Tabela 5.5. Tabela 5.5: Resumo das decis˜oes para o novo experimento. Decis˜ao Amostra Probabilidade α = 0, 10 α = 0, 05 α = 0, 01 (AA,AA) 1/14400 Rejeitar H0 Rejeitar H0 Rejeitar H0 (AA,AB) 40/14400 Rejeitar H0 Rejeitar H0 Rejeitar H0 (AA,AV) 16/14400 Rejeitar H0 Rejeitar H0 Rejeitar H0 . . . . . . . . . . . . . . . (BB,AB) 1800/14400 N˜ao Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 (BB,AV) 720/14400 Rejeitar H0 Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 (BB,BB) 2025/14400 N˜ao Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 (BB,BV) 3600/14400 N˜ao Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 . . . . . . . . . . . . . . . (VV,VV) 36/14400 Rejeitar H0 Rejeitar H0 Rejeitar H0 (AV,BV) 640/14400 Rejeitar H0 Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 (BV,BV) 1600/14400 N˜ao Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 N˜ao Rejeitar H0 Observe na Tabela 5.5 que se a amostra AA j´a era considerada rara, a amostra (AA, AA) se tornou ainda mais. Pois, se refiz´essemos o experimento 14400, esperar´ıamos em apenas 1 vez coletar simultaneamente a amostra AA. Por conseq¨uˆencia, a decis˜ao em rejeitar H0 ´e muito mais segura do que a anterior. Al´em disso, o valor de β = P(N˜ao Rejeitar H0|H0 ´e Falsa) se torna cada vez menor. Lembre-se que decidimos modificar o experimento porque a realiza¸c˜ao de VV nos forneceu uma inseguran¸ca na tomada de decis˜ao. Agora, com o experimento modificado, a coleta da amostra (VV, VV) possui uma probabilidade muito pequena (0,0025), indicando, nesse caso, ser uma amostra rara. Da´ı, a decis˜ao deixa de ser insegura. Nesse contexto, com base em seus conhecimentos de C´alculo de Probabilidades e Distribui¸c˜oes Amostrais, complete a Tabela 5.5 e, tamb´em, construa uma outra tabela similar `a Tabela 5.5 refazendo o experimento do Exemplo 5.1 trˆes vezes retirando amostras de tamanho 2, em cada uma das vezes, sem reposi¸c˜ao. 78 Testes de Hip´oteses Camarinha Filho, J. A. Finalmente, ´e essencial que notemos que, dependendo da forma como se realiza o experimento, a distribui¸c˜ao de probabilidades das poss´ıveis amostras, sempre utilizada com intuito de se tomar uma decis˜ao em rela¸c˜ao a Hip´otese Nula, se modifica substancialmente. Assim, no experimento inicial, com a retirada de apenas uma amostra (n=2), a amostra BB possu´ıa, como j´a era esperado, a maior probabilidade (0,375) uma vez que t´ınhamos 10 bolas brancas. J´a no experimento modificado com a retirada de duas amostras de tamanho 2, a probabilidade associada `a amostra (BB, BB), mesmo possuindo ainda as mesmas 10 bolas brancas, diminui consideravelmente (0,14). Assim, se modificarmos ainda mais o experimento inicial, repetindo-o, por exemplo quatro vezes, a probabilidade observada de (BB, BB, BB, BB) ficaria aproximadamente em 0,0198. Portanto, rejeitar´ıamos H0 para n´ıveis de significˆancia maiores do que 0,0198. Conseq¨uentemente, mudar´ıamos nossas decis˜oes em rela¸c˜ao aos experimentos anteriores. Exemplo 5.2. Antes de enunciarmos este exemplo, gostar´ıamos de refletir sobre a seguinte pergunta: O valor 167 cm ´e menor do que 171 cm? Obviamente que muitos, talvez a maioria, diriam que sim. Por´em, antes que saibamos como esses resultados foram obtidos, a melhor resposta seria: depende. Vejamos, ent˜ao, as reflex˜oes 1 e 2: 1. Se med´ıssemos as alturas de duas pessoas A e B, da mesma maneira e obtiv´essemos, respectivamente, 167 cm e 171 cm. Concluir´ıamos que A ´e, de fato, menor do que B; 2. Se o interesse for descobrir e comparar a altura m´edia de duas turmas (A e B) da UFPR, poder´ıamos obter essas alturas m´edias de v´arias maneiras, vejamos dois casos: (a) com a coleta das duas popula¸c˜oes, as m´edias obtidas seriam as m´edias verda- deiras, ou seja, os valores param´etricos (µA e µB). Assim, dir´ıamos novamente que 167 cm ´e menor do que 171 cm. (b) coletando-se a popula¸c˜ao de A e uma amostra de B, e obtidas as m´edias µA = 167 cm e ¯xB = 171 cm, n˜ao poder´ıamos afirmar com absoluta certeza que 167 cm ´e menor do 171 cm. Pois, recordando o conceito de Distribui¸c˜ao Amostral, sabemos que ¯X ´e uma vari´avel aleat´oria. Portanto, a P( ¯ X ∈ RC) ´e dependente de uma Distribui¸c˜ao de Probabilidade, conseq¨uentemente, apenas com base no comportamento de ¯X ´e que poder´ıamos decidir se, provavelmente, µA < µB. Assim, se tanto na turma A quanto na B, ou nas duas forem co- letadas amostras, a resposta para a quest˜ao proposta sempre depender´a do comportamento das estimativas das poss´ıveis amostras. Comportamento esse, representado por meio de uma Distribui¸c˜ao de Probabilidades e, portanto, toda decis˜ao a respeito da quest˜ao vir´a acompanhada de um grau de incerteza. A Inferˆencia Estat´ıstica, por interm´edio do Teste de Hip´oteses, visa responder a essa quest˜ao. 5.3. Exemplos Feitas as reflexões, podemos enunciar o Exemplo 5.2: Sabemos que a variável (X) altura dos alunos da Universidade A, local A, segue uma distribuição normal com altura média de 171 cm e desvio padrão de 9 cm. Se recebermos, de uma origem desconhecida, local B, uma amostra de 27 alunos, poderíamos decidir se essa amostra foi retirada da Universidade A ou se o local B possui a mesma média do local A? Admitamos que a população cuja amostra (n=27) foi retirada seja bem representada por uma distribuição normal com desvio padrão igual ao da Universidade A (σ = 9cm). Sabemos da Teoria da Estimação que se X_A ∼ N(171, 9²), então, \bar{X}_A ∼ N(171, 9²/27). Assim, o comportamento das estimativas das médias das possíveis amostras da Universidade A fica bem caracterizada: \bar{X}_A ∼ N(171,3). Supondo que \bar{x}_B = 167 cm, essa estimativa pode ser vista como rara ou não? Como poderíamos, com base na estimativa da média da amostra B, obter uma Regra de Decisão para concluirmos sobre a origem dessa amostra. Enfim, qual conclusão deveríamos tomar? A solução é simples. Assim como no Exemplo 5.1, basta verificar se seria plausível coletarmos do Local A uma amostra de 27 alunos cuja estimativa da altura média fosse de 167 cm. Porém, diferentemente do Exemplo 5.1, a variável X desse exemplo é contínua. Portanto, sendo a probabilidade pontual igual a zero, devemos obter uma probabilidade intervalar. Assim, poderíamos calcular a probabilidade da estimativa da média ser menor ou igual a 167 cm sob H_0, ou seja, supondo que μ = 171 cm, P(\bar{x}_B ≤ 167|μ = 171). Assim, estaríamos contemplando no cálculo dessa probabilidade valores iguais a 167 cm, mas, também, valores com médias inferiores a 167 cm. Dessa forma, comparando-se com a Regra de Decisão adotada, podemos concluir se essas estimativas são raras. Com o auxílio da transformação da variável X na Normal Padronizada, Z N(0, 1), calcularíamos a probabilidade dessa forma: P(\bar{x}_B ≤ 167|μ = 171) = P \left[ Z ≤ \frac{\bar{X} − μ}{σ/√n} \right] = P\left[ Z ≤ \frac{167 − 171}{9/√27} \right] = P(Z ≤ −2,31) = 0,0105. Graficamente, teríamos (Figura 5.1): Com base nessa probabilidade, chamada de Nível Descritivo (P-valor) do Teste, podemos tomar uma decisão da seguinte forma: se acharmos que essa probabilidade é baixa, concluímos que: • a amostra deve ser rara; • deveríamos rejeitar a Hipótese Nula de que os 27 alunos pertencem à Universidade A; • μ_A deve ser superior a μ_B; • a diferença observada (μ_A − \bar{x}_B) = 4 cm, provavelmente, foi significativa; 80 Testes de Hipóteses Camarinha Filho, J. A. Figura 5.1: Área hachurada relativa ao P-Valor do teste • a diferença observada não deve ter ocorrido por acaso; • se refizéssemos o experimento inúmeras vezes, esperaríamos que na maioria delas as estimativas vindas das possíveis amostras (n=27) do local B, nos fornecesse valores inferiores a 171cm, indicando, portanto, uma tendência. Formalmente, poderíamos realizar o teste segundo as etapas do item 5.2.5. Assim, 1. Estabelecer as Hipóteses Nula e Alternativa; { H_0 : μ = 171 cm H_1 : μ < 171 cm } 2. Identificar a Distribuição Amostral associada ao Estimador e obter a Estimativa do Parâmetro; \bar{X}_A ∼ N(171,3) e \bar{x}_B = 167 cm 3. Fixar um valor para o Nível de Significância (α) e obter a estatística de teste do Parâmetro; α = 0,05 e \hat{z}_{calculado} = \frac{\bar{x} − μ}{σ/√n} = −2,31 5.3. Exemplos 81 4. Construir a Regi˜ao Cr´ıtica com base na Hip´otese Alternativa e no valor de α; zte´orico = −1, 6449 ou ¯xcr´ıtico = 168, 2 cm Regra de decis˜ao: Se a Estimativa do Parˆametro pertencer `a Regi˜ao Cr´ıtica, rejei- tamos a Hip´otese Nula. Caso contr´ario, n˜ao. Ou seja, se zcalculado < zte´orico, ou se ¯xB < M168, 2, rejeitamos H0. 5. Conclus˜ao: Como Zcalculado = −2, 31 < ZTe´orico = −1, 6449 ou ¯xB = 167 cm < 168, 2 cm. Decidimos por rejeitar H0. A obten¸c˜ao do P-valor, essencial para a tomada de decis˜ao, est´a intimamente ligado ao comportamento da distribui¸c˜ao das estimativas obtidas com o aux´ılio das poss´ıveis amostras coletadas da popula¸c˜ao. Esse comportamento pode ser descrito pela fun¸c˜ao de densidade de probabilidade (f.d.p) associada `a distribui¸c˜ao amostral dessas estimativas. Por´em, essa f.d.p. s´o poder´a ser perfeitamente caracterizada sob a referˆencia da Hip´otese Nula. Ent˜ao, os valores param´etricos que a caracterizam est˜ao contidos em H0. Dessa forma, dependendo dos valores param´etricos supostos em H0, obteremos P-valores distintos e, em conseq¨uˆencia, poderemos tomar decis˜oes diferentes. Para ilustrar tal fato, tomemos o Exemplo 5.2 como referˆencia e imaginemos algumas situa¸c˜oes em que σ, µ0 e n s˜ao modificados. As Decis˜oes e as Regras de Decis˜ao, em fun¸c˜ao de ¯xobs = 167, podem ser vistas na Tabela 5.6: Tabela 5.6: Algumas tomadas de decis˜ao e regras de decis˜ao conforme a hip´otese nula, o n´ıvel de significˆancia e a distribui¸c˜ao de probabilidade. Decis˜ao(¯xobs = 167) Regra de decis˜ao para rejeitar H0 Situa¸c˜ao P-valor α = 0, 01 α = 0, 05 α = 0, 10 α = 0, 01 α = 0, 05 α = 0, 10 Exemplo 5.2 0,0105 NR R R Se ¯ X < 166, 97 Se ¯ X < 168, 2 Se ¯ X < 168, 8 (µ = 171; σ = 9) I µ = 170 0,0416 NR R R Se ¯ X < 166 Se ¯ X < 167, 2 Se ¯ X < 167, 8 σ = 9 II µ = 170 0,06 NR NR R Se ¯ X < 165, 5 Se ¯ X < 166, 8 Se ¯ X < 167, 5 σ = 10 III µ = 170 0,0047 R R R Se ¯ X < 168, 7 Se ¯ X < 169, 1 Se ¯ X < 169, 3 σ = 6 IV µ = 168 0,0047 R R R Se ¯ X < 167, 1 Se ¯ X < 167, 4 Se ¯ X < 167, 5 σ = 2 V µ = 173 0,0047 R R R Se ¯ X < 167, 6 Se ¯ X < 169, 2 Se ¯ X < 170, 0 σ = 12 VI µ = 172 0,1056 NR NR NR Se ¯ X < 162, 7 Se ¯ X < 165, 4 Se ¯ X < 166, 87 σ = 12 De maneira geral, de acordo com a Hip´otese Alternativa, sabemos que a Regi˜ao Cr´ı- tica situa-se nas caudas da distribui¸c˜ao de densidade. Assim, para a distribui¸c˜ao normal padr˜ao, valores muito altos ou muito baixos da estat´ıstica Zcalculado indicariam uma ten- dˆencia de rejei¸c˜ao de H0 : µ = µ0 . Dessa forma, pelo estudo dessa Estat´ıstica, notamos que |¯x − µ0|, σ e n s˜ao os fatores que contribuem para a decis˜ao em se rejeitar, ou n˜ao, H0. Logo, verificamos que: 82 Testes de Hip´oteses Camarinha Filho, J. A. • Um aumento na diferen¸ca observada, ¯x − µ0, contribuir´a na tendˆencia em se rejeitar H0; • Um aumento na variabilidade dos dados, σ, contribuir´a para a n˜ao rejei¸c˜ao de H0; • Um aumento no tamanho da amostra, n, contribuir´a para a rejei¸c˜ao de H0. Nesse contexto, comparando-se o Exemplo 5.2 com a Situa¸c˜ao I, da Tabela 5.6, notamos que, embora as decis˜oes sejam as mesmas para ¯x = 167, pela Regra de Decis˜ao adotada, o valor de ¯xobs do Exemplo 5.2, com α = 0, 01, est´a praticamente no limite da Regi˜ao Cr´ıtica, ou seja, quase rejeitamos H0, o que poderia nos causar uma d´uvida maior na decis˜ao em compara¸c˜ao `a Situa¸c˜ao I. Veja que o ´unico fator modificado nesses dois casos foi a suposi¸c˜ao em torno da m´edia. Dessa forma, a diferen¸ca observada, |¯x − µ0|, no Exemplo 5.2 ´e superior `a diferen¸ca para a Situa¸c˜ao I, 4 contra 3, respectivamente. Da´ı, ´e intuitivo pensar que quanto mais distante se encontrar a estimativa da m´edia,¯xobs , do valor suposto em H0, µ0, maior ser´a a tendˆencia em se rejeitar H0. Agora, se compararmos a Situa¸c˜ao I com a II, verificamos