Univesp - 2021 - Exercícios de Apoio 1 - Semana 3 - Introdução Aos Sistemas de Comunicação

EXERCÍCIOS DE APOIO\nApenas para praticar. Não vale nota.\n\n1. Para todas as questões a seguir, considere um canal modelado como um sistema linear e invariante no tempo com resposta ao impulso h[n].Qual a saída deste canal quando a entrada é uma exponencial complexa x[n] = exp(jωn)?\n\nDICA:A Função Resposta em Frequência (FRF) do canal é definida como a Transformada Discreta de Fourier de h[n], ou seja\n\nH(jω) = ∑(h[m] · e^{-jmω}).\n\nRESPOSTA:\nA saída é dada pela soma de convolução da resposta ao impulso com o sinal de entrada. Usando a definição da soma de convolução (fórmula 2.6, página 49 de Oppenheim, Sinais e Sistemas) y[n] = ∑(x[n-k] · h[k])\n\nPodemos substituir a variável k = n - m, o que resulta em y[n] = ∑(x[n-m] · h[m])\n\nE substituir x[n] = e^{jωn}, o que resulta em y[n] = ∑(h[m] · e^{-jmω})e^{jωn}\n\nSeparando os termos n e m da exponência e colocando os termos em função de m em evidência, temos que\n\ny[n] = e^{jωn} ∑(h[m] · e^{-jmω})\n\nComo e^{jωn} não depende de m, posso retirá-lo do somatório e tenho então que\ny[n] = e^{jωn} ∑(h[m] · e^{-jmω})\n\nNote que o termo no somatório é justamente a definição da Função Resposta em Frequência, logo y[n] = H(jω)e^{jωn} Com isso, acabamos de verificar que quando alimentamos o SLIT com uma exponencial complexa, temos na saída a mesma exponencial complexa multiplicada por um fator complexo H(jω), a função resposta em frequência (FRF).\n\n2. Se h[0] = 1, h[1] = 1 e h[n] = 0 para todos os demais valores de n, calcule a FRF H(jω).\n\nRESPOSTA:\nBasta substituir os valores na equação H(jω) = ∑(h[n] · e^{-jmω}) Neste caso vemos que H(jω) = 1-e^{-jω} + 1 + e^{-jω} = 1 + e^{-jω}\n\n3. Assuma uma entrada senoidal x[n] = cos(ωn), 0≤ω≤π, aplicada ao canal com resposta ao impulso descrita na Questão 2. Existe um valor de frequência para a qual a saída será sempre nula, ou seja, y[n] = 0 ∀n?\n\nRESPOSTA:\nLembremos que o cosseno é um caso especial de uma exponencial complexa. Nesse caso, a saída dada por y[n] = H(jω) cos(ωn). Logo, para que a saída seja sempre nula, é necessário encontrar um valor de ω tal que H(jω) = 0. Usando o Wolframalpha, podemos verificar que |H(jω)| = 2|cos(ω/2)|, logo H(jω) = 0 quando ω = π.\n\n4. Ainda considerando o canal com a resposta ao impulso descrita na Questão 2, que tipo de filtro este canal implementa?\nFiltro passa-baixas.\nFiltro passa-altas.\nFiltro passa-banda.\nFiltro rejeita-faixa.\n\nRESPOSTA:\nPor conta do efeito de aliasing, senoidais de tempo discreto só podem representar inequivocamente frequências até metade da frequência de amostragem. Como ω=2πf e f = i/2, mais uma vez usando o Wolframalpha, por exemplo,\n(clique aqui para acessar o link), podemos obter o gráfico de |H(jω)| em função de ω. Considerando apenas a região 0<ω<π, verifica-se que o filtro amplifica as baixas frequências e atenua as altas frequências, logo é um filtro passa-baixas.\n\n5. Para o canal descrito na Questão 2, qual o valor máximo da amplitude da saída y[n] quando a entrada for x[n] = cos(π/2·n)?\n\nRESPOSTA:\nA amplitude máxima da saída y[n] é a amplitude máxima de x[n], que é 1, pois x é um cosseno, multiplicada pela magnitude da FRF nesta frequência específica. Calculando |H(jπ/2)| temos |H(jπ/2)| = |1 - 1| = √2.\n\nPortanto, a amplitude máxima neste caso será √2.