Listas de Exercícios 2 com Gabarito de Prob e Estat-2022 2

Lista de Exercícios 2 – Probabilidade e Variáveis Aleatórias. Profª. Angélica Maria. 1. Uma fábrica produz determinado artigo. Da linha de produção são retirados três artigos, e cada um é classificado como bom (B) ou defeituoso (D). Defina o espaço amostral do experimento. Seja A representando o evento que consiste em obter exatamente dois artigos defeituosos, apresente o evento A. 2. Considere o experimento que consiste em retirar uma lâmpada de um lote e medir seu “tempo de vida” antes de queimar. Apresente um espaço amostral conveniente para esta situação. Considere o evento A = “o tempo de vida da lâmpada é inferior a 20 horas”. Apresente os elementos do evento A. 3. Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas vermelhas (V). Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra. Dê o espaço amostral para o experimento. 4. Lance um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez. Quais os possíveis resultados para esse experimento? 5. Uma moeda e um dado são lançados. Dê o espaço amostral do experimento. 6. Defina o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: a) Lançam-se dois dados e anota-se a configuração obtida. b) Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num intervalo de uma hora. c) Investigam-se famílias com três crianças, e observa-se o sexo das crianças. d) Lança-se uma moeda até aparecer cara e observa-se o número de lançamentos. e) De um grupo de cinco pessoas {A,B,C,D,E}, sorteiam-se duas, uma após a outra, com reposição, e anota- se a configuração formada. f) Mesmo enunciado que (e), sem reposição. g) De cada família entrevistada numa pesquisa, anotam-se a classe social a que pertence (A,B,C,D) e o estado civil do chefe da família (Solteiro,Casado). 7. Uma moeda é lançada duas vezes sobre uma superfície plana. Em cada lançamento pode ocorrer cara (K) ou coroa (C). Apresente o espaço amostral deste experimento. Considere os eventos: A = “O número de caras é igual ao número de coroas” e B = “Ocorre pelo menos uma cara”. Apresente os eventos: A , B , C A , C B , A B , A  BC , B C A ) (  , AC  B , C C A  B . 8. Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 15. Selecionamos uma bola, ao acaso, e anotamos seu numero. Considere os eventos: A = “O número da bola retirada é par” e B = “O número da bola retirada é divisível por 3”. Determine: A, B , C A , C B , A B , A B , A  BC , B C A ) (  , AC  B , C C A  B , A  BC , B C A B A ) ( ) (    . 9. Na Tabela a seguir temos dados referentes a alunos matriculados em quatro cursos de uma universidade em um dado ano. Tabela 1 – Distribuição de alunos segundo o sexo e escolha de curso. Sexo Curso Homens (H) Mulheres (F) Total Contábeis (C) 70 40 110 Matemática (M) 15 15 30 Estatística (E) 10 20 30 Computação (A) 20 10 30 Total 115 85 200 Obtenha: P(C) , P(H) , P(F) , ) ( H P C  , ) ( F P C  , ) ( F P E  , ) ( E P M  , ) ] [( H C P E  , ) ( F P H  , ) ( A E M P C    . 10. Consideremos um experimento aleatório e os eventos A e B associados a ele, tais que 8,0 ) ( P A  B  C , ,017 ) (   BC P A e ,0 03 ) ( P A B  . Calcule: P(A) , P(B) , ) ( P AC , ) ( P BC , ) ( B P A  , ) ( C C B P A  , ) ( C C B P A  , ) ] [( B C P A  e )] ( ) [( C C B A B P A    . 11. Considere o experimento de lançar duas moedas. Liste os eventos: a) pelo menos uma cara ocorre; b) exatamente duas caras ocorrem; c) Ocorre o complementar do evento em (b). 12. Expresse em termos de operações entre eventos: a) A ocorre mas B não ocorre; b) B ocorre mas A não ocorre; c) Exatamente um dos eventos A e B ocorre; d) Nenhum dos dois eventos A e B ocorre. 