Atividade de Geometria Analítica

Fundacao Centro de Ciˆencias e Educacao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educacao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro Geometria Analıtica I 1a Avaliacao a Distˆancia 1o Semestre de 2024 Codigo da disciplina Matematica Engenharia de Producao e Engenharia Mete reologica EAD 01052 Fısica EAD 01078 Questao 1 35 pontos Seja ABCD um paralelogramo de lados consecutivos AB e BC tal que AB 3 6 AE e perpendicular a DC e AE 5 onde E 2 1 e o ponto tal que DE 1 3 DC para responder as seguintes questoes a 10 ponto Encontre as coordenadas do ponto D b 15 ponto Encontre as coordenadas do ponto A c 10 ponto Usando vetores encontre a area do paralelogramo ABCD Questao 2 35 pontos Cada quadradinho da seguinte figura tem o lado de medida 1 unidade Use esse dado para resolver as seguintes questoes a 1 ponto Trace um sistema de eixos coordenados adequado e apresente a figura acima usando o sistema escolhido Diga quais sao as coordenadas de cada um dos vetores b 06 ponto Quais dos vetores acima possuem o mesmo modulo Justifique a sua resposta c 04 ponto Quais vetores sao iguais Justifique a sua resposta d 15 ponto Determine os valores de λ e β de tal forma que λ D β E G Geometria Analıtica I AD1 12024 Questao 3 30 pontos Considere o ponto A 4 5 e a reta r1 x 2y 4 0 para responder as seguintes questoes a 10 ponto Encontre as equacoes parametricas da reta r2 que e perpendicular a reta r1 e contem ao ponto A Encontre tambem Q r1 r2 b 10 ponto Encontre as coordenadas do ponto B simetrico do ponto A em relacao a reta r1 c 10 ponto Se s e a reta paralela ao vetor v 3 1 e passa pelo ponto A Encontre as coordenadas do ponto C s tal que a area do triˆagulo ABC e 20 Fundacao CECIERJ Consorcio CEDERJ Questão 1 Seja ABCD um paralelogramo de lados consecutivos AB e BC tal que AB 36 AE é perpendicular a DC e AE5 onde E 21 é um ponto tal que DE 13 DC para responder as seguintes questões a Encontre as coodenadas do ponto D Solução Como AB e BC são lados consecutivos podese concluir que o vértice D é oposto ao vértice B Consequentemente AB e DC constituem lados opostos do paralelolgrama e como possuem mesmo módulo mesma direção e mesmo sentido estes vetores são iguais Ou seja DC AB 36 Sabendo que DE 13 DC obtemos DE 13 36 12 Como E 21 temos que DE 12 ED 12 D E12 21 12 13 Portanto D 13 b Encontre as coordenadas do ponto A Solução Seja A xAyA Então AE EA 21 xAyA 2xA1yA De AE 5 obtemos 2xA2 1yA2 5 2xA2 1yA2 5 1 Por outro lado como AE é perpendicular a DC podemos escrever AEDC 0 2xA1yA36 0 ou seja 63xA 66yA 0 xA 2yA Substituindo o último resultado na Equação 1 obtemos 22yA2 1yA2 5 48yA 4yA2 12yA yA2 5 Assim obtemos a equação 5yA 2 10yA 0 5yA yA 2 0 yA 0 ou yA 2 Dessa forma xA 20 0 ou xA 22 4 Portanto encontramos dois resultados possíveis para A A 00 ou A 42 c Usando vetores encontre a área do paralelogramo ABCD Solução Como os vértices B e D são adjacentes a A a área do quadrado pode ser calculada na forma Area AB AD Para A 00 temos Calculando AD AD DA 13 00 13 Dessa forma AB AD i j k 3 6 0 1 3 0 k 3 6 1 3 k 96 15 k Portanto Area AB AD 02 02 152 15 ua Para A 42 temos Calculando AD AD DA 13 42 31 Dessa forma AB AD i j k 3 6 0 3 1 0 k 3 6 3 1 k 318 15 k Portanto Area AB AD 02 02 152 15 ua Logo a área procurada é Area 15 ua Questão 2 Cada quadradinho da seguinte figura tem o lado de medida 1 unidade Use esse dado para resolver as seguintes questões a Trace um sistema de eixos coordenados adequado e apresente a figura acima usando o sistema escolhido Diga quais são as coordenadas de cada um dos vetores Solução Como os termos da adequação ao sistema não foram explicitamente apresentados podemos assumir dentre outras formas duas representações adequadas em sistemas de eixos coordenados perpendiculares Uma delas seria manter as características geométricas da representação em malha apresentada e traçar dois eixos perpendiculares com origem no canto inferior esquerdo da malha por exemplo Uma outra maneira de realizar a representação requisitada poderia ser representando cada vetor por vez com origem coinci dindo com a origem do sistema e deslocando nas direções horizontal e vertical a quantidade de unidades correspondente à quantidade de arestas disposta na apresentação fornecida Para atender a este item do exercício optamos pela segunda maneira expressa no parágrafo anterior Neste perspectiva construímos a imagem disposta a seguir b Quais dos vetores acima possuem o mesmo