que apenas o fator variabilidade, σ, foi alterado. O aumento de σ de 9 para 10, acarretou numa mudan¸ca na decis˜ao acerca de H0. Passamos a n˜ao rejeitar H0 quando a variˆancia aumentou. ´E evidente que isso poderia acontecer, pois a fun¸c˜ao de probabilidade tornou-se mais platic´urtica, portanto com caudas menos densas, possuindo, assim, uma quantidade maior de amostras de tamanho 27, cujas estimativas da m´edia resultassem em valores menores do que 167 cm. Essa id´eia fica, de fato, evidenciada pela observa¸c˜ao das Regras de Decis˜ao, que indicam, para um mesmo n´ıvel de significˆancia, valores sempre inferiores de para a Situa¸c˜ao II. Ou seja, para α = 0, 05, temos, para a Situa¸c˜ao I, 5% das poss´ıveis amostras com estimativas da m´edia inferiores a 167,2 cm e para a Situa¸c˜ao II temos 5% com valores menores do que 166,8 cm. Nesse contexto, note que na Situa¸c˜ao III diminu´ımos ainda mais o valor de σ. Logo, ´e de se esperar que a estimativa, ¯xobs = 167 cm, seja mais representativa comparativamente com as situa¸c˜oes anteriores, pois n e µ0 permaneceram os mesmos. Assim, a diferen¸ca observada,|¯x − µ0| = 3, tamb´em ser´a mais representativa para a Situa¸c˜ao III. Embora essa diferen¸ca seja a mesma para as trˆes situa¸c˜oes, esperamos que a diferen¸ca associada `a Situa¸c˜ao III, n˜ao tenha ocorrido por acaso, indicando, portanto, uma tendˆencia de que, independentemente da amostra coletada, esperamos que na grande maioria das coletas, ¯xobs seja inferior a 170 cm. Quando isso ocorre, dizemos que a diferen¸ca foi significativa. A interpreta¸c˜ao seria an´aloga a essa se o tamanho da amostra fosse aumentado e os demais fatores permanecessem constantes. Na Situa¸c˜ao II, se colet´assemos in´umeras amostras, v´arias delas forneceriam esti- mativas menores do que 170 cm e muitas outras resultariam em valores superiores a 170 cm, implicando, assim, que a diferen¸ca deve ter ocorrido por acaso, n˜ao havendo uma tendˆencia. Dessa forma, n˜ao seria conveniente decidirmos que µ < 170, e sim, concluirmos que a diferen¸ca n˜ao foi grande o suficiente (n˜ao foi significativa) a ponto de descartarmos H0. Logo, µ poderia ser 170 cm. Por outro lado, por se tratar de amostragem, tamb´em 5.3. Exemplos 83 n˜ao poder´ıamos afirmar que µ = 170. Por´em, dever´ıamos afirmar que provavelmente µ n˜ao ´e menor do que 170 cm. Ao compararmos as situa¸c˜oes III, IV e V, verificamos que os P-valores s˜ao os mesmos. Portanto as decis˜oes s˜ao rigorosamente as mesmas. Por´em, note que, pelas Regras de Decis˜ao adotadas, os valores de ¯xcr´ıtico s˜ao bem diferentes para essas trˆes situa¸c˜oes. Veja que na Situa¸c˜ao IV, quase rejeitamos H0 para α = 0, 01, pois ¯xcr´ıtico = 167, 1 e ¯xobs = 167, resultando numa diferen¸ca de apenas 0,1 cm. Ao contr´ario da Situa¸c˜ao III, cuja diferen¸ca foi de 1,7 cm. Por´em, teoricamente, essa observa¸c˜ao est´a equivocada, pois, apenas poder´ıamos ter essa impress˜ao porque as diferen¸cas s˜ao aparentemente muito distintas. Mas, ´e imprescind´ıvel notarmos que, tanto essas diferen¸cas quanto os intervalos associados a elas, embora bem diferentes, s˜ao equivalentes uma vez que suas distribui¸c˜oes s˜ao distintas. Assim, dever´ıamos verificar que, tanto no intervalo 167 < ¯XIII < 168, 7, 1 quanto no intervalo 167 < ¯XIV < 167, 1, h´a o mesmo n´umero de poss´ıveis amostras (n = 27). Ou seja, P(167 < ¯XIII < 168, 7) = P(167 < ¯XIV < 167, 1) = 0, 053, pois ¯XIII ∼ N(170; 62/ √ 27) e ¯XIV ∼ N(168; 22/ √ 27). Assim, se dissermos que quase rejeitamos H0 na Situa¸c˜ao IV, devemos dizer o mesmo para a Situa¸c˜ao III. Al´em disso, note que embora a suposi¸c˜ao para a Situa¸c˜ao IV ´e de µ = 168 e para a Situa¸c˜ao V seja de µ = 173, as decis˜oes tamb´em s˜ao as mesmas. Ainda que as diferen¸cas observadas sejam de 1 cm e de 6 cm, respectivamente, n˜ao podemos nos esquecer que o desvio padr˜ao ´e tamb´em outro fator respons´avel pela tomada de decis˜ao. Logo, notamos que o desvio padr˜ao da Situa¸c˜ao IV ´e seis vezes menor, implicando, portanto, em estimativas (¯xobs) bastante pr´oximas de µ0, caso H0 seja verdadeira. Dessa forma, ´e de se esperar que as diferen¸cas observadas na Situa¸c˜ao III estejam mais pr´oximas de zero do que para a Situa¸c˜ao V. Finalmente, na Situa¸c˜ao VI, tem-se um tamanho de amostra trˆes vezes menor do que nas situa¸c˜oes anteriores e, tamb´em, o maior desvio padr˜ao dentre todas as situa¸c˜oes. Note que, mesmo para uma m´edia suposta de 172 cm, encontramos um P-valor que resulta em rejei¸c˜ao para todos os n´ıveis de significˆancia adotados na Tabela 5.6. Comparativamente, vˆe-se que a diferen¸ca observada na Situa¸c˜ao IV ´e de 1 cm e na Situa¸c˜ao VI ´e de 5 cm. Por´em, a primeira diferen¸ca foi significativa, enquanto a segunda, n˜ao. Com vimos, h´a uma probabilidade de n˜ao rejeitar H0 quando ela ´e falsa, ou seja, tomamos a decis˜ao de que µ = µ0 quando, na verdade, n˜ao ´e. Obt´em-se essa probabilidade calculando-se β =P(N˜ao Rejeitar H0|H0 ´e Falsa). Veja que se n˜ao rejeitamos H0, decidimos que µ = µ0, portanto β ser´a calculado em fun¸c˜ao de µ = µ0, ou seja, em fun¸c˜ao de ¯X ∼ N(µ0, σ2/n) . Por´em, tamb´em para obtermos β ´e necess´ario que seja escolhido um outro valor para µ, uma vez que H0 ´e falsa, por exemplo, µ = µ∗ = 169 cm. Portanto, para o Exemplo 5.2, ter´ıamos, para α = 0, 05: 84 Testes de Hip´oteses Camarinha Filho, J. A. β = P(N˜ao RejeitarH0|H0 ´e Falsa) = P( ¯Xobs > ¯Xcr´ıtico|µ∗ = 169) = P[Z > ¯x − 169 σ/√n ] = P[Z > 168, 2 − 169 9/ √ 27 ] = 0, 678 Graficamente, ter´ıamos (Figura 5.2): 171 Xcrit µ* β sob H0 : µ* = µ sob H0 : µ = 171 realidade suposição Figura 5.2: Probabilidade de n˜ao rejeitar H0 quando ela ´e falsa. Note que a express˜ao ¯xobs > ¯xcr´ıtico est´a associada `a Regra de Decis˜ao com base em H0: µ = µ0 = 171. Por isso, ¯xcr´ıtico = 168, 2 para α = 0, 05 (veja Tabela 5.6). Mas, o valor de β, deve ser obtido por meio da probabilidade condicional que depende da m´edia suposta (µ0) e da m´edia real (µ∗). Assim, ao transformarmos ¯xcr´ıtico em zcr´ıtico, devemos primeiramente levarmos em considera¸c˜ao µ0 = 171, para a obten¸c˜ao de ¯xcr´ıtico, e posteriormente µ∗ = 169, para o c´alculo final de β. Vejamos, na Tabela 5.7, com base no Exemplo 5.2, o que ocorreria com o valor de β, criadas novas situa¸c˜oes com mudan¸cas nos valores de α, σ, n e µ∗ e, conseq¨uentemente, com o Poder do Teste, 1 − β(µ∗). 5.4. Alguns Testes Param´etricos mais Utilizados. 85 Tabela 5.7: Valores de 1 − β(µ∗) para o exemplo 5.2 de acordo com os prˆametros α, σ, n e µ∗. α = 0, 01 α = 0, 05 α = 0, 10 Situa¸c˜ao 1 − β(µ∗) I µ∗ = 169;σ = 9; n = 27 0,121 0,322 0,454 II µ∗ = 169;σ = 9; n = 200 0,793 0,933 0,969 III µ∗ = 169;σ = 2; n = 27 0,998 0,9998 ∼= 1 IV µ∗ = 172;σ = 9; n = 27 0,002 0,0013 0,032 V µ∗ = 166;σ = 9; n = 27 0,712 0,893 0,946 VI µ∗ = 169;σ = 9; n = 9 0,048 0,164 0,269 Notamos, claramente, que independentemente da situa¸c˜ao, que `a medida que α cresce, β diminui. Ou seja, o poder do teste aumenta e ter´ıamos uma menor chance de errarmos na decis˜ao de n˜ao se rejeitar H0 quando H0 ´e falsa. Pela compara¸c˜ao das Situa¸c˜oes I, II e III verificamos que, independentemente do valor de α, o poder do teste aumenta consideravelmente de I para III, passando por II. Como µ∗ se manteve constante, os fatores σ e n foram respons´aveis diretos para que o poder se modificasse. Al´em disso, note que o aumento verificado no tamanho da amostra de I para II, de quase 7,5 vezes, contribuiu menos para um aumento do poder, do que a diminui¸c˜ao no desvio padr˜ao de 9 para 2, 4,5 vezes, verificada entre as situa¸c˜oes I e III. Por´em, como n˜ao podemos interferir em µ∗ e σ para a obten¸c˜ao do poder, resta-nos trabalharmos com n. Assim, se quisermos testes mais poderosos, devemos, em princ´ıpio, aumentar o tamanho da amostra. Nesse contexto, compare a Situa¸c˜ao I com a V e posteriormente, reflita sobre as demais situa¸c˜oes consideradas na Tabela 5.7. Vejamos, agora, alguns testes mais utilizados. 5.4 Alguns Testes Param´etricos mais Utilizados. 5.4.1 Teste para a m´edia (µ) com σ2 desconhecida. O objetivo desse teste ´e verificar a hip´otese H0 : µ = µ0. Por´em, como σ2 ´e des- conhecida, podemos estim´a-la, obtendo-se s2, por meio da mesma amostra utilizada para a obten¸c˜ao de ¯Xobs . Portanto, a diferen¸ca fundamental desse teste para o teste descrito na Situa¸c˜ao II do Exemplo 5.2, em que σ2 era conhecido, ´e dada pelo comportamento das estimativas de ¯Xobs vindas das poss´ıveis amostras de tamanho n. Enquanto na Situa¸c˜ao I ¯Xobs seguia uma distribui¸c˜ao Normal (apenas ¯Xobs varia, σ2 ´e constante), na Situa¸c˜ao II, tanto ¯Xobs quanto σ2 variam, logo, outra distribui¸c˜ao dever´a representar esse comporta- mento. Nesse caso, sabemos que a distribui¸c˜ao a t de Student, poder´a se ajustar a essas estimativas. 86 Testes de Hip´oteses Camarinha Filho, J. A. Por´em, `a medida que n cresce, os testes tendem a ser equivalentes, pois os valores de Z e t se aproximam. Dessa forma, os P-valores estar˜ao bastante pr´oximos, para n > 30, e, conseq¨uentemente, a decis˜ao em rela¸c˜ao `a H0 ser´a praticamente a mesma. Exemplo 5.3. Uma m´aquina enche pacotes de caf´e de uma marca X deve complet´a-los, em m´edia, com no m´ınimo 500 g. Se colet´assemos de uma amostra aleat´oria de tamanho 16, a fim de verificarmos se a m´aquina se encontra regulada, e obtiv´essemos uma m´edia igual a 495 g e desvio padr˜ao de 5 g, seria plaus´ıvel concluirmos que a m´edia ´e menor do que 500 g, ou seja, a m´aquina se encontraria regulada? Os dados observados s˜ao: 498,8; 503,1; 497,6; 491,6; 499,3; 491,3; 499.8; 492.1; 498.1; 493.2; 487.2; 489.8; 495.8; 498.2; 498.8; 485.7 Solu¸c˜ao: Devemos proceder ao Teste Param´etrico, segundo as etapas descritas no item 5.2.5. Assim: 1. Estabelecer as Hip´oteses Nula e Alternativa; H0 : µ = 500g vs H1 : µ < 500g 2. Identificar a Distribui¸c˜ao Amostral associada ao Estimador e obter a Estimativa do Parˆametro; Distribui¸c˜ao Amostral: t de Student com 15 g.l.. Pois, n < 30 e σ2 desconhecida; Estimativas: ¯Xobs = 495g e s = 5g 3. Fixar um valor para o N´ıvel de Significˆancia (α) e obter a estat´ıstica de teste do Parˆametro por meio da Estat´ıstica do Teste; N´ıvel de Significˆancia: α = 0, 01 Estat´ıstica de teste: tcalculado = ¯Xobs − µ0 s/√n = 495 − 500 5/ √ 16 = −4, 0 Logo: P-Valor=P(t < −4, 0) = 0, 0006. 4. Construir a Regi˜ao Cr´ıtica (RC) com base na Hip´otese Alternativa e no valor de α e estabelecer a Regra de Decis˜ao (RD); A Regi˜ao Cr´ıtica ´e a ´area hachurada cuja probabilidade ´e igual a α = 0, 01. Observe a Figura 5.3 associada `a RC. Assim, qualquer valor de tcalculado menor do que -2,602, pertencer´a `a RC. Ou seja, RC = {t ∈ ℜ|t < −2, 602}; P(t < −2, 602) = 0, 01. Agora, transformando t = -2,602 em ¯X , obtemos o ¯Xcr´ıtico, assim: −2, 602 = ¯Xcr´ıtico − 500 5/ √ 16 ⇒ ¯xcr´ıtico = 496, 75. 5.4. Alguns Testes Paramétricos mais Utilizados. 87 . Logo, qualquer valor da média estimada, \bar{X}_{obs}, inferior a 496, 75 g, pertencerá à RC. A Figura 5.4 ilustra essa ideia. Regra de Decisão: Se t_{calculado} < t_{crítico} = −2,602, ou se \bar{X}_{obs} < \bar{X}_{crítico} = 495, 75 g, optamos em rejeitar H_0 : μ = 500 g. 5. Concluir o Teste: Como a Estimativa do Parâmetro (\bar{X}_{obs} = 495 g) pertence à Região Crítica, rejeitamos a Hipótese Nula. Dessa forma, podemos concluir que: • a diferença observada (495 − 500) foi significativa; • a estimativa da média, 495 g, não deve ter ocorrido por acaso. Assim, se refizermos o experimento inúmeras vezes, esperaríamos que os valores obtidos para \bar{X}_{obs} fossem, na sua grande maioria inferiores a 500 g, indicando, portanto, uma tendência; • conforme a probabilidade (P-Valor), cujo valor está associado à ocorrência de estimativas da média menores do que 495 g, que \bar{X}_{obs} = 495 g, sob H_0, é raro (veja a Figura 5.5); • Consequentemente, de acordo com essas conclusões, seria plausível admitirmos que μ deve ser menor do que 500 g, indicando que a máquina, provavelmente, esteja desregulada. 