13. Considere o lançamento de dois dados. Considere os eventos: A = “soma dos números obtidos igual a 9”, e B = “número do primeiro dado maior ou igual a 4”. Enumere os elementos de A e B. Obtenha A B , A B e C A , e suas probabilidades. 14. Considere uma urna contendo três bolas pretas e cinco bolas vermelhas. Retire duas bolas da urna, sem reposição. a) Obtenha os resultados possíveis e as respectivas probabilidades. b) Mesmo problema, para extrações com reposição. 15. No problema anterior, calcule as probabilidades dos eventos: a) Bola preta na primeira e segunda extrações. b) Bola preta na segunda extração. c) Bola vermelha na primeira extração. 16. A probabilidade de que um aluno A resolva um problema é de 2/3, e a probabilidade de que um aluno B o resolva é de 3/4. Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade de o problema ser resolvido? 17. As probabilidades de que dois eventos independentes ocorram são p e q, respectivamente. Qual a probabilidade: a) De que pelo menos um desses eventos ocorra? b) De que nenhum desses eventos ocorra? 18. Na Tabela abaixo, os números que aparecem são probabilidades relacionadas com a ocorrência de A , B , A B , etc. Assim, ,010 ( ) P A  , enquanto que ,0 04 ) ( P A B  . B C B Total A 0,04 0,06 0,10 C A 0,08 0,82 0,90 Total 0,12 0,88 1,00 Verifique se A e B são independentes. 19. Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa ou prato à base de carne. Considere que 20% dos fregueses do sexo masculino preferem a salada, 30% das mulheres escolhem carne, 75% dos fregueses são homens e os seguintes eventos: H: Freguês é homem A: Freguês prefere a salada M: Freguês é mulher B: Freguês prefere carne Calcular: a) P(H) , ) | ( P A H , ) | ( P B M ; b) ) ( H P A  , ) ( H P A  ; c) ) | ( A P M . 20. Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que 2000 segurados (1000 homens e 1000 mulheres) usaram o hospital. Os resultados são apresentados na tabela: Homens Mulheres Total Usaram o hospital 100 150 250 Não usaram o hospital 900 850 1750 Total 1000 1000 2000 a) Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital? b) O uso do hospital independe do sexo do segurado? Justifique. 21. Prove que, se A e B são independentes, também serão C A e C B , A e C B e C A e B . 22. Se 1/3 ( ) P A  , 1/ 4 ) ( P BC  , A e B podem ser disjuntos (ou mutuamente exclusivos)? Justifique. (Sugestão: ) ( ) ( ) ( BC P A B P A P A     e C C B B A   . Use o fato de que, se A  B , então ( ) ( ) P B P A  ). 23. Há quatro bolas numa urna, numeradas 000, 011, 101, 110. Selecione uma bola ao acaso da urna. Considere os eventos, iA : Na bola selecionada, o número 1 aparece na posição i , 3,2,1 i  . Seja 3 2 1 A A A A    . a) Calcule ) ( iA P , 3,2,1 i  e P(A) . b) Mostre que 1 A , 2 A , 3 A são mutuamente independentes (independentes dois a dois), mas não são independentes (simultaneamente). 24. Considere dois eventos A e B mutuamente exclusivos, com 3,0 ( ) P A  e 5,0 ( ) P B  . Calcule: a) ) ( B P A  b) ) ( B P A  c) ) | ( P A B d) ) ( P Ac e)     B c P A  25. Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda F1, 30% de uma fazenda F2 e 50% de outra fazenda F3. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20% do leite produzido por F1 estava adulterado por adição de água, enquanto que para F2 e F3, essa proporção era de 5% e 2%, respectivamente. Qual a probabilidade de que uma amostra adulterada selecionada aleatoriamente, tenha sido obtida do leite fornecido pela fazenda F1? 26. Uma companhia monta rádios cujas peças são produzidas em três de suas fábricas denominadas 1A , 2 A e 3 A . Elas produzem, respectivamente, 15%, 35% e 50% do total. As probabilidades das fábricas 1A , 2 A e 3 A produzirem peças defeituosas são: 0,01, 0,05 e 0,02, respectivamente. Uma peça é escolhida ao acaso do conjunto de peças produzidas. Sabendo que essa peça é defeituosa, qual a probabilidade que tenha sido produzida pela fábrica 3A ? 27. Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido A, tem 30% de preferência eleitoral, o do partido B tem 30%, e o do partido C tem 40%. Sendo eleito, a probabilidade de dar, efetivamente, prioridade para Educação é de 0,4; 0,6 e 0,9, para os candidatos dos partidos A, B e C, respectivamente. a) Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essa área no próximo governo? b) Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato do partido A ter ganho a eleição? 28. A tabela a seguir apresenta informações de alunos de uma universidade quanto às variáveis: Período, Sexo e Opinião sobre a Reforma Agrária. Determine a probabilidade de escolhermos: a) Uma pessoa do sexo masculino e sem opinião sobre a reforma agrária? b) Uma mulher contrária a reforma agrária? c) Dentre os estudantes do noturno, um que seja a favor da reforma agrária? d) Uma pessoa sem opinião, sabendo-se que ela é do sexo feminino? 29. Três fábricas fornecem equipamentos de precisão para o laboratório de química de uma universidade. Apesar de serem aparelhos de precisão, existe uma pequena chance de subestimação ou superestimação das medidas efetuadas. A tabela a seguir apresenta o comportamento do equipamento produzido em cada fábrica: As fábricas I, II e III fornecem, respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos utilizados. Escolhemos, ao acaso, um desses aparelhos e perguntamos a probabilidade de: a) Haver superestimação de medidas? b) Não haver subestimação das medidas efetuadas? c) Dando medidas exatas, ter sido fabricado em III? d) Ter sido produzido por I, dado que não subestima as medidas? 30. Peças produzidas por uma máquina são classificadas como defeituosas, recuperáveis ou perfeitas com probabilidade de 0,1; 0,2 e 0,7; respectivamente. De um grande lote, foram sorteadas duas peças, com reposição. Calcule: a) P(duas serem defeituosas). b) P(pelo menos uma ser Perfeita). c) P(uma ser recuperável e uma perfeita). 31. O tempo T em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade: T 2 3 4 5 6 7 p(t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de $2,00, mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha $0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, recebe a quantia adicional de $1,00. Encontre a distribuição de probabilidade, a média e a variância da v.a. G: quantia em $ ganha por peça. 32. Considere a v.a. X com a seguinte função de distribuição acumulada, F(x): F(x) =              2 se x ,1 2 x 1 se 4 , 3 1 x se 0 2 , 1 0 se x ,0 Obtenha a distribuição de probabilidade de X. Calcule E(X), Var(X) e DP(X). 33. Suponha que a v.a. X tem a seguinte distribuição de probabilidade: x 0 1 Total P(X=x) a 1-a 1 Calcule E(X) e Var(X). 34. Um equipamento consiste de duas peças A e B que têm 0,10 e 0,15 de probabilidade de serem de qualidade inferior. Um operário escolhe ao acaso uma peça tipo A e uma tipo B para construir o equipamento. Na passagem pelo controle de qualidade o equipamento vai ser classificado. Será considerado como nível I, se as peças A e B forem de qualidade inferior. Será nível II, se uma delas for de qualidade inferior e, nível III, no outro caso. O lucro na venda é de R$ 10, R$ 20 ou R$ 30 para os níveis I, II ou III, respectivamente. Como se comporta a variável lucro? Para dois equipamentos vendidos, obtenha a função de probabilidade acumulada do lucro. Nesse caso, qual seria a probabilidade de pelo menos R$ 30 de lucro? 