Calculo 4 - Semana 4 nota 10

PERGUNTA 1\nQual das séries dadas tem o mesmo valor que a integral \\int_0^1 \\frac{1}{1+x^4} \\, dx\n\no A. \\sum_{n=0}^{\\infty} (-1)^{n} \\frac{4}{n+1}\n\no B. \\sum_{n=0}^{\\infty} (-1)^{n} \\frac{4}{n^2+1}\n\no C. \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{4}{n^4 + 1}\n\no D. \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{4}{(4n+1)}\n\no E. \\sum_{n=0}^{\\infty} n^0 \\frac{4}{n+1}\n\nPERGUNTA 2\nA série \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{nx^{n-1}}{(n-1)!} converge para todo x \\in (-2,2) e, além disso, temos \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{x^n}{2-2x} para todo x \\in (-2, 2). Considerando a afirmação anterior (a qual é válida e não precisa ser verificada na\n\nE. \\sum_{n=1}^{\\infty} n^0 \\frac{x^{n+1}}{(n+1) (2^{n+1})}\n\nPERGUNTA 3\nConsidere a série de potências \\sum_{n=0}^{\\infty} a_n (x-c)^n, em que c é um número real e a_n é uma sequência numérica. Suponha que o raio de convergência dessa série não é nem infinito nem nulo. Então, é correto afirmar que:\n\no A. Independentemente de qual seja a sequência numérica a_n, existe um número real R > 0 tal que a série diverge caso |x - c| < R\n\no B. Independentemente de qual seja a sequência numérica a_n, existe um número real R > 0 tal que a série converg.\n\no C. Independentemente de qual seja a sequência numérica a_n, existe um número real R > 0 tal que a série converg caso\n\no D. Independentemente de qual seja a sequência numérica a_n, existe um número real R > 0 tal que a série converg caso\n\no E. Independentemente de qual seja a sequência numérica a_n, existe um número real R > 0 tal que a série converge caso\n\nPERGUNTA 4\nSobre o valor da série numérica \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n}{2^n - 1}, podemos afirmar que:\n\no A. É um número racional não inteiro menor do que 5.\n\no B. É um número racional.\n\no C. É um número inteiro ímpar.\n\no D. É um número inteiro par.\n\no E. É um número racional não inteiro maior ou igual a 5. PERGUNTA 5\nSeja a_n uma sequência numérica tal que \\lim_{n \\to \\infty} a_n = 2. Considera a série de potências \\sum_{n=0}^{\\infty} a_n (x-r)^n. Sobre o raio de convergência R é correto afirmar que:\n\no A. Necessariamente, R > 1, mas não é possível determinar, em geral, se R é < 1 ou nulo.\n\no B. Necessariamente, R = 1.\n\no C. Necessariamente, R = 1 e R não é infinito.\n\no D. Necessariamente, R < 1.\n\no E. Necessariamente, R > 1.\n\nPERGUNTA 6\nSuponha que a série de potências \\sum_{n=0}^{\\infty} a_n (x-1)^n é convergente para x = 3. Dentre as alternativas abaixo, qual é a única que contém um valor p para o qual a série de potências em questão é necessariamente convergente, independentemente da sequência numérica a_n?\n\no A. a = -\\pi \n\no B. a = -2\\pi\n\no C. a = 2\\pi\n\no D. a = 3\\pi\n\nPERGUNTA 7\nQuanto vale a série numérica \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{2^n}{n!}?\n\no A. 1\n\no B. e\n\no C. 2\n\no D. A série é divergente.\n\nPERGUNTA 8\nSobre a série de potências \\sum_{n=0}^{\\infty} a_n (x-1)^n é correto afirmar que:\n\no A. A série é divergente para todo x real tal que |x| ≤ 1 e convergente para todo x real tal que |x| > 1.\n\no B. A série é convergente para todo x real tal que |x| < 1. Além disso, \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{1}{1 - x} = 1 se |x| < 1.\n\no C. A série é convergente para todo x real tal que |x| ≤ 1. Além disso, \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{1}{1-x} = 1 se |x| < 1.\n\no D. A série é convergente para todo x real tal que |x| > 1. Além disso, \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{x^n}{1-x} = 1 se |x| < 1.\n\no E. A série é convergente para todo x real tal que |x| ≤ 1. Além disso, \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{x^n}{1-x} = 1 se |x| ≤ 1, x ≠ 1. PERGUNTA 9\nConsidere a série de potências \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{nx^n}{2^n}. Podemos afirmar que:\n\no A. A série é divergente para todo x real tal que x ≥ 1 e converge para todo x real tal que x < 1.\n\no B. A série é convergente para todo -1 < x < 1 e divergente para todo x real tal que x ≥ 1.\n\no C. A série é divergente para todo -2 < x < 2 e converge para todo x ≤ -2 ou x = -2.\n\no D. A série é convergente para todo x real tal que x ≤ -1 e diverge em (-∞, -1) ∪ (-1, ∞).\n\no E. A série converge no intervalo (-1, √{3} + 3) e diverge em (-∞, -√{3}) ∪ (1 + √{3}, ∞).\n\nPERGUNTA 10\nUtilizando o critério da raiz e o fato que \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{x^n} = 1 onde p = p(x) é um polinômio qualquer (não identicamente nulo), é possível determinar o intervalo de convergência da série de funções \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(x-1)^{n}}{3^n}. Assinale a alternativa correta:\n\no A. A série diverge no intervalo (−√{3}+1, √{3}+3) e converge em (−1,−√{3}) ∪ (1+√{3},∞).\n\no B. A série converge no intervalo (−1,−√{3}] e diverge em (−∞,−√{3}) ∪ (1+√{3},∞).\n\no C. A série converge no intervalo [1−√{3},1+√{3}) e diverge em (−1,−√{3}] ∪ (1+√{3},∞).\n\no D. A série converge no intervalo (−√{3}+1, √{3}) e diverge em (−∞,−√{3}) ∪ (1,∞).\n\no E. A série converge no intervalo (−√{3}+1, √{3}+3) e diverge em (−∞,−√{3}) ∪ (1,√{3}).