88 Testes de Hipóteses Camarinha Filho, J. A. Figura 5.4: Região crítica associada à estimativa da média Figura 5.5: Probabilidade associada à ocorrência de estimativas da média menores do que 495 g. 5.4. Alguns Testes Paramétricos mais Utilizados. 89 5.4.2 Teste para a comparação de duas médias populacionais (μ1 e μ2) O objetivo desse teste é verificar se a diferença suposta (D) em H0 entre μ1 e μ2 pode ser considerada significativa. Ou seja, a Hipótese Nula será dada por: H0 : μ1 - μ2 = D. A fim de procedermos ao teste corretamente, devemos observar, primeiramente, se as amostras (n1 e n2) provenientes das duas populações são independentes ou não. Caso sejam, torna-se primordial a realização de um teste para se verificar se as variâncias diferem. Pois, as metodologias para as realizações dos testes diferem. Logo, as decisões acerca da comparação entre μ1 e μ2 podem diferir. Por outro lado, se as amostras forem dependentes, um outro teste específico deverá ser realizado. Esquematicamente, teríamos: Comparação entre μ1 e μ2 amostras independentes σ1² = σ2² → Teste Comparação entre μ1 e μ2 Amostras Dependentes⇒ Teste σ1² ≠ σ2² → Teste Note, então, que antes de comparamos as duas médias, é fundamental que façamos primeiramente um teste para a verificação da homocedasticidade (H0 : σ1² = σ2²). Assim, poderemos efetuar o teste adequado para testar H0 : μ1 - μ2 = D. Dessa forma, as etapas do Teste para comparamos as duas variâncias, fica: 1. Estabelecer as Hipóteses Nula e Alternativa; H0 : σ1² = σ2² vs H1 : σ1² ≠ σ2² 2. Distribuição Amostral: F de Snedecor, que sob H0, é dada por: F(a,b,α), sendo a e b os números de graus de liberdade do numerador e denominador, respectivamente; Estimativas:s1² e s2² ; 3. Nível de Significância: α = α0 Estatística: Fcalculado = max(s1²,s2²) min(s1²,s2²) . Note que, embora H1 : σ1² ≠ σ2², como o numerador será maior do que o denominador, Fcalculado será maior do que 1. Logo, o teste adotado será o unilateral à direita; 4. Região Crítica (RC): valores de F > Fcrítico = Ftabelado = F(a,b,α0) pertencerão à RC; 5. Concluir o Teste: Se Fcalculado pertencer à Região Crítica, rejeitamos a Hipótese Nula. Caso contrário, não. Feitas as observações, vejamos os testes 5.4.3, 5.4.4 e 5.4.5. 90 Testes de Hip´oteses Camarinha Filho, J. A. 5.4.3 Teste para amostras independentes com σ2 1 = σ2 2. As amostras ser˜ao consideradas independentes (ou n˜ao correlacionadas, ou n˜ao pare- adas, ou n˜ao emparelhadas) se a ocorrˆencia de um valor especifico retirado da popula¸c˜ao 1, n˜ao interferir, ou mesmo n˜ao estiver correlacionado com a observa¸c˜ao colhida da popula¸c˜ao 2. Nesse contexto, observe os casos seguintes: Caso 1) Qual das duas ra¸c˜oes A e B proporcionaria um maior ganho de peso m´edio, em 20 dias, numa determinada ra¸ca de animal? Note que os animais que receber˜ao a Ra¸c˜ao A s˜ao diferentes daqueles que receber˜ao a Ra¸c˜ao B. Veja, tamb´em, que o ganho de peso de um certo animal que recebeu a ra¸c˜ao A n˜ao interferir´a no ganho de peso de qualquer outro animal em que administramos a ra¸c˜ao B. Al´em disso, podemos ter tamanhos de amostra diferentes para as duas ra¸c˜oes. Logo, as amostras podem ser consideradas independentes. Caso 2) Ser´a que uma determinada ra¸c˜ao A atinge um ganho de peso m´edio igual a µ0, em 20 dias, numa determinada ra¸ca de animal? Observe que nesse caso, para sabermos se houve, de fato, um ganho de peso desejado, precisar´ıamos observar os pesos dos n animais da amostra antes da ra¸c˜ao ser administrada e ap´os os 20 dias considerados. Assim, h´a uma amostra inicial, associada ao in´ıcio do tratamento com a ra¸c˜ao, e uma amostra associada ao t´ermino do tratamento com a ra¸c˜ao A. E, com base, nos pesos iniciais e finais desses n animais, podemos estabelecer o ganho de peso individual, e conseq¨uentemente, o ganho de peso m´edio por interm´edio da diferen¸ca observada entre os pesos. Portanto, s´o obteremos o ganho de peso m´edio se tivermos as duas informa¸c˜oes obtidas de um mesmo animal. Logo, fica evidente que essas informa¸c˜oes s˜ao dependentes. Ou seja, s˜ao pareadas. Exemplo 5.4. Vamos utilizar o Caso 1, com as seguintes informa¸c˜oes: A Ra¸c˜ao A foi administrada em 8 animais (nA) e observou-se uma m´edia de 3,12 kg (¯xA) e um desvio padr˜ao de 0, 15 kg (s2 A). J´a na Ra¸c˜ao B, obtivemos ¯xB = 3, 05 kg e sB = 0, 11 kg para nB = 10. Vejamos, portanto, se a ra¸c˜oes diferem em rela¸c˜ao ao ganho de peso. Esse problema pode ser resolvido por meio de um teste param´etrico. Por´em, qual metodologia devemos utilizar? As referentes aos testes 5.4.3, 5.4.4 e 5.4.5? Como j´a discutido, as amostras s˜ao independentes. Portanto, devemos, antes de proceder ao teste, verificar se . Assim, as etapas do teste ficam: Os dados utilizados s˜ao: Ra¸c˜ao A: 3,40; 2,99; 3,21; 3,07; 3,01; 3,27; 3,23; 3,02. Ra¸c˜ao B: 2,82; 3,16; 2,98; 3,04; 3,15; 3,20; 3,00; 3,01; 3,08; 3,06. 1. As Hip´oteses: H0 : σ2 A = σ2 B vs H0 : σ2 A > σ2 B 2. Distribui¸c˜ao Amostral: Sob H0, F(a,b,α) = Ftabelado = F(7, 9, α0). Estimativas: s2 A = 0, 152 e s2 B = 0, 112 3. N´ıvel de Significˆancia: α = α0 = 0, 05 (por exemplo) 5.4. Alguns Testes Paramétricos mais Utilizados. 91 Estatística: Fcalculado = 0,152 0,112 = 1.8595. 4. Região Crítica (RC): valores de F 12 8 > 3, 293 pertencem à RC; Regra de Decisão (RD):se Fcalculado > Ftabelado = 3, 293, rejeita-se H0. 5. Concluir o Teste: Como Fcalculado não pertence à RC, não se rejeita H0 : σ²A = σ²B. Logo, há homocedasticidade e o teste 5.4.3 deverá ser o escolhido. Dessa forma, o teste fica: 1. As Hipóteses: H0 : μA - μB = 0 g vs H1 : μA - μB ≠ 0 g Note que, neste caso, D = 0. Pois o objetivo é apenas verificar se existe diferença significativa entre o ganho de peso médio das rações. Porém, D ∈ ℜ, assim, poderíamos estar interessados em investigar se D = 0, 05. Ou seja, será que a Ração A proporciona um ganho de peso superior ao da Ração B em pelo menos 50 g? 2. Distribuição Amostral: t de Student com γ g.l.. Pois, nA + nB < 30 e as variâncias são desconhecidas. Sendo γ = nA + nB - 2 = 8 + 10 - 2 = 16 g.l.; Estimativas: x̄A = 3, 12; sA = 0, 15 ; x̄B = 3, 05 e sB = 0, 11 3. Nível de Significância: α = 0, 05 Estatística de teste: tcalculado = (x̄A - x̄B) - (μA - μB) sC √ n1 nA + n1 nB = 3, 12 - 3, 05 0, 1290 √ 1 8 + 1 10, Como as variâncias não diferem, calculamos uma variância comum dada por: sC² = (nA-1)sA²+(nB-1)sB² nA+NB-2 . Logo: P-Valor=P(t > 1, 143) = 0, 1348 4. A Região Crítica é á área hachurada cuja probabilidade é igual a α = 0, 05. Observe, então, que: RC = {t ∈ ℜ|t < −1, 746} ou t > tcrítico = 1, 746 ou RC = {(x̄A − x̄B) ∈ ℜ|(x̄A − x̄B) < −0, 11 ou (x̄A − x̄B) > 0, 11} e P(t > 1, 746) = 0, 05, Regra de Decisão: Se tcalculado > 1, 746, ou se ((x̄A − x̄B)) > 0, 11kg, rejeitamos H0. 92 Testes de Hip´oteses Camarinha Filho, J. A. 5. Concluir o Teste: como (¯xA − ¯xB) = 0, 07 n˜ao pertence `a Regi˜ao Cr´ıtica, n˜ao rejei- tamos a Hip´otese Nula. Dessa forma, podemos concluir que: (a) a diferen¸ca observada (3, 12 − 3, 05) n˜ao foi significativa; (b) a estimativa (¯xA− ¯xB) = 0, 07 deve ter ocorrido por acaso. Assim, se refizermos o experimento in´umeras vezes, esperar´ıamos que os valores obtidos para (¯xA − ¯xB) fossem, ora maiores do que zero e ora inferiores a zero, indicando, portanto, a ausˆencia de tendˆencia; (c) conforme a probabilidade (P − V alor = 0, 1348), notamos que, sob H0, a esti- mativa obtida (0,07) n˜ao ´e rara; (d) Conseq¨uentemente, de acordo com essas conclus˜oes, seria plaus´ıvel admitirmos que µA = µB. Portanto, as ra¸c˜oes possuem, provavelmente, o mesmo efeito no ganho de peso desses animais. 5.4.4 Teste para amostras independentes com σ2 1 ̸= σ2 2 . Vejamos, agora um exemplo para o caso em que as variˆancias diferem. Exemplo 5.5. Um experimento com o objetivo de verificar a resistˆencia (kgf) de dois tipos de concreto foi realizado. Os dados s˜ao os seguintes: Tabela 5.8: Resistˆencia (kgf) de dois tipos de concreto. Concreto 1 101,2 102,0 100,8 102,3 101,6 Concreto 2 100,0 102,8 101,5 99,0 102,0 Pede-se: H´a evidˆencia de que o Concreto 1 seja mais resistente do que o Concreto 2? Estabele¸ca α = 0, 05. Solu¸c˜ao: Embora n1 = n2 = 5, nota-se claramente que as amostras n˜ao s˜ao pareadas. Al´em disso, Fcalculado=6,54>Ftabelado=6,39, logo σ2 1 ̸= σ2 2 . Portanto, o teste fica: 1. As Hip´oteses: H0 : µ1 − µ2 = 0 vs H1 : µ1 − µ2 > 0 2. Distribui¸c˜ao Amostral: t de Student com γ∗ g.l.. Sendo γ∗ dado, por exemplo, pela f´ormula de Aspin-Welch com arredondamento para menos: γ∗ = (v1 + v2)2 [v2 1/(n1 + 1)] + [v2 2/(n2 + 1)] − 2 e v1 = s2 1 n1 e v2 = s2 2 n2 Assim, γ∗ = 5, 79 ⇒ γ∗ = 5g.l. Portanto, ttabelado = 2, 015 5.4. Alguns Testes Paramétricos mais Utilizados. 93 3. Nível de Significância: α = 0,05 Estatística de teste: t_calculado = (x̄1 - x̄2) - (μ1 - μ2) / √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) = 101,6 - 101,1 / √(0,362/5 + 2,368/5) Logo: P - Valor = P(t > 0,67) = 0,2643. 4. Região Crítica: RC = {t ∈ ℜ|t > 2,015}; P(t > 2,015) = 0,05, ou RC = {(x̄1 - x̄2) ∈ ℜ| > 1,49} Regra de Decisão: Se t_calculado > t_crítico, ou se (x̄1 - x̄2) > 1,49, optamos em rejeitar H₀. 5. Concluir o Teste: Como t_calculado=0,67 (ou (x̄1 - x̄2) = 0,5) não pertence à Região Crítica, não rejeitamos H₀ : μ1 - μ2 = 0. Logo, concluímos que não há evidência estatística, estabelecendo-se um nível de significância de 0,05, de que o Concreto 1 seja mais resistente do que o Concreto 2. 5.4.5 Teste para amostras dependentes No caso em que duas amostras estão correlacionadas segundo algum critério (por exemplo o caso antes e depois), dizemos que aos dados estão emparelhados (veja o Caso 2 do item 5.4.3). Assim, devemos calcular as diferenças (d_i), para cada par de valores, obtendo-se uma única amostra de n diferenças (n₁ = n₂ = n). Então, testar a hipótese de que a diferença entre as médias das duas populações pareadas é igual a um certo valor D₀, equivale a testar a hipótese de que a média de todas a diferenças (μd) seja igual a D₀, ou seja: H₀ : μ1 - μ2 = D₀ ⟺ H₀ : μAntes - μDepois = D₀ ⟺ H₀ : μd = D₀ Dessa Forma, retornamos ao item 5.4.1 em que testamos H₀ : μ = μ₀. Então, de forma análoga, a Estatística do Teste é dada por: t_calculado = (d̄ - D₀) / sd / √n em que: d̄ é a média da amostra de diferenças; D₀ é o valor suposto para a média das diferenças; sd é o desvio padrão da amostra das diferenças; n é o tamanho da amostra pareada. Vejamos um exemplo: Exemplo 5.6. Um novo medicamento está sendo pesquisado com intuito de diminuir a pressão sistólica em indivíduos hipertensos. Dez pacientes voluntários submeteram-se ao 94 Testes de Hip´oteses Camarinha Filho, J. A. Tabela 5.9: Press˜ao antes e ap´os seis meses da adiminstra¸c˜ao do medicamento. Antes 179 200 161 170 181 190 202 220 195 165 Ap´os 160 180 161 180 165 170 196 216 170 160 Diferen¸ca (di) -19 -20 0 10 -16 -20 -8 -4 -25 -5 tratamento que consistia em medir a press˜ao antes e ap´os seis meses da administra¸c˜ao do medicamento. Os dados s˜ao os seguintes (Tabela 5.9): Vocˆe acreditaria que o medicamento surte o efeito desejado, com α = 0, 01? Solu¸c˜ao: Etapas do teste: 1. As Hip´oteses: H0 : µd = D0 = 0 vs H1 : µd ̸= 0 2. Distribui¸c˜ao Amostral: t de Student com (n − 1) g.l. = 9 g.l.; Portanto, ttabelado = −3, 25 Estimativas: ¯d = −10, 7 e sd = 11, 066 3. N´ıvel de Significˆancia: α = 0, 01 Estat´ıstica de teste: tcalculado = −10, 7 − 0 11, 066/ √ 10 Logo: P-Valor=P(t < −3, 06) = 0, 007 4. Regi˜ao Cr´ıtica (RC): RC = {t ∈ ℜ|t < −3, 25}ou{t > 3, 25} = { ¯d ∈ ℜ| ¯d < −11, 37 ou ¯d > 11, 37}. Regra de Decis˜ao: Se tcalculado < −3, 25, ou se ¯d < −11, 37 , rejeitamos H0. 5. Concluir o Teste: Como ¯d = −10, 7 > −11, 37 , podemos concluir que: (a) a diferen¸ca observada (- 10,7) n˜ao foi significativa; (b) pelo resultado do P-Valor, podemos dizer que provavelmente a amostra das diferen¸cas n˜ao ´e rara; (c) Assim, conclu´ımos que o medicamento n˜ao obteve um resultado desejado. 