35. Uma empresa paga a seus estagiários de engenharia de acordo com o ano de curso do estudante. Para se obter o salário mensal pago por 30 horas semanais, multiplica-se o salário mínimo pelo ano de curso do estagiário. Dessa forma, o estudante do primeiro ano ganha um salário mínimo, o do segundo recebe dois e assim por diante até o quinto ano. A empresa vai empregar 2 novos estagiários e admitimos que todos os anos têm igual número de estudantes interessados no estágio (considere a população de candidatos muito grande de modo a não haver diferença entre escolher com ou sem reposição). Pergunta-se a probabilidade de: a) Os dois serem do 1º ano? b) A empresa gastar no máximo 3 salários mínimos com os estágios? c) Sabendo que gastou pelo menos 4, gastar menos de 7 salários mínimos? 36. Uma variável X tem a seguinte função de distribuição acumulada:                      15. se ,1 15; se 6 ,9,0 ;6 se 5 ,7,0 ;5 se 2 ,5,0 ;2 se 1 ,2,0 ;1 se ,0 ) ( x x x x x - x F x Determine: a) A função de probabilidade de X. b) 2) ( P X   . c) 2) ( P X  . d) 12) (3  X  P e) 14) ( P X  37. Estatísticas de acidentes, num trecho da rodovia SP330, indicam probabilidade de 0,05 de haver um acidente durante a madrugada (24 às 6 horas). Em ocorrendo um acidente nesse período, a chance de gerar vítimas é de 0,5. Ainda considerando o período acima, se acontece um acidente com vítima, ela será fatal com probabilidade 0,1. O serviço de ajuda aos usuários: utiliza 2 veículos na inspeção do tráfego naquela área. A esse número, acrescentamos mais 2 se houver acidente. Se o acidente tem vítimas, acrescente aos anteriores mais 2 veículos e, finalmente, acrescente mais 1 se a vítima for fatal. Encontre a função de probabilidade da variável aleatória número de veículos em serviço de auxílio nessa estrada durante a madrugada. Encontre o valor médio e a variância desta variável. 38. Num certo restaurante, paga-se pelo almoço uma quantia fixa dependendo da escolha feita de prato e bebida. A carne de peixe tem 10% de preferência, enquanto frango tem 40% e carne bovina 50%. As três escolhas de bebida estão condicionadas à opção do prato, segundo a tabela abaixo: Admita os seguintes preços: a) Dado que alguém escolhe peixe, qual a probabilidade de que escolha cerveja? b) Se escolhe carne bovina, qual a probabilidade de tomar vinho? c) Sabendo que tomou água, qual a chance de ter escolhido frango? d) Determine a função de probabilidade para a variável X: preço do almoço. 39. Se X~B(n,p), sabendo-se que E(X) = 12 e Var(X) = 3, determinar: a) n b) p c) 3) ( P X  d) 14) ( P X  e)        16 14 P Y , onde n Y  X . f)        16 3 P Y , onde n Y  X . 40. Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por esta máquina são selecionados ao acaso. Qual é a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado? Qual o valor esperado e a variância do número de artigos defeituosos produzidos pela máquina neste lote de 10 itens. 41. Se X tem distribuição Binomial com parâmetros n = 5 e p = ½, faça o gráfico da distribuição de X. Qual o valor esperado e a variância de X? 42. Considere agora n = 5 e p = 1/4. Obtenha o gráfico da distribuição de X, sua média e variância. 43. Na manufatura de certo artigo, é sabido que um entre dez dos artigos é defeituoso. Sabendo que a variável de interesse é o número de artigos defeituosos numa amostra aleatória de tamanho quatro, qual a distribuição de probabilidade da variável de interesse? Qual a probabilidade de que se observe na amostra: a) Nenhum artigo defeituoso? b) Exatamente um artigo defeituoso? c) Exatamente dois artigos defeituosos? d) Não mais do que dois artigos defeituosos? 44. Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá, no máximo, duas defeituosas. Se a caixa contém 18 peças, e a experiência tem demonstrado que esse processo de fabricação produz 5% das peças defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa satisfaça a garantia? 