Geometria Analitica I - 1a Avaliacao EAD - Resolucao de Problemas

Fundacao Centro de Ciˆencias e Educacao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educacao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro Geometria Analıtica I 1a Avaliacao a Distˆancia 2o Semestre de 2023 Codigo da disciplina Matematica Engenharia de Producao e Engenharia Mete reologica EAD 01052 Fısica EAD 01078 Questao 1 30 pontos Seja ABCD um paralelogramo de lados consecutivos AB e BC tal que AB 2 4 AM e perpendicular a DC e AM 5 onde M 2 1 e o ponto medio do lado DC Considere esses dados para responder as seguintes questoes a 10 ponto Encontre as coordenadas dos pontos C e D b 20 pontos Encontre as coordenadas do ponto A Questao 2 30 pontos Determine os vetores unitarios v1 e v2 que fazem o ˆangulo θ π 3 com o vetor u 3 1 e escreva o vetor η 3 2 como combinacao linear dos vetores v1 e v2 Questao 3 40 pontos Considere os pontos A 3 2 e B no segundo quadrante e pertencente a reta r x2y 7 onde AB 2 5 Se C e um cırculo de centro C no eixo OX que passa pelos pontos A e B determine o centro o raio do cırculo a equacao do cırculo e a equacao parametrica da reta perpendicular a reta r a qual passa pelo ponto medio do segmento AB e verifique que o centro C pertence a essa reta Questão 2 Determine os vetores unitários vetor v1 e vetor v2 que fazem o ângulo θ π3 com o vetor vetor u 3 1 e escreva o vetor vetor η 3 2 como combinação linear dos vetores vetor v1 e vetor v2 Solução Seja vetor v x y um vetor unitário que faz o ângulo θ π3 com o vetor vetor u 3 1 Dessa forma temos que cosθ vetor v vetor u vetor v vetor u cosπ3 12 1 Calculando as informações envolvidas na equação 1 vetor v vetor u x y 3 1 3 x y vetor v x² y² vetor u 3² 1² 3 1 2 Como vetor v é unitário então vetor v 1 o que implica em x² y² 1 2 Voltando à equação 1 podemos escrever vetor v vetor uvetor v vetor u 12 3 x y2 x² y² 12 1 já que vetor v 1 3 x y 1 y 3 x 1 Substituindo o último resultado na equação 2 obtemos x² y² 1 x² 3 x 1² 1 x² 3 x² 2 3 x 1 1 4 x² 2 3 x 0 2 x 2 x 3 0 x 0 ou x 32 Consequentemente y 3 x 1 y 3 0 1 1 ou y 3 32 1 32 1 12 Definindo como vetor v1 e vetor v2 as opções que satisfazem as condições impostas para vetor v chegamos a conclusão de que os vetores procurados são vetor v1 0 1 vetor v2 32 12 Agora para a segunda parte do exercício vamos escrever vetor η 3 2 como combinação linear dos vetores vetor v1 e vetor v2 Para tal considere os escalares α1 e α2 tais que α1 vetor v1 α2 vetor v2 vetor η Então α1 0 1 α2 32 12 3 2 32 α2 α1 12 α2 3 2 Ou seja 32 α2 3 α1 12 α2 2 Da primeira equação do sistema linear extraímos que 32 α2 3 α2 3 23 2 Por fim da última equação do sistema linear obtemos que α1 12 α2 2 α1 12 2 2 α1 1 2 α1 1 Portanto podemos escrever vetor η 3 2 como combinação linear dos vetores vetor v1 e vetor v2 fazendo vetor v1 2 vetor v2 vetor η Questão 3 Considere os pontos A 3 2 e B no segundo quadrante e pertencente à reta r x 2y 7 onde vetor AB 25 Se C é um círculo de centro C no eixo OX que passa pelos pontos A e B determine o centro o raio do círculo a equação do círculo e a equação paramétrica da reta perpendicular à reta r a qual passa pelo ponto médio do segmento AB e verifique que o centro C pertence a essa reta Solução Seja B xb yb Como B r r x 2y 7 obtemos a relação xb 2 yb 7 xb 7 2 yb 3 Além disso vetor AB 25 Então vetor AB B A xb 3 yb 2 xb 3² yb 2² 25 Elevando ambos os membros da última igualdade ao quadrado obtemos xb 3² yb 2² 25² 20 Substituindo a relação em 3 no último resultado chegamos em 7 2 yb 3² yb 2² 20 4 2 yb² yb 2² 20 Assim obtemos 16 16 yb 4 yb² yb² 4 yb 4 20 5 yb² 20 yb 20 20 5 yb² 20 yb 0 5 yb yb 4 0 yb 0 ou yb 4 Por hipótese B está no segundo quadrante Então yb 0 e xb 0 Dessa forma somente o resultado yb 4 será considerado e está relacionado pela equação 3 à coordenada xb 7 2 yb 7 24 1 Portanto B 1 4 Para encontrar as informações requeridas relacionadas ao círculo C partiremos da equação reduzida de uma circunferência com centro em x0 y0 e de raio r pode ser escrita na forma x x0² y y0² r² Como o centro de C está no no eixo OX podemos concluir que y0 0 ou seja x x0² y² r² Além disso A 3 2 e B 1 4 pertencem ao círculo Dessa forma 3 x0² 2² r² 1 x02 42 r2 Igualando as duas equações membro a membro obtemos 3 x02 22 1 x02 42 9 6x0 x02 4 1 2x0 x02 16 6x0 2x0 1 16 9 4 8x0 4 x0 12 Assim podemos obter o valor do raio fazendo r2 1 x02 42 1 122 42 122 16 14 16 654 r sqrt652 Logo Centro do círculo C C 12 0 Raio do círculo C r sqrt652 Equação reduzida do círculo C x 122 y2 654 Caso desejase conhecer a equação geral de C basta desenvolver a equação reduzida obtida de modo a gerar x2 x 14 y2 654 4x2 4x 1 4y2 65 4x2 4y2 4x 64 0 Equação geral do círculo C 4x2 4y2 4x 64 0 Para a parte final da questão precisamos encontrar a equação paramétrica da reta perpendicular à reta r passando pelo ponto médio do segmento AB Nesta perspectiva inicialmente calculamos o ponto médio do segmento AB M A B2 32 14 2 262 13 Agora precisamos de um vetor diretor para a reta procurada que chamaremos de s Como s é perpendicular a r os vetores diretores das duas retas são ortogonais Precisamos então conhecer primeiro explicitamente um vetor diretor de r para tal podemos definir y t t R o que produz x 7 2t Então podemos concluir que o vetor u 2 1 pode ser considerado vetor diretor de r Dessa forma podemos encontrar um vetor diretor v ab para s fazendo u v 0 21 ab 0 2a b 0 b 2a Assim podemos escrever v ab a 2a a12 Então podemos considerar v 12 como um vetor diretor de s Logo as equações paramétricas da reta s podem ser obtidas a partir da equação vetorial s X M t v s xy 13 t12 donde obtemos s x 1 t y 3 2t Para completar verificamos que para que C 12 0 pertença à reta s devemos ter y 3 2t 0 t 32 Observe que substituindo t 32 nas equações paramétricas de s encontramos x 1 t 1 32 12 y 3 2t 3 232 3 3 0 Logo o centro C pertence à reta s como queríamos comprovar