5.5 Teste para Propor¸c˜ao Populacional (p) O objetivo desse teste ´e verificar se a propor¸c˜ao verdadeira (populacional) n˜ao difere de um valor suposto p0. Dessa forma, dada uma popula¸c˜ao, cuja vari´avel aleat´oria X estuda o n´umero de sucessos em n observa¸c˜oes, coletamos uma amostra aleat´oria (n) e verificamos 5.5. Teste para Proporção Populacional (p) 95 5.5. Teste para Proporção Populacional (p) to número de sucessos ocorridos (k). Assim, podemos obter a proporção (porcentagem) estimada de sucessos (p̂ = k/n) e concluir a respeito do valor suposto p₀. De acordo com o item 2.5, vejamos um exemplo. Exemplo 5.7. Um Candidato A a Reitor da UFPR afirma que 57% (p₀) dos professores irão votar nele na próxima eleição. O Candidato B, desconfiando desse percentual, resolveu encomendar uma pesquisa de intenção de votos para verificar a autenticidade dessa afirmação. Após a coleta de uma amostra aleatória de 200 professores (n), constatou-se que 98 (k) tinham a intenção de votar no Candidato A. Segundo a pesquisa, qual a conclusão deveríamos tomar, ao nível de 0,05 de probabilidade, em relação à afirmação do Candidato A? As Etapas: 1. As Hipóteses: H₀ : p = p₀ = 0,57 vs H₁ : p < 0,57. Optamos por H₁ : p < 0,57, pois o Candidato B desconfiou da afirmação do Candidato A; 2. Distribuição Amostral: a Estatística p̂ segue uma distribuição aproximadamente normal, isto é, p̂ ∼ N(p; p(1 - p)/n) Portanto, z_tabelado = -1,64. Estimativas: p̂ = k/n = 98/200 = 0,49 ; 3. Nível de Significância: α = 0,05 Estatística de teste: z_calculado = (p̂ - p₀) / √(p(1-p)/n). Que, sob H₀ verdadeira, tem-se: z_calculado = (0,49 - 0,57) / √(0,57(1 - 0,57)/200) = -2,285 Logo: P-Valor=P(Z < -2,285 = 0,0112) 4. Região Crítica (RC): RC = {Z ∈ ℜ|Z < -1,645} = {p̂ ∈ ℜ|p̂ < 0,5124}; Regra de Decisão: Se z_calculado < -1,645, ou se p̂ < 0,5124, rejeitamos H₀. 5. Concluir o Teste: Como p̂ < 0,5124 , podemos concluir que, provavelmente, a afirmação do Candidato A não é verdadeira. 5.6 Teste para a Comparação de duas Proporções Populacionais (p₁ e p₂). 96 5.6 Teste para a Comparação de duas Proporções Populacionais (p₁ e p₂). É um teste similar ao anterior. Porém, comparamos, nesse caso, as proporções entre duas populações. Exemplo 5.8. Os engenheiros da Indústria Romi de tornos anunciaram que um novo torno, desenvolvido por eles, produz eixos dentro das especificações com uma porcentagem maior do que seu concorrente para serem utilizados em automóveis. Uma pesquisa foi realizada para se verificar a autenticidade do anúncio. Foram retiradas duas amostras aleatórias independentes e encontrando-se: 171 eixos em 180 dentro da especificação para a ROMI, e 171 eixos em 190 para a concorrente. Qual conclusão devemos tomar, se admitirmos um nível de significância de 0,01? Solução: As etapas do teste: A variável associada ao teste é: X: número de eixos dentro da especificação em nᵢ; i= Romi; Concorrente. 1. As Hipóteses: H₀ : pRomi = pConcorrente vs H₁ : pRomi > pConcorrente Note que H₁ : pRomi > pConcorrente , pois os Engenheiros da Romi disseram que seus tornos são superiores em relação à variável X; 2. Distribuição Amostral: a Estatística p̂R - p̂C segue uma distribuição aproximadamente normal, isto é, p̂R - p̂C ∼ N(pR - pC; pR(1 - pR) / nR + pC(1 - pC)/ nC). Portanto, z_tabelado = 2,33. Estimativas: p̂R = kR/nR = 171/180 = 0,95 e p̂C = kC/nC = 171/190 = 0,90 3. Nível de Significância: α = 0,01 Estatística de teste: Z_calculado = (p̂R - p̂C) - (pR - pC) / √(p̂(1 - p̂)(1/nR + 1/nC)) ∼ N(0,1) Em que, p̂ = (nRp̂R + nCp̂C) / (nR + nC) = (kR + kC) / (nR + nC). Que, sob H₀ verdadeira, tem-se: Z_calculado = ((0,95 - 0,90) - (0))/√(0,9243(1 - 0,9243)(1/180 + 1/190)) Logo: P - Valor = P(Z > 1,8176) = 0,0346 5.7 Testes não Paramétricos 4. Região Crítica (RC): RC = Z ∈ ℜ|Z > 2, 33 = {(p̂R − p̂C) ∈ ℜ| > (p̂R − p̂C) > 0, 064}; Regra de Decisão: Se Zcalculado > 2, 33, ou se (p̂R − p̂C) > 0, 064, rejeitamos H 0. 5. Concluir o Teste: Como (p̂R − p̂C) = 0, 05 < 0, 064, podemos concluir que, provavelmente, o anúncio feito pelos engenheiros não procede. 5.7 Testes não Paramétricos 5.7.1 Teste de aderência Verifica-se nesse teste a adequabilidade de um modelo probabilístico de uma variável X a um conjunto de dados observados, que serão divididos em categorias. Ou seja, verifica-se se os dados de uma amostra se ajustam, de forma satisfatória, a um modelo proposto. O princípio básico deste método é comparar proporções obtidas com auxílio das frequências obtidas dentro de cada categoria, isto é, comparam-se as possíveis divergências entre as frequÊncias observadas e esperadas para um certo evento. Assim, as hipóteses testadas são: 1. Hipótese nula (H0): X segue o modelo proposto. ou ainda, as frequências observadas são iguais às frequências esperadas, assim, não existe diferença entre as frequências (contagens) dos grupos. 2. Hipótese alternativa: X não segue o modelo proposto. Ou seja, existe ao menos uma frequência observada que difere de sua frequência esperada correspondente. Nesse contexto, construiríamos uma tabela auxiliar da seguinte forma: Tabela 5.10: Tabela auxiliar. Categoria (ki) 1 2 3 . . . k Freq. Observada O1 O2 O3 . . . Ok Freq. Esperada ei e1 e2 e3 . . . ek Karl Pearson propôs a seguinte fórmula para medir as possíveis discrepâncias entre proporções observadas e esperadas: Q2 = ∑k i=1 (oi − ei)2/ei em que, k é o número de classes (categorias) consideradas; oi é a frequência observada; ei é a frequência esperada. Note que as frequências observadas são obtidas diretamente dos dados das amostras, enquanto que as frequências esperadas são calculadas a partir do modelo probabilístico proposto pelo pesquisador, ou seja, em função de H0. além disso, como (oi − ei) é a diferença entre a frequência observada e a esperada, quando as frequências observadas são muito próximas às esperadas, o valor de Q2 tende a ser pequeno. Consequentemente, tendemos, também, a não rejeitar H0. Supondo-se H0 verdadeira, é possível demonstrar que a variável aleatória Q2 segue uma distribuição aproximada qui-quadrado com q graus de liberdade. Assim, Q2 = ∑k i=1 (oi − ei)2/ei ∼ χq2 sendo que q = k − 1 representa o número de graus de liberdade. A aproximação para o modelo Qui-Quadrado será melhor, para um n grande e se todas as frequências esperadas forem maiores do que 4 (ei ≥ 5). Caso isso não ocorra para alguma categoria, devemos combiná-la com outra categoria de forma que esse requisito seja satisfeito. Com base nessa distribuição amostral, podemos, então, obter o P-Valor e, consequentemente, tomarmos uma decisão em relação à H0. Exemplo 5.9. Deseja-se verificar se o número de acidentes em uma estrada muda conforme o dia da semana. O número de acidentes observado para cada dia de uma semana escolhida aleatoriamente foram: Tabela 5.11: .Número de acidentes por dia da semana. Dia da semana (k) Domingo Sábado Sexta Quinta Quarta Terça Segunda Número de acidentes 30 18 26 13 7 8 17 Solução: As etapas para realização do teste são: 1. Hipóteses a serem testadas: H0: O número de acidentes não muda conforme o dia da semana; H1: Pelo menos um dos dias tem número diferente dos demais. Note que, se pi representa a probabilidade de ocorrência de acidentes no i-ésimo dia da semana, então, H0 : pi = 1/7 para todo i = 1, . . . , 7; H1 : pi ̸= 1/7 para pelo menos um valor de k. 2. Distribuição Amostral: Qui-quadrado com k − 1 g.l. Portanto: χ2 = 14,449, para α = 0, 05. Estimativa: Total de acidentes na semana: n = 119. 102 Testes de Hip´oteses Camarinha Filho, J. A. H0: O n´umero de filhos e a renda s˜ao independentes; H1: Existe dependˆencia entre o n´umero de filhos e a renda. O c´alculo dos valores esperados sob H0 (independˆencia), fica: N´umero esperado de fam´ılias sem filhos e renda menor que R$ 2000: E11 = 48 × 135 250 = 25, 92 Feito todos os c´alculos, podemos construir a tabela de valores observados e esperados (entre parˆenteses). Assim, Tabela 5.15: N´umero esperado para n´umero de filhos e renda. Renda (R$) N´umero de filhos 0 1 2 + de dois Total menos de 2000 15 (25,92) 27 (37,80) 50 (38,34) 43 (32,94) 135 2000 a 5000 8 (14,40) 13 (21,00) 9 (21,30) 10 (18,30) 40 5000 ou mais 25 (7,68) 30 (11,20) 12 (11,36) 8 (9,76) 75 Total 48 70 71 61 250 Obtidos os valores esperados podemos proceder ao c´alculo da estat´ıstica de qui- quadrado. Logo, χ2 obs = (15 − 25, 92)2 25, 92 + (25 − 14, 40)2 14, 40 + (8 − 7, 68)2 7, 68 + (27 − 37, 80)2 37, 80 = (30 − 21, 00)2 21, 00 + (13 − 11, 20)2 11, 20 + (50 − 38, 34)2 38, 34 + (12 − 21, 30)2 21, 30 = (12 − 21, 30)2 21, 30 + (9 − 11, 36)2 11, 36 + (43 − 32, 94)2 32, 94 + (8 − 18, 30)2 18, 30 = (10 − 9, 76)2 9, 76 = 36, 621 O n´umero de graus de liberdade ser´a determinado por: q = (r−1)×(s−1) = 2×3 = 6. Sendo que: Categorias de renda: r = 3; Categorias de n◦ de filhos: s = 4. Portanto,χ2 ∼ χ2 6 e, supondo α = 0, 05, P(χ2 6 ≥ 36, 62) = 0, 0000021 Como P = 0, 000 < α = 0, 05, rejeitamos a independˆencia entre n´umero de filhos e renda familiar. Cap´ıtulo 6 Correla¸c˜ao e Regress˜ao Linear 6.1 Introdu¸c˜ao Considere a existˆencia de uma vari´avel quantitativa X a qual acreditamos apresen- tar alguma rela¸c˜ao com uma outra vari´avel quantitativa Y . Por exemplo: consumo de eletricidade e valor da conta de energia el´etrica; idade e tempo de rea¸c˜ao a um est´ımulo; temperatura e tempo de uma rea¸c˜ao qu´ımica, dentre outros. Em situa¸c˜oes como as citadas, a constru¸c˜ao de um gr´afico de dispers˜ao dos valores de X versus os valores de Y , se constitui numa ferramenta estat´ıstica simples, por´em muito ´util, para investigar a existˆencia de uma poss´ıvel rela¸c˜ao entre essas duas vari´aveis. Adici- onalmente, podemos tamb´em fazer uso dos coeficientes de correla¸c˜ao, como por exemplo, o de Pearson, apresentado a seguir. 6.2 Coeficiente de Correla¸c˜ao de Pearson O coeficiente de correla¸c˜ao de Pearson ´e utilizado quando desejamos verificar a exis- tˆencia de associa¸c˜ao linear entre duas vari´aveis quantitativas, X e Y , e ´e obtido dividindo-se a covariˆancia de X e Y pelo produto dos respectivos desvios-padr˜ao de ambas as vari´aveis, isto ´e: ρ = cor(X, Y ) = Cov(X, Y ) σX σY = E(XY ) − E(X)E(Y ) σX σY . (6.1) Esse coeficiente resulta sempre em um valor entre −1 e 1 e sua interpreta¸c˜ao depende do seu valor num´erico e do seu sinal. Quanto mais pr´oximo de −1 e 1, mais forte ´e o grau de rela¸c˜ao linear existente entre X e Y e, quanto mais pr´oximo de 0, mais fraco ´e o grau desta rela¸c˜ao. Uma correla¸c˜ao linear negativa indica que quando o valor de uma vari´avel aumenta, o valor da outra diminui e, uma correla¸c˜ao linear positiva, indica que quando o valor de uma vari´avel aumenta, o valor da outra tamb´em aumenta. Para uma amostra de tamanho n, em que para cada indiv´ıduo i (i = 1, · · · , n) observamos os pares de valores (xi, yi), o coeficiente de correla¸c˜ao linear entre X e Y ´e 103 106 Correla¸c˜ao e Regress˜ao Linear Giolo, S. R. Os valores observados n˜ao se encontram, contudo, exatamente sobre esta linha reta, ou seja, existe uma diferen¸ca entre o valor observado e o valor fornecido pela equa¸c˜ao. Esta diferen¸ca ´e denominada erro e ´e representada por ǫ. Este erro ´e assumido ser um erro estat´ıstico, isto ´e, uma vari´avel aleat´oria que quantifica a falha do modelo em ajustar- se aos dados exatamente. Tal erro pode ser devido ao efeito, dentre outros, de vari´aveis n˜ao consideradas e de erros de medi¸c˜ao. Incorporando esse erro `a equa¸c˜ao (6.2) temos: Y = β0 + β1X + ǫ, (6.3) que ´e denominado modelo de regress˜ao linear simples. Para cada indiv´ıduo i (i = 1, . . . , n) na amostra, o modelo (6.3) fica representado por: yi = β0 + β1 xi + ǫi. (6.4) A vari´avel X em (6.3), denominada vari´avel regressora ou independente, ´e consi- derada uma vari´avel controlada pelo analista dos dados e medida com erro desprez´ıvel. J´a Y , denominada vari´avel resposta ou dependente, ´e considerada uma vari´avel aleat´oria, isto ´e, existe uma distribui¸c˜ao de probabilidade para Y em cada valor poss´ıvel de X. ´E muito freq¨uente, na pr´atica, encontrarmos situa¸c˜oes em que Y tenha distribui¸c˜ao Normal. Nesses casos, os erros ǫi (em que alguns s˜ao positivos e outros negativos) s˜ao assumidos serem normalmente distribu´ıdos com m´edia zero e variˆancia constante desconhecida σ2, bem como independentes, isto ´e, o valor de um erro independe do valor de qualquer outro erro. Sendo assim, a m´edia e a variˆancia da vari´avel Y ser˜ao, respectivamente: E(Y | X = x) = E(β0 + β1 x + ǫ) = β0 + β1 x V (Y | X = x) = V (β0 + β1 x + ǫ) = σ2. Exemplo 6.2. Um psic´ologo investigando a rela¸c˜ao entre a idade e o tempo que um indiv´ıduo leva para reagir a um certo est´ımulo, obteve as informa¸c˜oes apresentadas na Tabela 6.1 Tabela 6.1: Tempo de rea¸c˜ao ao est´ımulo em fun¸c˜ao da idade. yi = tempo (em segundos) xi = idade (em anos) 96 109 106 112 20 30 20 35 92 100 100 105 20 30 20 35 98 118 110 113 25 35 25 40 104 108 101 112 25 35 25 40 116 127 106 117 30 40 30 40 Fonte: Bussab, W. O. (1988). A partir da representa¸c˜ao gr´afica desses dados mostrada na Figura 6.2, ´e poss´ıvel visualizar uma rela¸c˜ao linear positiva entre a idade e o tempo de rea¸c˜ao. O coeficiente Cap´ıtulo 7 An´alise de Variˆancia 7.1 Introdu¸c˜ao A An´alise de Variˆancia (ANOVA) ´e um procedimento utilizado para comparar trˆes ou mais tratamentos. Existem muitas varia¸c˜oes da ANOVA devido aos diferentes tipos de experimentos que podem ser realizados. Nesse curso ser´a estudado apenas a an´alise de variˆancia com um fator. Inicialmente, s˜ao apresentados alguns conceitos utilizados em planejamento de ex- perimentos e na an´alise de variˆancia. 