Calculo 4 - Semana 3 nota 10

PERGUNTA 1\nLuigi Guido Grandi foi um padre, filósofo e matemático italiano que viveu entre os séculos XVII e XVIII. Grandi escreveu a seguinte demonstração. Considere a série \nS = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = \\sum_{n=0}^{\\infty} (-1)^{n}\n\nEntão, S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...) = 1 - S = 1/2. Sobre a demonstração apresentada por Grandi, a afirmação correta é:\n\n\\(a) A demonstração está incorreta, na verdade, S = 0\n\\(b) A demonstração está incorreta, na verdade, S = 1\n\\(c) A demonstração está incorreta, pois pesar da série em questão ser divergente, a convergência não é absoluta e, portanto, não podemos afirmar que 1 = S = 1/2\n\\(d) A demonstração é correta, pois 1 - S = 0.\n\nPERGUNTA 2\nConsidere as sequências:\n\n\\(a_n = (-1)^{n}\\)\n\\(b_n = \\frac{sen(n)}{n}\\)\n\nDefinida para n ≥ 2 natural. Escrevendo C para denotar que uma sequência é convergente e D para denotar que uma sequência é divergente, então podemos afirmar que:\n \\(\\text{C.C.C.}\n\\)\n \\(\\text{C.C.D.}\n\\)\n \\(\\text{C.D.C.}\n\\)\n \\(\\text{D.C.C.}\n\\)\n \\(\\text{D.C.D.}\n\\)\n\nPERGUNTA 3\nConsidere as séries \\sum_{n=0}^{\\infty} 3 + cos(n) \\text{ e } \\sum_{n=0}^{\\infty} -3 - cos(n). É correto afirmar que:\n\\(a) A primeira série converge absolutamente e a segunda série converge condicionalmente.\n\\(b) A primeira série converge condicionalmente e a segunda série converge absolutamente.\n\\(c) Ambas as séries divergem.\n\\(d) Ambas as séries convergem condicionalmente.\n\\(e) Ambas as séries convergem absolutamente. PERGUNTA 4\nConsidere as séries numéricas\n1. \\sum_{n=1}^{\\infty} (-3)^{n} \n2. \\sum_{n=1}^{\\infty} cos(n)\n3. \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{3n + 4}{2n^{2} + 3n + 5}\n4. \\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n} \\frac{1}{n^{2}}\n\n\\text{As afirmações}:\n\n1. A série 1 e 2 é absolutamente convergente.\n2. A série 3 é absolutamente convergente.\n3. A série 4 é condicionalmente convergente.\n\nDetermine se as itens 1, 2, 3 e 4 são (V) verdadeiros ou (F) falsos, respectivamente:\n \\(I) \\quad F - V - F.\n \\(II) \\quad F - F - V.\n \\(III) \\quad V - V - F.\n\nPERGUNTA 5\nConsidere as seguintes afirmações:\n1. A série \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} + \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n} são séries convergentes, então \\sum_{n=1}^{\\infty} (a_{n} + b_{n}) converge.\n2. Se \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \\text{ e } \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n} são séries divergentes, então \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} + \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n} é divergente.\n3. Se \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \\text{ e } \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n} são séries divergentes, então \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} b_{n} é divergente.\n4. Se g_{n} é uma sequência convergente e h_{n} é uma sequência divergente, então g_{n} h_{n} é uma sequência divergente.\n\nDetermine se as itens 1, 2, 3 e 4 são (V) verdadeiros ou (F) falsos, respectivamente:\n \\(I) \\quad F - V - F.\n \\(II) \\quad V - V - V.\n \\(III) \\quad F - F - V. PERGUNTA 6\nSobre as séries \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \\text{ e } \\sum_{n=1}^{\\infty} |a_{n}|, o correto afirmar que:\n\\(a) Se L_{1} < L_{2} então a primeira série é convergente enquanto a segunda é necessariamente divergente.\n\\(b) Pelo critério do comparativo, se a primeira série converge, então a segunda também converge, pois L_{1} ≤ |a_{n}| para todo n natural.\n\\(c) Se a segunda série diverge, então a primeira série é divergente.\n\\(d) Se a segunda série converge para um valor L_{2} e a primeira série converge para um valor L_{1} < L_{2}, temos L_{2} ≤ L_{1}.\n\nPERGUNTA 7\nSobre a série harmônica \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n}, é correto afirmar que:\n\\(a) A série diverge e o raio de convergência é 0 para todo \\frac{\\sqrt{n}}{a_{n}} = 0.\n\\(b) Se a série de raiz dura convergente, pois \\frac{\\sqrt[n]{a_{n}}}{a_{n}} = 0 para todo n natural.\n\\(c) O segundo critério do raio de convergência é convergente, pois \\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1.\n\\(d) A série da raiz harmônica é divergente.\n\nPERGUNTA 8\nSobre as séries \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^{p}} \\text{ onde p é só números reais, considere as seguintes afirmações: }\n\\(a) A primeira série é convergente para -1 < r < 1\n\\(b) A primeira série é divergente para p > 1 ou p < -1\n\nEntão, escrevemos que a série converge para p > 1 e diverge para p < 1. PERGUNTA 10\nEscrevendo C para séries convergentes e D para séries divergentes, qual das alternativas classifica corretamente as séries 1, 2, 3 e 4 abaixo?\n1. ∑ n=1∞ 1/(n^2)\n2. ∑ n=1∞ 3^n/(2^n + 4)\n3. ∑ n=1∞ n(n + 1)/(3^n)\n4. ∑ n=1∞ (−1)^(n−1)/n\n\nA. C, C, C, D.\nB. D, D, C, C.\nC. D, C, C, D.\nD. C, C, D, C.\nE. C, C, C, C.