45. Uma moeda honesta é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de se obter exatamente duas caras? E qual a probabilidade de se obter no máximo três caras? 46. Um dado honesto é lançado sete vezes. Sabendo que a variável de interesse é X: Número de ocorrências da face 5 nos sete lançamentos, apresente a distribuição de probabilidade de X? Qual a probabilidade de se obter face 5 no máximo uma vez? 47. A variável H segue o modelo Hipergeométrico com parâmetros N = 10, n = 5 e M = 4. Determine: a) 2) ( P H  b) )1 ( P H  c) 0) ( P H  48. Uma moeda honesta é lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos anteriores à ocorrência de cara. Determine: a) 2) ( P X  b) )1 ( P X  c) 5) (3  X  P 49. Um posto de pedágio atende, em média, 2 carros por minuto. Supondo que a variável de interesse é o número de carros atendidos por minuto, obtenha a probabilidade de que o pedágio atenda 5 carros em um minuto? E qual a probabilidade do posto de pedágio atender no máximo 2 carros em um minuto? 50. Por engano 3 peças defeituosas foram misturadas com boas formando um lote com 12 peças no total. Escolhendo-se, sem reposição, 4 dessas peças, determine a probabilidade de encontrar: a) Pelo menos 2 defeituosas. b) No máximo 1 defeituosa. c) No mínimo 1 boa. 51. Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa população de funcionários em 80% dos casos. Se dez funcionários quaisquer participam deste curso, encontre a probabilidade de: a) Exatamente sete funcionários aumentarem a produtividade; b) Não mais que oito funcionários aumentarem a produtividade; c) Pelo menos três funcionários não aumentarem a produtividade. 52. Um departamento de polícia recebe em média 5 solicitações por hora. Qual a probabilidade de receber 2 solicitações numa hora selecionada aleatoriamente? 53. A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param para colocar gasolina numa bomba. a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem qualquer hora? b) Qual é a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em qualquer hora? c) Qual é o valor esperado e o desvio padrão para esta distribuição? 54. X ~ Geo( 4,0 ) , calcule: a) )3 ( P X  b) 4) (2  X  P c) 2) |1 (   X P X d) )1 ( P X  55. Se X ~ N(10 4, ) , calcular: a) 10) (8  X  P b) 12) (9  X  P c) 10) ( P X  d) 11) 8 ou (   X P X 56. Para X ~ N(100,100) , calcule: a) 115) ( P X  b) 80) ( P X  c) 10) 100 ( 10     X P d) O valor a, tal que ,0 95 ) 100 (100      a X a P 57. Para ) ( , ~ N   2 X , encontre: a) 2 ) ( P X     b) ) (        X P c) O número a tal que ,0 99 ) (          a X a P d) O número b tal que ,0 90 ) ( P X  b  58. As alturas de alunos de um colégio tem distribuição aproximadamente Normal com média 170 cm e desvio padrão 5 cm. Qual a probabilidade de que a altura dos alunos seja maior que 165 cm? E qual a probabilidade de que as alturas dos alunos estejam entre 160 cm e 170 cm? Apresente a variável aleatória deste problema, juntamente com sua distribuição de probabilidade. 59. As vendas de determinado produto têm distribuição aproximadamente Normal, com média 500 unidades e variância 2500 unidades2. Se a empresa decide fabricar 600 unidades no mês em estudo, qual é a probabilidade de que não possa atender a todos os pedidos esse mês, por estar com a produção esgotada? Apresente a variável aleatória deste problema, juntamente com sua distribuição de probabilidade. 60. O diâmetro populacional de parafusos produzidos por uma fábrica é aproximadamente Normal, com média 0,85 cm e com um desvio padrão de 0,01. Qual a variável aleatória do problema, e qual sua distribuição de probabilidade? Qual a probabilidade de que os parafusos tenham diâmetro maior que 0,851 cm? 61. A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição N(8; 1,5). Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm? 62. O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição Normal com média 25,08 pol. e desvio padrão 0,05 pol. Se as especificações para esse eixo são 25,00 ± 0,15 pol., determine o percentual de unidades produzidas em conformidades com as especificações. 63. Suponha que as medidas da corrente elétrica em pedaço de fio sigam a distribuição Normal, com uma média de 10 miliamperes e uma variância de 4 miliamperes. a) Qual a probabilidade de a medida exceder 13 miliamperes? b) Qual a probabilidade de a medida da corrente estar entre 9 e 11 miliamperes? c) Determine o valor para o qual a probabilidade de uma medida da corrente estar abaixo desse valor seja 0,98. 64. Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração Normal com média 150000 km e desvio-padrão de 5000 km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que dure: a) Menos de 170000 km? b) Entre 140000 km e 165000 km? 65. A densidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua X é dada pelo gráfico a seguir: Calcule: a)  14 14    X P b)  34 0  X  P c)  0 34    X P d) Um número b tal que   P X  b  14 66. O tempo adequado de troca de um amortecedor de certa marca em automóveis pode ser considerado uma variável contínua, medida em anos. Suponha que a função densidade desta variável seja dada por: a) Verifique se a função acima é de fato, uma densidade. b) Qual a probabilidade de um automóvel necessitar de troca de amortecedor antes de 1 ano de uso? E Entre 1 e 3 anos? 67. O gráfico a seguir, representa a densidade de uma variável contínua X. a) Verifique se f (x) representa uma densidade. b) Escreva a expressão da função c) Calcule  P X  512 d) Determine um número c tal que   P X  c  12 68. Dada uma função:        0 ,0 0 , 2 ) ( 2 x x e x f x , a) Mostre que esta é uma f.d.p. b) Calcule a probabilidade de X 10 . c) Calcule a esperança e variância de X. 69. Encontre o valor da constante c, para que:       .c ,0 10 , 0 ) ( 2 c x cx f x seja uma densidade, e calcule 15) ( P X  . Calcule o valor esperado desta variável. 70. A v.a. contínua X tem f.d.p:       caso contrário ,0 0 , -1 3 ) ( 2 x x f x Calcule esperança, variância e a f.d.a para esta variável. 71. Suponha que um dispositivo eletrônico tenha um tempo de vida X (em 1000 horas) que possa ser considerado uma v.a. continua com f.d.p :        0 ,0 0 , ) ( x x e x f x Calcule: a) A probabilidade de que o dispositivo tenha tempo de vida menor que 2000 horas. b) A probabilidade de que o dispositivo tenha tempo de vida entre 1500 e 1600 horas. c) A média e a variância do tempo de vida do dispositivo. 72. Se uma v.a. X tiver distribuição exponencial com parâmetro  , mostre que:  1 ) ( E X  . Respostas Lista de Exercícios 2 – Probabilidade e Variáveis Aleatórias. Profª. Angélica Maria. 1. )} , , ),( , ),( , ),( , , , , ),( , , ),( , ),( , {( , , ),( , , D D D D D B D B D B D D D B B B D B B B D B B B   , , )} ),( , ),( , , , {( , D D B D B D B D D A  2. 0} / {     R t t , 20} /0 {     t R t A , t = “tempo de vida da lâmpada” 3. Seja K = Cara, C = Coroa, então ),( , ),( , ),( , )} {( , V V V B B C B K   , 4. 5 = representa a ocorrência da face 5, Q = qualquer outra face, então 5, ),....} 5, ),( , , , , , 5, ),( , , , , 5, ),( , , , 5, ),( , , 5, ),( , { (,5 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q   5. 6, )} 5, ),( 4, ),( 3, ),( 2, ),( 1, ),( 6, ),( 5, ),( 4, ),( 3, ),( 2, ),( 1, ),( {( C C C C C C K K K K K K   6. a) 1,4 ),( 2,4 ),( 3,4 ),( 4,4 ),( 5,4 ),( 6,4 ),( 1,5 ),( 2,5 ),( 3,5 ),( 4,5 ),( 5,5 ),( 6,5 ),( 1,6 ),( 2,6 ),( 3,6 ),( 4,6 ),( 5,6 ),( 6,6 )} ( ),( 1,2 ),( 2,2 ),( 3,2 ),( 4,2 ),( 5,2 ),( 6,2 ),( 1,3 ),( 2,3 ),( 3,3 ),( 4,3 ),( 5,3 ),( 6,3 ), 6,1( ), 5,1( ), 4,1( ), 3,1( ), 2,1(   {( 1,1 ), b) Seja M o número de peças produzidas em uma hora, então } ,... 