7.2 Conceitos B´asicos sobre Experimenta¸c˜ao 7.2.1 Tratamento Um tratamento ´e uma condi¸c˜ao imposta ou objeto que se deseja medir ou avaliar em um experimento. Normalmente, em um experimento, ´e utilizado mais de um tratamento. Como exemplos de tratamentos, podem-se citar: equipamentos de diferentes marcas, dife- rentes tamanhos de pe¸cas, doses de um nutriente em um meio de cultura, quantidade de lubrificante em uma m´aquina, temperatura de armazenamento de um alimento. Os tratamentos que podem ser dispostos em uma ordem, como por exemplo, doses de nutrientes, quantidade de lubrificante, n´ıveis de temperatura, s˜ao ditos tratamentos quantitativos. J´a os tratamentos que n˜ao podem ser dispostos numa ordem, s˜ao ditos tratamentos qualitativos, por exemplo, variedades de plantas, m´etodos de prepara¸c˜ao de alimento, marcas de equipamentos e outros. Cada tipo de tratamento tamb´em pode ser chamado de um fator. Nesse texto, ser˜ao estudados somente experimentos com um fator de interesse. O tipo de tratamento tem importˆancia na forma como os dados ser˜ao analisados. Quando os tratamentos s˜ao quantitativos, pode-se usar, por exemplo, t´ecnicas de an´alise de regress˜ao. 112 7.2. Conceitos B´asicos sobre Experimenta¸c˜ao 113 Os tratamentos s˜ao chamados de vari´aveis independentes. Quando, em um experi- mento, estamos interessados em estudar apenas um tipo de vari´avel independente, dizemos que possu´ımos apenas um fator. Em um experimento, um fator pode ter v´arias categoriais que s˜ao chamadas de n´ıveis. Exemplo: Um laborat´orio deseja estudar o efeito da composi¸c˜ao de pe¸cas de metal sobre a dilata¸c˜ao. Neste exemplo, a composi¸c˜ao das pe¸cas ´e o fator (vari´avel independente). Os di- ferentes tipos de composi¸c˜ao s˜ao os n´ıveis do fator. A dilata¸c˜ao das pe¸cas, medida em mil´ımetros, por exemplo, ´e a vari´avel resposta (vari´avel dependente). Em um experimento podem existir mais de um fator e mais de uma vari´avel resposta. Toda e qualquer vari´avel que possa interferir na vari´avel resposta ou dependente deve ser mantida constante. Quando isso n˜ao ´e poss´ıvel, existem t´ecnicas (estrat´egias) que podem ser utilizadas para reduzir ou eliminar essa interferˆencia. 7.2.2 Unidade experimental ou parcela Unidade experimental ou parcela ´e onde ´e feita a aplica¸c˜ao do tratamento. ´E a unidade experimental que fornece os dados para serem avaliados. Como exemplos de unidades experimentais ou parcelas pode-se citar: um motor, uma pe¸ca do motor, uma placa de Petri com meio de cultura, uma por¸c˜ao de algum alimento. As unidades experimentais podem ser formadas por grupos ou indiv´ıduos. Por exem- plo, quando trabalha-se com cobaias, pode-se ter apenas uma cobaia como unidade experi- mental, ou seja, apenas um animal fornecer´a a resposta do tratamento, ou ainda, pode-se ter um grupo de cobaias em uma gaiola fornecendo as informa¸c˜oes. O uso de grupos ou indiv´ıduos como unidades experimentais depende do fenˆomeno que se est´a estudando, da forma como o experimento ´e conduzido e dos recursos dispon´ıveis. De modo geral, a escolha da unidade experimental deve ser feita de forma a minimizar o erro experimental. 7.2.3 Repeti¸c˜ao Repeti¸c˜ao ´e o n´umero de vezes que um tratamento aparece no experimento. O n´umero de repeti¸c˜oes, em um experimento, vai depender tamb´em dos recursos dispon´ıveis, do tipo de experimento (delineamento) e, tamb´em, da variabilidade do ex- perimento ou da vari´avel resposta. Existem v´arias metodologias para estimar o n´umero satisfat´orio de repeti¸c˜oes em um experimento. Mas, em fun¸c˜ao das poss´ıveis limita¸c˜oes acima, a defini¸c˜ao do n´umero de repeti¸c˜oes, muitas vezes, torna-se uma tarefa dif´ıcil. A experiˆencia do pesquisador sobre o fenˆomeno em estudo deve ser levada em considera- ¸c˜ao. Al´em disso, as metodologias empregadas, para esse c´alculo, pressup˜oem que uma estimativa do erro experimental ´e conhecida. Nem sempre essa informa¸c˜ao est´a dispon´ıvel 114 An´alise de Variˆancia Anjos, A. dos antes da realiza¸c˜ao de um experimento e, como cada experimento ´e uma nova hist´oria, em fun¸c˜ao de caracter´ısticas intr´ınsecas de cada fenˆomeno, esse c´alculo pode ser em v˜ao. 7.2.4 Vari´avel resposta ou vari´avel dependente Uma vari´avel ´e qualquer caracter´ıstica que apresenta varia¸c˜ao, por exemplo, a altura de pessoas, o peso de animais, o comprimento de uma pe¸ca, o n´umero de microrganismos em um litro de leite etc. Quando o valor de uma vari´avel n˜ao pode ser determinado antes da realiza¸c˜ao de um experimento, tem-se ent˜ao uma vari´avel aleat´oria. As vari´aveis que assumem valores enumer´aveis, s˜ao denominadas vari´aveis aleat´orias discretas. Por exemplo, o n´umero de sementes germinadas, o n´umero de microrganismos em um litro de leite. As vari´aveis que assumem valores em um intervalo, s˜ao denominadas vari´aveis ale- at´orias cont´ınuas. Por exemplo, o peso de animais, o teor de umidade em um alimento, o conte´udo de ´oleo em uma semente. Em um experimento, podem ser medidas muitas vari´aveis, mas deve-se considerar somente aquelas que possam contribuir para a explica¸c˜ao da hip´otese formulada. ´E o pesquisador, em geral, quem sabe quais ser˜ao as vari´aveis que ser˜ao medidas em um experimento. Ele deve ser alertado, sempre, sobre as condi¸c˜oes para a realiza¸c˜ao de tais medi¸c˜oes, no sentido de evitar gastar recursos com vari´aveis que n˜ao fornecer˜ao as informa¸c˜oes para se testar a(s) hip´otese(s). Quando o volume de dados de um experimento torna-se grande, aumentam os riscos de erros grosseiros, como de registro, de invers˜ao de vari´aveis etc. 7.2.5 Delineamento experimental (Design) Com a finalidade de reduzir o erro experimental, existem os chamados delineamentos experimentais. Um delineamento experimental ´e a forma como os tratamentos ou n´ıveis de um fator s˜ao designados `as unidades experimentais ou parcelas. A an´alise de variˆancia (que ser´a vista mais adiante) ´e baseada no delineamento experimental utilizado. Por isso, saber como o experimento foi instalado e conduzido, ´e de fundamental importˆancia. Pequenas modifica¸c˜oes podem acarretar em grandes mudan¸cas na forma da an´alise estat´ıstica. N˜ao raro, acontecem situa¸c˜oes em que as hip´oteses formuladas, a priori, n˜ao podem ser testadas, ou ainda, ´e imposs´ıvel de se realizar uma an´alise estat´ıstica. Por isso, deve-se dar muita importˆancia ao planejamento experimental. Um delineamento experimental ´e planejado de tal forma que a varia¸c˜ao ao acaso seja reduzida o m´aximo poss´ıvel. Alguns dos principais delineamentos experimentais s˜ao: delineamento completamente casualizado (DCC), delineamento em blocos casualizados (DBC) e quadrado latino. 116 An´alise de Variˆancia Anjos, A. dos Essas somas de quadrados podem ser organizadas em uma tabela, denominada tabela da an´alise de variˆancia, como apresentado na Tabela 7.1. Para testar a hip´otese H0, utiliza-se o teste F apresentado na tabela da An´alise de Variˆancia (Tabela 7.1). Conv´em lembrar que esse teste ´e v´alido se os pressupostos assumidos para os erros do modelo estiverem satisfeitos. Tabela 7.1: Tabela da an´alise de variˆancia. Causas de Graus de Soma de Quadrados F calculado Varia¸c˜ao Liberdade Quadrados M´edios Tratamentos I-1 SQTrat QMTrat QMTrat/QMRes Res´ıduo I(J-1) SQRes QMRes Total IJ-1 SQTotal em que QMTrat=SQTrat/(I-1) e QMRes=SQRes/(I(J-1)). Pode-se mostrar que o quociente QMTrat/QMRes tem distribui¸c˜ao F com (I − 1) e I(J − 1) graus de liberdade, supondo que yij sejam vari´aveis aleat´orias independentes, todos os tratamentos tˆem variˆancias iguais a σ2 e Yij ∼ N(µi, σ2). Por esses motivos, os pressupostos da ANOVA devem ser testados ou avaliados em qualquer an´alise. Se Fcalculado>Ftabelado, rejeitamos a hip´otese de nulidade H0, ou seja, existem evidˆencias de diferen¸ca significativa entre pelo menos um par de m´edias de tratamentos, ao n´ıvel α de significˆancia escolhido. Caso contr´ario, n˜ao rejeita-se a hip´otese de nulidade H0, ou seja, n˜ao h´a evidˆencias de diferen¸ca significativa entre tratamentos, ao n´ıvel α de significˆancia escolhido. Outra maneira de avaliar a significˆancia da estat´ıstica F ´e utilizando o p-valor. Se o p-valor< α, rejeitamos a hip´otese de nulidade H0. Caso contr´ario, n˜ao se rejeitamos a hip´otese de nulidade H0, ou seja, n˜ao h´a evidˆencias de diferen¸cas significativas entre os tratamentos, ao n´ıvel α de significˆancia escolhido. 7.2.7 Delineamento experimental Quando as unidades experimentais s˜ao homogˆeneas, ou seja, as parcelas s˜ao uni- formes, os tratamentos podem ser sorteados nas unidades experimentais sem qualquer restri¸c˜ao. Nessa situa¸c˜ao, o delineamento experimental ´e chamado de delineamento com- pletamente casualizado (DCC). Neste caso, todos os tratamentos tˆem a mesma chance de serem aplicados em qualquer unidade experimental ou parcela. Nesse texto, abordaremos apenas esse tipo de delineamento que ´e o caso mais simples da ANOVA. 7.3 An´alise de Variˆancia Exemplo 7.1. Considere o seguinte experimento que foi conduzido, considerando um de- lineamento inteiramente casualizado. Foram comparados 4 tratamentos (tipos de cultivo: 118 An´alise de Variˆancia Anjos, A. dos Obs: A express˜ao ( IP i=1 JP j=1 yij)2 IJ ´e referenciada em alguns textos como fator de corre¸c˜ao da soma de quadrados. 2. SQTrat= IP i=1 y2 i. J − ( IP i=1 JP j=1 yij)2 IJ = 1,36892+1,77032+3,51472+1,43522 8 − (8,0891)2 32 = 0, 3828. 3. A Soma de Quadrados dos res´ıduos ´e obtida por diferen¸ca: SQRes=SQTotal-SQTrat= 0, 4504 − 0, 3828 = 0, 0676. Os quadrados m´edios s˜ao obtidos pela divis˜ao da soma de quadrados, pelos seus respectivos graus de Liberdade. Assim, QMTrat=SQTrat/(I-1)=0,3828/3=0,1276 e QMRes=SQRes/I(J-1)=0,0676/28=0,002414. O teste F ´e o quociente entre o QMTrat e o QMRes. Logo, Fcalculado=QMTrat/QMRes=0,1276/0,002414= 52,8583. O Fcalculado ´e comparado com o Ftabelado, com 3 e 28 graus de liberdade, na tabela de F (Tabela ): Ftabelado a 1%=2,95 Ftabelado a 5%=4,57. Efetuados os c´alculos, podemos resumi-los na tabela da an´alise de variˆancia apre- sentada a seguir: Tabela 7.3: An´alise de variˆancia do exemplo 7.1. Causas de GL Soma de Quadrados F calculado Varia¸c˜ao Quadrados M´edios Tratamentos 4-1=3 0,3828 0,1276 52,8583∗∗ Res´ıduo 4(8-1)=28 0,0676 0,002414 Total 4×8-1=31 0,4504 ∗∗ Significativo ao n´ıvel de 1% de probabilidade Conclus˜ao da an´alise de variˆancia: de acordo com o teste F, foram encontradas evi- dˆencias de diferen¸cas significativas, ao n´ıvel de 1% de probabilidade, entre os tratamentos, com rela¸c˜ao ao crescimento. Rejeitamos, portanto, a hip´otese de nulidade H0. Deve exis- tir, pelo menos, um contraste significativo entre as m´edias de tratamentos, com rela¸c˜ao ao crescimento m´edio. O procedimento seguinte, quando de interesse do pesquisador, ´e o de comparar as m´edias de tratamentos utilizando algum teste de compara¸c˜ao de m´edias ou contrastes para identificar qual ou quais tratamentos ´e ou s˜ao diferente(s). 