Calculo 4 - Semana 5 nota 10

PERGUNTA 1\nConsidere as equações diferenciais ordinárias:\nA. \\( y = x^2 \\)\nB. \\( y = 1 \\)\nC. \\( y = 2xy \\)\nD. \\( y = \\sin z \\)\n\\nE as funções:\n1. \\( 2 - \\frac{x^3}{3} \\)\n2. \\( \\ln(y) = \\cos(x) \\)\n3. \\( y = e^{x} \\)\n4. \\( y = \\ln x \\)\n\\nAssinale a alternativa que associa cada equação diferencial com uma função que a satisfaz:\nO a. A: 1; B: 3; C: 2\nO b. A: 1; B: 4; C: 2\nO c. A: 2; B: 3; C: 4\nO d. A: 1; B: 2; C: 3\n\\nPERGUNTA 2\nA solução geral da equação diferencial \\( y = (2xy)^2 \\) é dada por \\( y = \\frac{-3}{3} \\) em que \\( C \\) é uma constante real. Considerando a solução particular \\( y = y(0) \\) que satisfaz a condição inicial \\( y(0) = -\\frac{1}{2} \\), quanto vale \\( y(0) \\)?\n\\nO a. y = -3\n\\nO b. y = -3\n\\nO c. y = 3\n\\nO d. y = -3\n\\nPERGUNTA 3\nSabendo que a função \\( y = y(x) \\) satisfaz a equação diferencial \\( (x^2 + 1)y' = \\frac{-x}{y - 1} \\), é correto afirmar que:\nO a. \\( y^2 = \\ln(1 + x^2) + C \\), em que C é uma constante real.\nO b. \\( y = \\ln(1 + x^2) + C \\), em que C é uma constante real.\nO c. \\( y = x^2 + x^2 + C \\), em que C é uma constante real.\nO d. \\( y = y^2 + C \\), em que C é uma constante real.\n\\nPERGUNTA 4\nUma placa de Petri é um recipiente cilíndrico utilizado para a realização de culturas de bactérias. Um modelo simples e razoavelmente eficaz para descrever a quantidade Q de bactérias presentes em uma placa de Petri após t horas do início do experimento diz que a taxa de crescimento da cultura de bactérias é proporcional à quantidade de bactérias que há na cultura. Suponha que uma hora após o início de uma cultura havia 1000 bactérias na placa de Petri e que duas horas após o início da cultura havia 2500 bactérias. Quantas bactérias havia na placa de Petri no início da cultura?\n\nO a. 400\nO b. 200\nO c. 100\nO d. 300 PERGUNTA 5\nA equação diferencial ordinária \\( \\frac{dx}{dt} = rx(1 - x) \\), em que \\( r > 0 \\) é uma constante positiva não-nula e \\( x \\in (0, 1) \\) é conhecida como equação logística. Seja \\( x(t) \\) uma solução particular qualquer da equação logística. Quanto vale \\( \\lim_{t \\to \\infty} x(t) \\)?\n\\nO a. \\( \\lim x(t) \\) depende da solução particular que tomamos para a equação logística.\n\\nO b. \\( \\lim x(t) \\) não existe, independentemente da solução particular que tomamos para a equação logística.\n\\nO c. 0\n\\nO d. 1\n\nPERGUNTA 6\nSeja \\( y = y(x) \\) a solução do problema de valor inicial \\( \\frac{dy}{dx} - 20x^4 e^y = 0, y(0) = 0 \\). Então \\( y(1) \\) vale:\n\\nO a. ln 4\n\\nO b. 3\n\\nO c. ln 2\n\\nO d. 5\n\nPERGUNTA 7\nUtilizando a série de Maclaurin para a função \\( e^x = e^x \\), podemos calcular o limite \\( \\lim_{x \\to 0} \\frac{e^x - 1 - x}{x^2} \\). Qual o valor de tal limite?\n\\nO a. 1 limite não existe.\n\\nO b. 1\n\\nO c. 0\n\\nO d. 2\n\\nO e. \\( \\frac{1}{2} \\)\n\nPERGUNTA 8\nO polinômio de Taylor em torno de \\( y = -3 \\) de uma determinada função \\( f(x) = f(x_0) \\) é dado por \\( \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{1}{7!} (n+3)^n (x + 3)^n \\). Os valores \\( f(-3) \\) e \\( f'(-3) \\) são, respectivamente:\n\\nO a. 243\n\\nO b. 28\n\\nO c. 81\n\\nO d. 6\n\\nO e. \\frac{1}{243}\n\nPERGUNTA 9\nQual das séries abaixo converge para a função \\( f(x) = \\int_{0}^{x} \\sin(x^2) dx \\)?\n\\nO a. \\( \\sum_{n=0}^{\\infty} (-1)^n (n + 4) \\)\n\\nO b. \\( \\sum_{n=0}^{\\infty} (-1)^n (n + 5) \\)\n\\nO c. \\( \\sum_{n=0}^{\\infty} (-1)^{(n + 2)(1)} (2n + 4) \\)\n\\nO d. \\( \\sum_{n=0}^{\\infty} (-1)^{(n + 2)\sin 2^{n - 5}} \\)\n\\nO e. \\( \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{(-1)^{(n + 3)(1)}}{(2n)!} \\)\n PERGUNTA 10\nQual o intervalo de convergência da série de Taylor \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(1^n)}{n.1^n} \\frac{1}{(x-2)^2} \\)?\n\\nO a. [-4, 6]\n\\nO b. [-8, 12)\n\\nO c. (-8,12]\n\\nO d. (-8,12)\n\\nO e. [-4, 6]