4,3,2,1,0 { M   . c) Representando por M a ocorrência de uma criança do sexo masculino e por F a ocorrência de uma criança do sexo feminino, temos:  {(M, M, M), (M, M, F), (M, F, M), (F, M, M), (M, F, F), (F, M, F), (F,F, M), (F, F,F)} d) ,.....} 6,5,4,3,2,1  { e) )} ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , , ),( , ),( , ( ), ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , , ),( , ),( , {( E E E D E C E B E A D E D D D C D B D A C E C D C C C B A C B E B D B C B B B A A E A D A C A B A A   f) )} ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , , ( ),( , ),( , ), ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , , ),( , {( E D E C E B E A D E D C D B D A C E D C C B C A B E B D B C B A A E A D A C A B   g) Denotando cada estado civil por: S (solteiro) e C (casado) temos:  {(A, S), (A, C), (B, S), (B,C), (C, S), (C, C), (D, S), (D,C)}. 7. } , , , {   KK KC CK CC , } , { A  KC CK , } , , { B  KK KC CK , } , { AC  KK CC , BC  {CC} , } , , { KK KC CK B A   , } , , { CC KC CK B A  C  , } { ) ( CC B A C   , {KK} B AC   , } , { KK CC B A C C   . 8. 9. 200 110 ( ) P C  , 200 115 ) ( P H  , 200 85 ( ) P F  , 200 70 ) ( P C  H  , 200 155 ) ( P C  F  , 200 140 ) ( P C  E  , 200 95 ) ( P E  F  , 200 60 ) ( P M  E  , 200 190 ) ] [(   H C P E , 1 ) ( P H  F  , 0 ) (     A E M P C . 10. 11. Seja K :Cara , C :Coroa a) } , , { A  KC CK KK b) B {KK} c) } , , { BC  CC KC CK 12. a) A  BC b) AC  B c)    B A B A C C    d)   A B C 13. A {( 6,3 ),( 5,4 ),( 4,5 ),( 3,6 )} B {( 1,4 ),( 2,4 ),( 3,4 ),( 4,4 ),( 5,4 ),( 6,4 ),( 1,5 ),( 2,5 ),( 3,5 ),( 4,5 ),( 5,5 ),( 6,5 ),( 1,6 ),( 2,6 ),( 3,6 ),( 4,6 ),( 5,6 ),( 6,6 )} A B {( 6,3 ),( 1,4 ),( 2,4 ),( 3,4 ),( 4,4 ),( 5,4 ),( 6,4 ),( 1,5 ),( 2,5 ),( 3,5 ),( 4,5 ),( 5,5 ),( 6,5 ),( 1,6 ),( 2,6 ),( 3,6 ),( 4,6 ),( 5,6 ),( 6,6 )} A B {( 5,4 ),( 4,5 ),( 3,6 )} 1,4 ),( 2,4 ),( 3,4 ),( 4,4 ),( 6,4 ),( 1,5 ),( 2,5 ),( 3,5 ),( 5,5 ),( 6,5 ),( 1,6 ),( 2,6 ),( 4,6 ),( 5,6 ),( 6,6 )} ( ),( 1,2 ),( 2,2 ),( 3,2 ),( 4,2 ),( 5,2 ),( 6,2 ),( 1,3 ),( 2,3 ),( 3,3 ),( 4,3 ),( 5,3 ), 6,1( ), 5,1( ), 4,1( ), 3,1( ), 2,1( AC  {( 1,1 ), 36 19 ) ( P A  B  , 36 3 ) ( P A  B  e 36 32 ) ( P AC  14. 15. a) Sem reposição: 0107 bola preta na primeira e na segunda extrações , ) (  P Com reposição: 0141 bola preta na primeira e na segunda extrações , ) (  P b) Sem reposição ,0 375 (bola preta na segunda extração)  P Com reposição: ,0 375 (bola preta na segunda extração)  P b) Sem reposição ,0 625 (bola vermelha na primeira extração)  P Com reposição: ,0 625 (bola vermelha na primeira extração)  P 16. Sejam os eventos A: O aluno A resolve o problema, e B: O aluno B resolve o problema. Então 2/3 ( ) P A  e /3 4 ( ) P B  , assim a probabilidade de o problema ser resolvido é: ) ( ( ) ( ) ) ( B P A P B P A B P A      Como A e B são independentes, ( ). ( ) ) ( P A P B B P A   , logo ,0 9167 ( ). ( ) ( ) ( ) ) (      P A P B P B P A B P A 17. Considere os eventos A e B tais que p P A ( )  e q P B ( )  . Como são independentes então p q P A P B B P A . ( ). ( ) ) (    a) p q q p B P A . ) (     (probabilidade da união de dois eventos independentes). b) p q q p B P A B A P C . 1 ) ( 1 ) ] [(         . 18. Os eventos A e B não são independentes pois ( ) ( ) ,0 012 ,0 04 ) ( P A P B B P A     . 19. a) ,0 75 ) ( P H  , ,0 20 ) | ( P A H  , 0,30 ) | ( P B M  . b) ,015 ) ( P A H  , ,0 925 ) ( ) ( ( ) ) (       H P A P H P A H P A c) ,0 538 ) | ( P M A  20. a) P(pessoa segurada use o hospital) = ,0125 b) Não. Justifique. 21. Para provar isso, deve-se considerar que dois eventos são independentes se, e só se, ( ) ( ) ) ( P A P B B P A   . 