7.4 Teste de Tukey para Compara¸c˜ao de M´edias Cap´ıtulo 8 Controle Estat´ıstico de Qualidade 8.1 Introdu¸c˜ao A an´alise e interpreta¸c˜ao de dados, voltados para a melhoria da qualidade de pro- dutos ou servi¸cos, ´e chamada de controle estat´ıstico de qualidade ou controle esta- t´ıstico de processos (CEP). No controle estat´ıstico de qualidade existem v´arios m´etodos que podem ser utiliza- dos para monitorar um processo: desde a estat´ıstica descritiva ou um simples gr´afico de dispers˜ao, at´e m´etodos mais espec´ıficos como gr´aficos de controle e ´ındices de capacidade. Neste texto, abordaremos apenas alguns tipos de gr´aficos de controle. 8.1.1 Gr´aficos de controle Basicamente, um gr´afico de controle consiste no acompanhamento de um processo ao longo do tempo. Um linha m´edia ´e inserida no gr´afico acompanhada de uma linha superior e uma linha inferior, chamadas de limite superior e limite inferior de controle, respectivamente. Esses limites s˜ao constru´ıdos segundo crit´erios estat´ısticos. Na Figura 8.1 ´e mostrado um exemplo de gr´afico de controle. Diz-se que um processo est´a sob controle ou est´avel quando a varia¸c˜ao observada ´e devida somente a causas de varia¸c˜ao naturais do processo, ou seja, o gr´afico mostra apenas flutua¸c˜oes aleat´orias. Caso contr´ario, o processo ´e dito fora de controle. O objetivo principal de um gr´afico de controle ´e identificar se a varia¸c˜ao existente ´e uma fun¸c˜ao de causas naturais de varia¸c˜ao do processo ou de causas especiais. No caso de causas especiais, ´e necess´ario intervir no processo para reduzir a variabilidade. Os gr´aficos de controle s˜ao elaborados em fun¸c˜ao do tipo de vari´avel e da carac- ter´ıstica da amostra. Por exemplo, para atributos ou vari´aveis do tipo contagem e para vari´aveis cont´ınuas s˜ao elaborados gr´aficos para cada tipo de vari´avel. Tamb´em, depen- dendo do tamanho da amostra (n), metodologias espec´ıficas devem ser utilizadas. 122 8.1. Introdu¸c˜ao 123 tempo variável Limite superior Média Limite inferior Figura 8.1: Gr´afico de controle: id´eia b´asica. 8.1.2 Constru¸c˜ao do gr´afico No eixo horizontal s˜ao inseridos os n´umeros das amostras de tamanho n (em geral constante), observadas no processo. No eixo vertical ´e inserida a unidade de medida da vari´avel que est´a sendo estudada ou controlada. As amostras s˜ao chamadas tamb´em de subgrupos. No gr´afico, s˜ao representadas as m´edias de cada amostra que ir˜ao refletir o compor- tamento de varia¸c˜ao do processo. A linha central, dependendo das informa¸c˜oes dispon´ıveis, representa, em geral, a m´edia do processo. A linha central ou o valor m´edio ¯x ´e obtido pela m´edia das m´edias amostrais e pode, tamb´em, ser denotada por ¯¯x. Se existem informa¸c˜oes anteriores sobre o processo, pode-se utilizar um valor de referˆencia. Por ´ultimo, se for conhecida, a m´edia da popula¸c˜ao, µ deve ser utilizada. As duas linhas que definem os limites de controle: LSC - limite superior de controle e LIC - limite inferior de controle, s˜ao utilizadas, entre outras, para decidir quando o processo est´a sob controle ou n˜ao. N˜ao se deve confundir limites de controle com limites de especifica¸c˜ao. Os limites de especifica¸c˜ao s˜ao definidos pela natureza do produto. ´E uma quest˜ao t´ecnica, definida pelo projeto do produto. Os limites de controle s˜ao sempre menores do que os limites de especifica¸c˜ao. Os limites de controle, por outro lado, podem ser definidos de duas maneiras: 1. Utilizando a distribui¸c˜ao da vari´avel X que mede o desempenho do processo. Nesse caso, podemos encontrar limites de controle de tal forma que, P(LIC ≤ X ≤ LSC) ≥ 1 − α 124 Controle Estat´ıstico de Qualidade Anjos, A. dos sendo α um n´umero arbitr´ario e fixo, normalmente pequeno (α = 0, 01). Esse limite ´e chamado de limite probabil´ıstico. Esperamos que, por α ser pequeno, um valor al´em dos limites inferior e superior devam ocorrer raramente se o processo estiver sob controle. Nesse caso, um ponto fora dos limites indicar´a que o processo est´a fora de controle e que uma ou mais causas de varia¸c˜ao especiais est˜ao atuando sobre o processo. 2. Outra maneira ´e definir os limites de controle por meio de m´ultiplos do desvio padr˜ao da vari´avel X: LSC = µx + kσx LIC = µx − kσx, em que µx ´e a m´edia de X, σx ´e o desvio padr˜ao de X e k ´e uma constante positiva. Em geral, costuma-se utilizar k = 3. Se X tiver uma distribui¸c˜ao Normal, a probabilidade de um ponto cair fora dos limites ´e aproximadamente 0,003. O tamanho da amostra e o tipo de vari´avel influenciam na constru¸c˜ao dos limites de controle. ´E importante que os limites sejam definidos para um processo que esteja sob controle. Ou seja, como os limites dependem da variabilidade do processo (σ), se o processo n˜ao estiver sob controle, ou seja, quando a varia¸c˜ao observada ´e devida somente a causas de varia¸c˜ao naturais do processo, os limites podem n˜ao refletir o verdadeiro comportamento do processo. Limites de aviso ou de alerta Podemos utilizar, al´em dos limites superior e inferior, limites de aviso. Quando um ponto ultrapassa os limites de ±3σ, a¸c˜oes corretivas devem ser utilizadas. No entanto, um limite menor, por exemplo, 2σ pode ser utilizado como um limite de advertˆencia (Figura 8.2). Quando um ponto atinge os limites de aviso, podemos, por exemplo, coletar amostras com um n maior e/ou amostras com maior freq¨uˆencia, para obter informa¸c˜oes sobre o processo mais rapidamente. Limites de aviso aumentam a sensibilidade do gr´afico de controle. Por outro lado, esses mesmos limites podem gerar alarmes falsos ou falsos positivos. Por isso, eles devem ser utilizados com cautela, pois podem, inclusive, aumentar custos sem necessidade. 8.1.3 An´alise do padr˜ao de gr´aficos de controle Estabelecidos os limites de controle, devemos analisar e interpretar as informa¸c˜oes fornecidas pelo gr´afico. 8.1. Introdu¸c˜ao 125 tempo variável Limite superior Média Limite inferior Limite de aviso superior Limite de aviso inferior Figura 8.2: Gr´afico de controle: limites de aviso. Se todos os pontos estiverem dentro dos limites de controle, isso n˜ao indica, neces- sariamente, que o processo esteja sob controle. A ausˆencia de aleatoriedade nos pontos pode indicar uma fonte de varia¸c˜ao especial. Por exemplo, na Figura 8.3 h´a somente 2 pontos abaixo da m´edia e 8 acima. Em geral, espera-se uma distribui¸c˜ao proporcional dos pontos acima e abaixo da m´edia. tempo variavel Limite superior Limite inferior Figura 8.3: Gr´afico de controle: processo tendencioso. Na Figura 8.4 observamos um comportamento c´ıclico. Nesse caso, o gr´afico pode indicar problemas no processo, como por exemplo, o cansa¸co de operadores. Obviamente, quando um ou mais pontos ultrapassam os limites, o processo deve ser analisado. Claro que outras regras podem ser adotadas, dependendo do processo do tipo 126 Controle Estat´ıstico de Qualidade Anjos, A. dos tempo variavel Limite superior Limite inferior Figura 8.4: Gr´afico de controle: processo c´ıclico. de vari´avel, entre outas. Algumas regras podem ser (Montgomery, 1991): 1. um ou mais pontos fora dos limites de controle; 2. dois de trˆes pontos consecutivos al´em dos limites de 2σ (mas ainda dentro dos limites de controle); 3. quatro de cinco pontos consecutivos al´em do limite de 1σ; 4. oito pontos consecutivos acima ou abaixo da linha central; 5. seis pontos em uma linha crescente ou decrescente; 6. quinze pontos em linha, acima ou abaixo da m´edia; 7. quatorze pontos alternados para cima e para baixo; 8. oito pontos em linha em ambos os lados da linha central e nenhum em at´e 1σ; 9. um padr˜ao incomum ou n˜ao aleat´orio; 10. um ou mais pontos pr´oximos dos limites de controle. Em resumo, um gr´afico de controle ajuda a: • monitorar e reduzir a variabilidade; • monitorar um processo ao longo do tempo; • detectar rapidamente pontos fora de controle e tendˆencias; • realizar corre¸c˜oes, diminuindo o n´umero de produtos defeituosos. 8.2. Gr´aficos de Controle para Vari´aveis 127 8.2 Gr´aficos de Controle para Vari´aveis Introdu¸c˜ao Quando trabalhamos com vari´aveis do tipo comprimento, largura, diˆametro, ou seja, vari´aveis que possuem uma escala cont´ınua, s˜ao utilizados gr´aficos de controle para vari´a- veis, que ser˜ao apresentados nessa se¸c˜ao. No caso de vari´aveis, existem trˆes gr´aficos usuais: ¯x, R e s. O gr´afico ¯x ´e utilizado para monitorar a m´edia do processo, enquanto os gr´aficos R e s s˜ao utilizados para monitorar a variabilidade do processo. Nos gr´aficos da Figura 8.5, a seguir, pode-se perceber a importˆancia de se monitorar a m´edia e a variˆancia de um processo. LIE LSE µ0 (a) σ0 LIE LSE µ0 µ1 (b) σ0 µ1 > µ0 LIE LSE µ0 (c) σ1 σ1 > σ0 Figura 8.5: Efeito da m´edia e desvio padr˜ao em rela¸c˜ao aos limites de especifica¸c˜ao (LIE= limite inferior de especifica¸c˜ao e LSE= limite superior de especifica¸c˜ao). 128 Controle Estat´ıstico de Qualidade Anjos, A. dos Na Figura 8.5(a), o processo comporta-se dentro dos limites de especifica¸c˜ao. J´a, nas Figuras 8.5(b) e 8.5(c), existe uma chance maior de produtos serem defeituosos ou n˜ao-conformes. 8.2.1 Gr´aficos de controle para ¯x e R Considere uma vari´avel com distribui¸c˜ao Normal com m´edia µ e desvio padr˜ao σ (µ e σ desconhecidos). Se x1, x2, . . . , xn ´e uma amostra de tamanho n, ent˜ao a m´edia da amostra ´e dada por: ¯x = x1 + x2 + . . . + xn n sendo ¯x normalmente distribu´ıdo com m´edia µ e desvio padr˜ao σ¯x = σ √n. Sabemos, tamb´em, que, a probabilidade de que alguma m´edia amostral n˜ao perten¸ca ao intervalo µ ± zα/2 σ √n ´e 1 − α. Como visto antes, zα/2 ´e geralmente substitu´ıdo por 3, que significa um limite de 3 sigmas. Em geral, para constru¸c˜ao do gr´afico de controle s˜ao necess´arias m = 20 a m = 25 amostras de tamanho n. Normalmente, as amostras tˆem tamanho pequeno, 4 a 6 observa¸c˜oes. Sejam agora, ¯x1, ¯x2, . . . , ¯xm as m´edias de cada uma das m amostras, ent˜ao, ¯¯x = ¯x1 + ¯x2 + . . . + ¯xm m ´e o melhor estimador da m´edia do processo. Nesse caso, ¯¯x representa a linha central do gr´afico de controle. Os limites de controle podem ser estimados a partir do desvio padr˜ao ou da amplitude das m amostras. Inicialmente, vamos trabalhar com a amplitude. Se x1, x2, . . . , xn ´e uma amostra de tamanho n, a amplitude ´e a diferen¸ca entre o maior e o menor valor observado na amostra, isto ´e: R = xmax − xmin. Considerando R1, R2, . . . , Rm, a amplitude das m amostras, ent˜ao, ¯R = R1 + R2 + . . . + Rm m ´e definido como a amplitude m´edia. Os limites de controle para o gr´afico ¯x ser˜ao dados por: 8.2. Gr´aficos de Controle para Vari´aveis 131 Pode-se reescrever as express˜oes do gr´afico de controle por: LSC = B4¯s Linha central = ¯s LIC = B3¯s. Observe, ainda, que, B4 = B6/c4 e B3 = B5/c4. Gr´afico ¯x Utilizando ¯s c4 como estimador de σ, pode-se definir os limites de controle para o gr´afico ¯x como: LSC = ¯¯x + 3¯s c4 √n Linha central = ¯¯x LIC = ¯¯x − 3¯s c4 √n Definindo-se a constante A3 = 3/(c4 √n) tem-se LSC = ¯¯x + A3¯s Linha central = ¯¯x LIC = ¯¯x − A3¯s 8.2.3 Exemplos Exemplo 8.1. Considere um conjunto de dados sobre espessura de uma pe¸ca de metal medida em mil´ımetros (Tabela 8.1). Nesse exemplo, 20 amostras de tamanho n=5 foram obtidas. Um gr´afico de controle para a m´edia para esses dados ´e apresentado na Figura 8.6 Podemos observar no gr´afico da Figura 8.6 que n˜ao h´a pontos localizados al´em dos limites de controle inferior e superior. Portanto, considerando as regras sugeridas na Se¸c˜ao 8.1.3 podemos dizer que o processo est´a sob controle. Al´em disso, para os dados da Tabela 8.1, os gr´aficos de controle R e s s˜ao apresenta- dos nas Figuras 8.7 e 8.8, respectivamente. Nesses gr´aficos, podemos observar que n˜ao h´a pontos fora dos limites de controle. Seguindo as regras sugeridas na p´agina 8.1.3, tamb´em n˜ao h´a suspeitas de que o processo esteja fora de controle. 