módulo Justifique a sua resposta Solução Para identificar quais vetores possuem o mesmo módulo bastar considerar a informação de que cada aresta mede uma unidade como parâmetro de comparação Com a perspectiva apresentada podemos observar que os vetores A B E e F possuem mesmo módulo pois todos esses quatro vetores se estendem por exatamente duas arestas Por outro lado os vetores C e D também possuem mesmo módulo pois ambos apresentam compri mento que correspondem a duas diagonais de quadrados de lado unitário Em resumo possuem o mesmo módulo A B E e F C e D c Quais vetores são iguais Justifique a sua resposta Solução Para que dois vetores sejam iguais é necessário que tenham mesma direção mesmo módulo e mesmo sentido Como há a necessidade de haver mesmo módulo como requisito partiremos dos resultados já encontrados no item c para decidir se algum par de vetores atende à todos os requisitos que caracterizam igualdade Inicialmente observe que o vetor B tem direção distinta da direção dos vetores A E e F Logo B é diferente dos demais vetores já que os outros três em discussão são os únicos que possuem mesmo módulo que B Agora perceba que E tem sentido oposto que A e F Isso pode ser constatado pelo fato de a extremi dade de E se apresentar em posição opostas às extremidades de A e F Então E é diferente dos demais vetores Por outro lado A e F apresentam mesmo módulo conforme item anterior mesmo direção ambos na direção vertical e mesmo sentido sentido da origem para a extremidade iguais Consequentemente A e F são iguais Por fim C e D apresentam mesmo módulo conforme item anterior mesmo direção ambos em direção oblíqua mas com mesma inclinação e mesmo sentido sentido da origem para a extremidade iguais Consequentemente C e D também são iguais Em resumo são iguais A e F C e D d Determine os valores de λ e β de tal forma que λD βE G Solução Contando as unidades deslocadas por cada um dos vetores envolvidos com relação às suas respectivas origens extraímos que os representantes para estes vetores podem ser escritos como D 22 E 02 G 40 De posse de cada representante vamos escrever G 40 como combinação linear dos vetores D e E Para tal considere os escalares λ e β tais que λD βE G Então λ22 β02 40 2λ 2λ2β 40 Ou seja pela igualdade entre vetores chegamos ao sistema 2λ 4 2λ 2β 0 Da primeira equação do sistema linear extraímos que λ 2 E da última equação do sistema linear obtemos que 22 2β 0 2β 4 β 2 Portanto λ 2 β 2 Questão 3 Considere o ponto A 45 e a reta r1 x 2y 4 0 para resolver as seguintes questões a Encontre as equações paramétricas da reta r2 que é pependicular à reta r1 e contém o ponto A Encontre também Q r1 r2 Solução Defina x t Então pela equação de r1 obtemos t 2y 4 0 y 2 t 2 Então as equações paramétricas de r1 podem ser escritas na forma r2 x h y 2 h 2 Como consequência v1 1 12 pode ser considerado vetor diretor de r1 Como r2 é perpendicular a r1 então se v2 tw é vetor diretor de r2 devemos ter v1 v2 0 1 12 tw 0 t w 2 0 w 2t Logo v2 tw t2t t12 Assim podemos considerar v2 12 como vetor diretor de r2 Neste caso as equações paramétricas de r2 podem ser escrita na forma r2 x 4 t y 5 2t Agora vamos encontrar Q r1 r2 Igualando as equações paramétricas de r1 e r2 obtemos h 4 t 2 h 2 5 2t Substituindo a primeira equação na segunda equação do sistema chegamos em 2 4 t2 5 2t 4 t2 3 2t ou seja 4 t 6 4t 5t 10 t 2 Substituindo t 2 nas equações paramétricas de r2 x 4 t 4 2 2 y 5 2t 5 22 1 Logo Q 21 b Encontre as coordenadas do ponto B simétrico do ponto A em relação à reta r1 Solução Observe que o ponto Q interseção entre r1 e r2 é o ponto médio do segmento AB pois A pertence a r2 e r1 e r2 são perpendiculares Dessa forma Q A B2 B 2Q A isto é B 221 45 03 Logo B 03 c Se s é a reta paralela ao vetor v 31 e passa pelo ponto A Encontre as coordenadas do ponto C s tal que a área do triângulo ABC é 20 Solução Como v 31 é vetor diretor de s e A 45 pertence a s as equações paramétricas de s podem ser escritas como s x 4 3t y 5 t Então o ponto C pode ser escrito como C 4 3t 5 t onde t é um escalar real A área do triângulo ABC pode ser calculada na forma Area 12 AB AC Calculando AC e AB AC C A 4 3t 5 t 4 5 3t t AB B A 0 3 4 5 4 8 Dessa forma AB AC i j k 4 8 0 3t t 0 k 4 8 3t t k 4t 24t 20t k Portanto Area 12 AB AD 12 0² 0² 20t² 12 20t 10t Como a área do triângulo deve ser igual a 20 obtemos 10t 20 t 2 t 2 Logo C 43t5t 43252 107 ou C 43t5t 43252 23 Portanto encontramos dois resultados possíveis para C C 107 ou C 23