22. Os eventos A e B não podem ser mutuamente exclusivos, pois  )  0 ( B P A . Prove isto! 23. a) 0 2 1 2 1 2 1 3 2 1     ( ) ; ) ( ; ) ( ; ) ( P A P A P A P A b)  ) ) ( ( ) ( 2 1 2 1 4 1 P A P A A P A    ;  ) ) ( ( ) ( 3 1 3 1 4 1 P A P A A P A    ;  ) ) ( ( ) ( 3 2 3 2 4 1 P A P A A P A    ;  ) ) ( ) ( ( ) ( 3 2 1 3 2 1 0 P A P A P A A A P A     Portanto, os eventos são mutuamente independentes, ou seja, são independentes dois a dois, mas não são independentes. 24. a) 0 ) ( P A  B  b) 8,0 ) ( P A  B  c) 0 ) | ( P A B  d) 7,0 ) ( P Ac  e)     2,0   B c P A 31. Tabela 1: Distribuição de probabilidade de G G 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 Total P(G=g) 0,3 0,2 0,3 0,1 0,1 1 E(X) = 2,75 e Var(X) = 0,4125. 32. Tabela 1: Distribuição de probabilidade de X X 0 1 2 Total P(X=x) 1/2 1/4 1/4 1 E(X) = 0,75, Var(X) = 0,6875 e DP(X) = 0,8291. 33. E(X) = 1-a, Var(X) = a(1-a) 39. a) n 16 b) p  ,0 75 c) 0 2) ( )1 ( 0) ( )3 (         P X P X P X P X d) ,019 16) ( 15) ( 14) ( 14) (         P X P X P X P X e) ,019 14 /16) (  P Y  f) 1 3/16) (  P Y  40. Considerando a distribuição de binomial. Seja X: o número de itens defeituosos encontrados na amostra de 10 itens produzidos, X ~ b(10;0,2) então ,0 3758 )1 (  P X  41. O gráfico da distribuição de X, p(x) é: 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 -1 0 1 2 3 4 5 6 x p(x) O gráfico da f.d.a. de X, F(x) é: 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x F(x) E(X) = 2,5, Var(X) = 1,25. 42. O gráfico da distribuição de X, p(x) é: 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 -1 0 1 2 3 4 5 6 x p(x) O gráfico da f.d.a de X, F(x), é: 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x F(x) E(X) = 1,25, Var(X) = 0,9375. 43. Seja X: o número de artigos defeituosos numa amostra aleatória de tamanho 4. Tem-se que X ~ b(4; 0,10). a) ,0 6561 0) (  P X  b) ,0 2916 )1 (  P X  c) ,0 0486 2) (  P X  d) ,0 9963 2) (  P X  44. Seja X: o número de peças defeituosas na caixa. Tem-se que X ~ b(18; 0,05). Para satisfazer à garantia, as caixas têm de apresentar X  2 . ,0 9418 2) (  P X  46. X ~ B(7; 1/6). ,0 6697 )1 (  P X  47. Para N = 10, n = 5 e M = 4. a) ,0 4761 2) (  P H  b) ,0 26 )1 (  P H  c) ,0 97 0) (  P H  48. a) ,0 875 2) (  P X  b) ,0 25 )1 (  P X  c) ,0 046 5) (3   X  P 49. ,0 036 5) (  P X  , ,0 676 2) (  P X  50. a) ,0 236 2) (  P X  b) ,0 763 )1 (  P X  c) 1 )3 ( 2) ( )1 ( 0) (         P X P X P X P X 51. a) ,0 201 7) (  P X  b) ,0 624 8) (  P X  c) ,0 322 7) (  P X  52. ,0 084 2) (  P X  53. a) ,0 089 3) (  P X  b) ,0151 )3 (  P X  c) 6 ) ( E X  e ,2 44 ) ( DP X  55.  X ~ N 10 4;  a)     ,0 34 0 1 10 8        Z P X P b)   ,0 53 1 2 1 12 9              Z P X P c)     5,0 0 10     P Z P X d)       ,0 47 5,0 1 11 8 ou X         P Z P Z P X 56.  X ~ N 100;100 a)     ,0 933 5,1 115     P Z P X b)     ,0 977 2 80      P Z P X c)     ,0 6827 1 1 10 100 10          Z P X P d)     ,0 95 10 10 100 100 100                   a X a P a X a P a X a P 19 6, ,196 10     a a 57.  2  , ~ N   X a)     ,0 977 2 2      P Z P X   b)     1  ,0 68    P Z P X   c)     2 58 ,0 99 , a a Z a P a X a P                d)   ,0 90 ,0 90                b P Z b P X Logo,   ,1 28  b  58. ) (170 5; ~ 2 N X     ,0 94134 1 165      P Z P X 59.  V ~ N 500;502      ,0 023 2 600     P Z P V 60. X = diâmetro populacional de parafusos produzidos por uma fábrica.  X ~ N ,0 85 ,0, 012   ,0 4601 ,0 851  P X  61.   P X 10  0 63. a)   P X 13  ,0 066 b)   ,0 3829 11 9   X  P c) a 14,10 64. a)   1 P X 170000  b)   ,0 975 165000 140000   X  P 68. b) 0 10) (  P X  c) 5,0 ) ( E X  e ,0 25 ) ( Var X  70. 3/4 ) ( E X   e 3/80 ) ( Var X  71. a) ,0 864 2) (  P X  b) ,0 021 6,1 ) 5,1(   X  P c) 1 ) ( E X  e 1 ) ( Var X 