132 Controle Estat´ıstico de Qualidade Anjos, A. dos Tabela 8.1: Dados de espessura (mm) de uma pe¸ca de metal. Amostra Medidas 1 2 3 4 5 1 9.88 10.03 10.09 9.96 9.92 2 9.99 10.02 9.97 9.86 10.03 3 9.93 10.06 10.01 10.10 10.00 4 10.00 10.04 10.12 9.99 10.08 5 9.93 9.99 9.97 10.00 9.99 6 9.83 9.98 9.94 10.04 10.07 7 10.11 9.92 9.96 9.99 9.99 8 10.00 9.96 10.03 9.96 9.97 9 9.99 9.89 9.97 9.85 9.96 10 10.06 10.02 10.06 10.01 10.01 11 10.06 10.03 9.95 9.93 9.94 12 10.13 10.10 9.87 9.81 10.06 13 9.98 10.01 9.94 10.11 9.91 14 10.01 10.04 10.00 10.11 10.03 15 10.03 9.95 10.23 9.93 9.96 16 10.09 9.97 9.93 10.02 10.09 17 9.96 10.02 10.07 10.03 10.14 18 9.97 10.04 9.96 9.85 9.90 19 9.93 10.12 9.88 9.81 9.94 20 9.99 9.92 9.99 9.92 9.95 amostras espessura (mm) 9.90 9.95 10.00 10.05 10.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 LCL UCL Figura 8.6: Gr´afico de controle para m´edia - sem problemas (Tabela 8.1). 8.2. Gr´aficos de Controle para Vari´aveis 133 amostras espessura (mm) 0.0 0.1 0.2 0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 LCL UCL Figura 8.7: Gr´afico de controle para amplitude - dados da Tabela 8.1 amostras espessura (mm) 0.00 0.05 0.10 0.15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 LCL UCL Figura 8.8: Gr´afico de controle para o desvio padr˜ao - dados da Tabela 8.1. 134 Controle Estat´ıstico de Qualidade Anjos, A. dos Exemplo 8.2. Consideremos agora, outro conjunto de dados sobre espessura de uma pe¸ca de metal, avaliados em outro momento (Tabela 8.2). Nessa situa¸c˜ao, observe que um dos pontos amostrais ultrapassa o limite superior de controle (Figura 8.9). Em princ´ıpio, nesse momento deveria ser realizada uma interven¸c˜ao no processo para descobrir a causa do problema. Tabela 8.2: Dados de espessura (mm) de uma pe¸ca de metal avaliados ap´os interven¸c˜ao no processo. Amostra Medidas 1 2 3 4 5 1 10, 18 9, 90 9, 94 9.97 9.92 2 9.92 10.06 9.99 10, 01 10.18 3 10, 03 10.22 10.18 10.03 10.15 4 10.04 9, 93 9.98 10, 40 10.08 5 10, 07 10, 06 10, 10 9, 89 10, 10 6 10, 01 10, 06 10, 05 9, 92 9, 98 7 9.93 10.06 10.01 9.99 9.97 8 9, 96 10, 08 9, 91 9.99 10, 03 9 10, 10 9.94 9.98 9.90 9.97 10 9, 97 10.11 10.05 10.01 10.07 11 9, 98 10.00 10, 03 10, 14 10, 06 12 10.04 9, 87 10, 03 10, 01 9, 93 13 10, 01 10.01 10, 04 10.06 10, 03 14 10.09 10.06 10.09 10.10 10.06 15 10.03 9.93 9.95 9.93 9.87 16 9.89 9.93 9.96 10.00 10.19 17 10.03 10.00 10.00 9.97 9.94 18 9.98 9.97 9.98 9.86 10.05 19 10.13 9.95 10.05 10.02 10.07 20 9.95 10.09 9.88 9.96 9.99 8.2. Gr´aficos de Controle para Vari´aveis 135 amostras espessura (mm) 9.95 10.00 10.05 10.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 LCL UCL Figura 8.9: Gr´afico de controle para m´edia - com problemas (Tabela 8.2). Tabelas 137 Tabela 1: Distribui¸c˜ao Normal: P(0 ≤ Z ≤ zc). Parte inteira Segunda decimal de zc e primeira decimal de zc 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 138 Tabelas Tabela 2: Distribui¸c˜ao Normal padr˜ao com valores de P[−∞ ≤ Z ≤ Zc]. Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 -0,1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 -0,2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 -0,3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 -0,4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 -0,5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 -0,6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 -0,7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 -0,8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 -0,9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 -1,0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 -1,1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 -1,2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 -1,3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 -1,4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 -1,5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 -1,6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 -1,7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 -1,8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 -1,9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 -2,0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 -2,1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 -2,2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 -2,3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 -2,4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 -2,5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 -2,6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 -2,7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 -2,8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 -2,9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 -3,0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 -3,1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 -3,2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 -3,3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003 -3,4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 -3,5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 -3,6 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 -3,7 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 -3,8 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 -3,9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Tabelas 139 Tabela 3: Distribui¸c˜ao Normal padr˜ao com valores de P[−∞ ≤ Z ≤ Zc] (continua¸c˜ao). Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0,1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0,2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0,3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0,4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0,5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0,6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0,7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0,8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0,9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1,0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1,1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1,2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1,3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1,4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1,5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1,6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1,7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1,8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1,9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2,0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2,1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2,2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2,3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2,4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2,5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2,6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2,7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2,8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2,9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3,0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3,1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3,2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3,3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3,4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3,5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3,6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3,7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3,8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3,9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 140 Tabelas Tabela 4: Limites unilaterais de F ao n´ıvel de 5% de probabilidade n1=n´umero de graus de liberdade do numerador, n2= n´umero de graus de liberdade do denominador n2\n1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 24 30 40 60 120 ∞ 1 161,4 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 236,8 238,9 240,5 241,9 243,0 243,9 244,7 245,4 245,9 246,5 248,0 249,1 250,1 251,1 252,2 253,3 254,3 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,40 19,41 19,42 19,42 19,43 19,43 19,45 19,45 19,46 19,47 19,48 19,49 19,50 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,76 8,74 8,73 8,71 8,70 8,69 8,66 8,64 8,62 8,59 8,57 8,55 8,53 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94 5,91 5,89 5,87 5,86 5,84 5,80 5,77 5,75 5,72 5,69 5,66 5,63 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70 4,68 4,66 4,64 4,62 4,60 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 4,37 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 3,98 3,96 3,94 3,92 3,87 3,84 3,81 3,77 3,74 3,70 3,67 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60 3,57 3,55 3,53 3,51 3,49 3,44 3,41 3,38 3,34 3,30 3,27 3,23 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31 3,28 3,26 3,24 3,22 3,20 3,15 3,12 3,08 3,04 3,01 2,97 2,93 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10 3,07 3,05 3,03 3,01 2,99 2,94 2,90 2,86 2,83 2,79 2,75 2,71 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94 2,91 2,89 2,86 2,85 2,83 2,77 2,74 2,70 2,66 2,62 2,58 2,54 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82 2,79 2,76 2,74 2,72 2,70 2,65 2,61 2,57 2,53 2,49 2,45 2,40 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72 2,69 2,66 2,64 2,62 2,60 2,54 2,51 2,47 2,43 2,38 2,34 2,30 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,63 2,60 2,58 2,55 2,53 2,51 2,46 2,42 2,38 2,34 2,30 2,25 2,21 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,57 2,53 2,51 2,48 2,46 2,44 2,39 2,35 2,31 2,27 2,22 2,18 2,13 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,38 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 2,11 2,07 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,46 2,42 2,40 2,37 2,35 2,33 2,28 2,24 2,19 2,15 2,11 2,06 2,01 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,33 2,31 2,29 2,23 2,19 2,15 2,10 2,06 2,01 1,96 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37 2,34 2,31 2,29 2,27 2,25 2,19 2,15 2,11 2,06 2,02 1,97 1,92 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,26 2,23 2,21 2,16 2,11 2,07 2,03 1,98 1,93 1,88 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31 2,28 2,25 2,22 2,20 2,18 2,12 2,08 2,04 1,99 1,95 1,90 1,84 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,28 2,25 2,22 2,20 2,18 2,16 2,10 2,05 2,01 1,96 1,92 1,87 1,81 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,26 2,23 2,20 2,17 2,15 2,13 2,07 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,78 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,24 2,20 2,18 2,15 2,13 2,11 2,05 2,01 1,96 1,91 1,86 1,81 1,76 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,22 2,18 2,15 2,13 2,11 2,09 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,79 1,73 25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,20 2,16 2,14 2,11 2,09 2,07 2,01 1,96 1,92 1,87 1,82 1,77 1,71 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,18 2,15 2,12 2,09 2,07 2,05 1,99 1,95 1,90 1,85 1,80 1,75 1,69 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,17 2,13 2,10 2,08 2,06 2,04 1,97 1,93 1,88 1,84 1,79 1,73 1,67 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,15 2,12 2,09 2,06 2,04 2,02 1,96 1,91 1,87 1,82 1,77 1,71 1,65 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,14 2,10 2,08 2,05 2,03 2,01 1,94 1,90 1,85 1,81 1,75 1,70 1,64 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,13 2,09 2,06 2,04 2,01 1,99 1,93 1,89 1,84 1,79 1,74 1,68 1,62 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,04 2,00 1,97 1,95 1,92 1,90 1,84 1,79 1,74 1,69 1,64 1,58 1,51 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,95 1,92 1,89 1,86 1,84 1,82 1,75 1,70 1,65 1,59 1,53 1,47 1,39 120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 1,87 1,83 1,80 1,78 1,75 1,73 1,66 1,61 1,55 1,50 1,43 1,35 1,25 ∞ 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 1,79 1,75 1,72 1,69 1,67 1,64 1,57 1,52 1,46 1,39 1,32 1,22 1,01 Tabelas 141 Tabela 5: Limites unilaterais de F ao n´ıvel de 1% de probabilidade n1=n´umero de graus de liberdade do numerador, n2= n´umero de graus de liberdade do denominador n2\n1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 24 30 40 60 120 ∞ 1 4052,2 4999,3 5403,5 5624,3 5764,0 5859,0 5928,3 5981,0 6022,4 6055,9 6083,4 6106,7 6125,8 6143,0 6157,0 6170,0 6208,7 6234,3 6260,4 6286,4 6313,0 6339,5 6365,6 2 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39 99,40 99,41 99,42 99,42 99,43 99,43 99,44 99,45 99,46 99,47 99,48 99,48 99,49 99,50 3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,13 27,05 26,98 26,92 26,87 26,83 26,69 26,60 26,50 26,41 26,32 26,22 26,13 4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,45 14,37 14,31 14,25 14,20 14,15 14,02 13,93 13,84 13,75 13,65 13,56 13,46 5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,96 9,89 9,82 9,77 9,72 9,68 9,55 9,47 9,38 9,29 9,20 9,11 9,02 6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,79 7,72 7,66 7,60 7,56 7,52 7,40 7,31 7,23 7,14 7,06 6,97 6,88 7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,54 6,47 6,41 6,36 6,31 6,28 6,16 6,07 5,99 5,91 5,82 5,74 5,65 8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,73 5,67 5,61 5,56 5,52 5,48 5,36 5,28 5,20 5,12 5,03 4,95 4,86 9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,18 5,11 5,05 5,01 4,96 4,92 4,81 4,73 4,65 4,57 4,48 4,40 4,31 10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,77 4,71 4,65 4,60 4,56 4,52 4,41 4,33 4,25 4,17 4,08 4,00 3,91 11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,46 4,40 4,34 4,29 4,25 4,21 4,10 4,02 3,94 3,86 3,78 3,69 3,60 12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,22 4,16 4,10 4,05 4,01 3,97 3,86 3,78 3,70 3,62 3,54 3,45 3,36 13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 4,02 3,96 3,91 3,86 3,82 3,78 3,66 3,59 3,51 3,43 3,34 3,25 3,17 14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,86 3,80 3,75 3,70 3,66 3,62 3,51 3,43 3,35 3,27 3,18 3,09 3,00 15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 3,61 3,56 3,52 3,49 3,37 3,29 3,21 3,13 3,05 2,96 2,87 16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,62 3,55 3,50 3,45 3,41 3,37 3,26 3,18 3,10 3,02 2,93 2,84 2,75 17 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,52 3,46 3,40 3,35 3,31 3,27 3,16 3,08 3,00 2,92 2,83 2,75 2,65 18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,43 3,37 3,32 3,27 3,23 3,19 3,08 3,00 2,92 2,84 2,75 2,66 2,57 19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,36 3,30 3,24 3,19 3,15 3,12 3,00 2,92 2,84 2,76 2,67 2,58 2,49 20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,29 3,23 3,18 3,13 3,09 3,05 2,94 2,86 2,78 2,69 2,61 2,52 2,42 21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 3,24 3,17 3,12 3,07 3,03 2,99 2,88 2,80 2,72 2,64 2,55 2,46 2,36 22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 3,18 3,12 3,07 3,02 2,98 2,94 2,83 2,75 2,67 2,58 2,50 2,40 2,31 23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,14 3,07 3,02 2,97 2,93 2,89 2,78 2,70 2,62 2,54 2,45 2,35 2,26 24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 3,09 3,03 2,98 2,93 2,89 2,85 2,74 2,66 2,58 2,49 2,40 2,31 2,21 25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 3,06 2,99 2,94 2,89 2,85 2,81 2,70 2,62 2,54 2,45 2,36 2,27 2,17 26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 3,02 2,96 2,90 2,86 2,81 2,78 2,66 2,58 2,50 2,42 2,33 2,23 2,13 27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 2,99 2,93 2,87 2,82 2,78 2,75 2,63 2,55 2,47 2,38 2,29 2,20 2,10 28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,96 2,90 2,84 2,79 2,75 2,72 2,60 2,52 2,44 2,35 2,26 2,17 2,06 29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 2,93 2,87 2,81 2,77 2,73 2,69 2,57 2,49 2,41 2,33 2,23 2,14 2,03 30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,91 2,84 2,79 2,74 2,70 2,66 2,55 2,47 2,39 2,30 2,21 2,11 2,01 40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,73 2,66 2,61 2,56 2,52 2,48 2,37 2,29 2,20 2,11 2,02 1,92 1,80 60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,56 2,50 2,44 2,39 2,35 2,31 2,20 2,12 2,03 1,94 1,84 1,73 1,60 120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47 2,40 2,34 2,28 2,23 2,19 2,15 2,03 1,95 1,86 1,76 1,66 1,53 1,38 ∞ 6,64 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 2,25 2,18 2,13 2,08 2,04 2,00 1,88 1,79 1,70 1,59 1,47 1,32 1,01 142 Tabelas Tabela 6: Valores de t em n´ıveis de 10% a 0,1% de probabilidade. GL 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001 1 6,31 12,71 31,82 63,66 636,58 2 2,92 4,30 6,96 9,92 31,60 3 2,35 3,18 4,54 5,84 12,92 4 2,13 2,78 3,75 4,60 8,61 5 2,02 2,57 3,36 4,03 6,87 6 1,94 2,45 3,14 3,71 5,96 7 1,89 2,36 3,00 3,50 5,41 8 1,86 2,31 2,90 3,36 5,04 9 1,83 2,26 2,82 3,25 4,78 10 1,81 2,23 2,76 3,17 4,59 11 1,80 2,20 2,72 3,11 4,44 12 1,78 2,18 2,68 3,05 4,32 13 1,77 2,16 2,65 3,01 4,22 14 1,76 2,14 2,62 2,98 4,14 15 1,75 2,13 2,60 2,95 4,07 16 1,75 2,12 2,58 2,92 4,01 17 1,74 2,11 2,57 2,90 3,97 18 1,73 2,10 2,55 2,88 3,92 19 1,73 2,09 2,54 2,86 3,88 20 1,72 2,09 2,53 2,85 3,85 21 1,72 2,08 2,52 2,83 3,82 22 1,72 2,07 2,51 2,82 3,79 23 1,71 2,07 2,50 2,81 3,77 24 1,71 2,06 2,49 2,80 3,75 25 1,71 2,06 2,49 2,79 3,73 26 1,71 2,06 2,48 2,78 3,71 27 1,70 2,05 2,47 2,77 3,69 28 1,70 2,05 2,47 2,76 3,67 29 1,70 2,05 2,46 2,76 3,66 30 1,70 2,04 2,46 2,75 3,65 40 1,68 2,02 2,42 2,70 3,55 60 1,67 2,00 2,39 2,66 3,46 120 1,66 1,98 2,36 2,62 3,37 ∞ 1,65 1,96 2,33 2,58 3,30 Tabelas 143 Tabela 7: Valores da amplitude total estudentizada (q), para uso no teste de Tukey, ao n´ıvel de 5% de probabilidade. I=n´umero de tratamentos, GLRES= n´umero de graus de liberdade do res´ıduo. GLRES\I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 17,97 26,98 32,82 37,08 40,41 43,40 45,40 47,36 49,07 50,59 51,96 53,20 54,33 55,36 56,32 57,22 58,04 58,83 59,56 2 6,09 8,33 9,80 10,88 11,74 12,44 13,03 13,54 13,99 14,39 14,75 15,08 15,33 15,65 15,91 16,14 16,37 16,57 16,77 3 4,50 5,91 6,83 7,50 8,04 8,48 8,85 9,18 9,46 9,72 9,95 10,15 10,35 10,53 10,69 10,84 10,98 11,11 11,24 4 3,93 5,04 5,76 6,29 6,71 7,05 7,35 7,60 7,83 8,03 8,21 8,37 8,53 8,66 8,79 8,91 9,03 9,13 9,23 5 3,64 4,60 5,22 5,67 6,03 6,33 6,58 6,80 7,00 7,17 7,32 7,47 7,60 7,72 7,83 7,93 8,03 8,12 8,21 6 3,46 4,34 4,90 5,31 5,63 5,90 6,12 6,32 6,49 6,65 6,79 6,92 7,03 7,14 7,24 7,34 7,43 7,51 7,59 7 3,34 4,17 4,68 5,06 5,36 5,61 5,82 6,00 6,16 6,30 6,43 6,55 6,66 6,76 6,85 6,94 7,02 7,10 7,17 8 3,26 4,04 4,53 4,89 5,17 5,40 5,60 5,77 5,92 6,05 6,18 6,29 6,39 6,48 6,57 6,65 6,73 6,80 6,87 9 3,20 3,95 4,42 4,76 5,02 5,24 5,43 5,60 5,74 5,87 5,98 6,09 6,19 6,28 6,36 6,44 6,51 6,58 6,64 10 3,15 3,88 4,33 4,65 4,91 5,12 5,31 5,46 5,60 5,72 5,83 5,94 6,03 6,11 6,19 6,27 6,34 6,41 6,47 11 3,11 3,82 4,26 4,57 4,82 5,03 5,20 5,35 5,49 5,61 5,71 5,81 5,90 5,98 6,06 6,13 6,20 6,27 6,33 12 3,08 3,77 4,20 4,51 4,75 4,95 5,12 5,27 5,40 5,51 5,62 5,71 5,80 5,88 5,95 6,02 6,09 6,15 6,21 13 3,06 3,74 4,15 4,45 4,69 4,89 5,05 5,19 5,32 5,43 5,53 5,63 5,71 5,79 5,86 5,93 6,00 6,06 6,11 14 3,03 3,70 4,11 4,41 4,64 4,83 4,99 5,13 5,25 5,36 5,46 5,55 5,64 5,71 5,79 5,85 5,92 5,97 6,03 15 3,01 3,67 4,08 4,37 4,60 4,78 4,94 5,08 5,20 5,31 5,40 5,49 5,57 5,65 5,72 5,79 5,85 5,90 5,96 16 3,00 3,65 4,05 4,33 4,56 4,74 4,90 5,03 5,15 5,26 5,35 5,44 5,52 5,59 5,66 5,73 5,79 5,84 5,90 17 2,98 3,63 4,02 4,30 4,52 4,71 4,86 4,99 5,11 5,21 5,31 5,39 5,47 5,54 5,61 5,68 5,73 5,79 5,84 18 2,97 3,61 4,00 4,28 4,50 4,67 4,82 4,96 5,07 5,17 5,27 5,35 5,43 5,50 5,57 5,63 5,69 5,74 5,79 19 2,96 3,59 3,98 4,25 4,47 4,65 4,79 4,92 5,04 5,14 5,23 5,32 5,39 5,46 5,53 5,59 5,65 5,70 5,75 20 2,95 3,58 3,96 4,23 4,45 4,62 4,77 4,90 5,01 5,11 5,20 5,28 5,36 5,43 5,49 5,55 5,61 5,66 5,71 24 2,92 3,53 3,90 4,17 4,37 4,54 4,68 4,81 4,92 5,01 5,10 5,18 5,25 5,32 5,38 5,44 5,49 5,55 5,59 30 2,89 3,49 3,85 4,10 4,30 4,46 4,60 4,72 4,82 4,92 5,00 5,08 5,15 5,21 5,27 5,33 5,38 5,43 5,48 40 2,86 3,44 3,79 4,04 4,23 4,39 4,52 4,64 4,74 4,82 4,90 4,98 5,04 5,11 5,16 5,22 5,27 5,31 5,36 60 2,83 3,40 3,74 3,98 4,16 4,31 4,44 4,55 4,65 4,73 4,81 4,88 4,94 5,00 5,06 5,11 5,15 5,20 5,24 120 2,80 3,36 3,69 3,92 4,10 4,24 4,36 4,47 4,56 4,64 4,71 4,78 4,84 4,90 4,95 5,00 5,04 5,09 5,13 ∞ 2,77 3,31 3,63 3,86 4,03 4,17 4,29 4,39 4,47 4,55 4,62 4,69 4,74 4,80 4,85 4,89 4,93 4,97 5,01 144 Tabelas Tabela 8: Distribui¸c˜ao de Qui-quadrado.Valor cr´ıtico de χ2 tal que P(χ2 k > χ2 0) = α. GL 0,995 0,975 0,05 0,025 0,01 0,005 1 0,00 0,00 3,84 5,02 6,63 7,88 2 0,01 0,05 5,99 7,38 9,21 10,60 3 0,07 0,22 7,81 9,35 11,34 12,84 4 0,21 0,48 9,49 11,14 13,28 14,86 5 0,41 0,83 11,07 12,83 15,09 16,75 6 0,68 1,24 12,59 14,45 16,81 18,55 7 0,99 1,69 14,07 16,01 18,48 20,28 8 1,34 2,18 15,51 17,53 20,09 21,95 9 1,73 2,70 16,92 19,02 21,67 23,59 10 2,16 3,25 18,31 20,48 23,21 25,19 11 2,60 3,82 19,68 21,92 24,73 26,76 12 3,07 4,40 21,03 23,34 26,22 28,30 13 3,57 5,01 22,36 24,74 27,69 29,82 14 4,07 5,63 23,68 26,12 29,14 31,32 15 4,60 6,26 25,00 27,49 30,58 32,80 16 5,14 6,91 26,30 28,85 32,00 34,27 17 5,70 7,56 27,59 30,19 33,41 35,72 18 6,26 8,23 28,87 31,53 34,81 37,16 19 6,84 8,91 30,14 32,85 36,19 38,58 20 7,43 9,59 31,41 34,17 37,57 40,00 21 8,03 10,28 32,67 35,48 38,93 41,40 22 8,64 10,98 33,92 36,78 40,29 42,80 23 9,26 11,69 35,17 38,08 41,64 44,18 24 9,89 12,40 36,42 39,36 42,98 45,56 25 10,52 13,12 37,65 40,65 44,31 46,93 26 11,16 13,84 38,89 41,92 45,64 48,29 27 11,81 14,57 40,11 43,19 46,96 49,65 28 12,46 15,31 41,34 44,46 48,28 50,99 29 13,12 16,05 42,56 45,72 49,59 52,34 30 13,79 16,79 43,77 46,98 50,89 53,67 40 20,71 24,43 55,76 59,34 63,69 66,77 50 27,99 32,36 67,50 71,42 76,15 79,49 60 35,53 40,48 79,08 83,30 88,38 91,95 70 43,28 48,76 90,53 95,02 100,43 104,21 80 51,17 57,15 101,88 106,63 112,33 116,32 90 59,20 65,65 113,15 118,14 124,12 128,30 100 67,33 74,22 124,34 129,56 135,81 140,17 Tabelas 145 Tabela 9: Constantes utilizadas em gr´aficos de controle. n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d2 1,128 1,693 2,059 2,326 2,534 2,704 2,847 2,970 3,078 A2 1,880 1,023 0,729 0,577 0,483 0,419 0,373 0,337 0,308 D3 0 0 0 0 0 0,076 0,136 0,184 0,223 D4 3,267 2,574 2,282 2,115 2,004 1,924 1,864 1,816 1,777 146 Tabelas Tabela 10: Tabela de n´umeros aleat´orios. 5831 3593 7697 2402 7192 9763 2608 7666 4805 8983 0329 4626 1431 2626 2218 6421 4003 0693 4081 9964 0887 4587 2648 2129 0498 9704 4756 0118 1180 1277 1498 1963 4045 1073 6264 5038 4925 2853 1290 0099 9595 6956 2372 0274 2471 3788 9312 4956 7262 4057 4845 8640 0425 4696 4774 4046 0852 5475 7236 4777 5170 0203 4461 4874 1298 2457 2775 3462 6009 5119 7337 1302 4168 7779 4144 1390 9695 6552 9329 2647 2746 6260 3101 4268 6591 1320 8902 3486 9066 5121 9471 8821 4898 6327 2711 2013 0792 5373 4664 9335 6172 3755 5232 6237 9471 1128 2456 8640 3924 1947 1923 5535 1086 6247 5881 1976 5393 9006 9362 7370 1070 7911 0222 2388 2552 4188 4593 8292 3719 1226 9038 4724 1221 6165 0037 4000 5508 9928 8988 1470 5709 0600 3585 1096 4035 5872 3871 7458 6621 7333 2129 7857 7369 4400 8369 6732 8793 8982 8134 2611 4941 6740 8781 2886 2012 4945 0264 3763 1762 7386 6202 4037 9508 5436 8916 0458 7179 6309 4185 4682 6866 9907 9743 1329 4079 3955 9463 9986 5227 1770 2769 5101 5428 7775 7116 0745 7552 1681 5522 1667 4898 6958 5210 4028 8048 9149 3589 0240 3546 4945 4353 9374 7637 3488 0494 8868 6563 6774 9651 1073 5409 8034 3418 9449 5214 6998 4539 7871 5044 3203 4891 7862 8298 9234 7204 7190 6566 1856 2168 9239 0360 7198 2739 3830 3786 8491 9299 3728 7012 1126 3983 9363 1160 3338 6426 0725 6483 3444 1453 2868 4664 2212 1538 2411 7811 8247 8095 2753 6160 7533 6438 4394 3756 8422 4025 1408 1366 7558 9937 6569 7616 2278 7790 3027 0741 8139 5109 3346 1354 4499 9764 7151 7209 9928 4897 4321 7532 6877 3750 3949 1637 6059 6343 0849 8914 3694 3972 0833 8150 2178 2447 5433 3293 8925 7496 6506 4186 9895 0069 0818 3768 8880 3248 8456 8902 5854 4263 6916 4360 7137 4826 9219 1854 4410 0628 7700